人大微积分课件5-4定积分的分部积分法

定积分的分部积分法定积分的分部积分法是微积分学中的重要方法之一，用于计算复杂函数的定积分。ppbypptppt分部积分法的基本思路1选择合适的函数将被积函数分成两部分，其中一部分容易求导，另一部分容易积分。2应用分部积分公式将两部分函数分别求导积分，然后代入公式进行计算。3化简积分通过分部积分公式得到的积分可能比原积分更简单，可以继续用同样的方法求解。4重复上述步骤如果需要，可以重复上述步骤直到得到一个可以求解的积分。分部积分法的核心在于将复杂积分问题转化为更简单的积分问题，通过反复应用分部积分公式，最终可以得到原积分的解析解。分部积分法的公式基本公式分部积分法的基本公式如下：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx解释其中u(x)和v(x)是两个可导函数，公式将原积分转化为另一个积分，通常更容易求解。分部积分法的应用分部积分法广泛应用于各种数学问题中，特别是求解那些难以直接积分的函数的定积分。例如，在物理学、工程学和经济学等领域，分部积分法被用来求解复杂函数的积分，从而解决实际问题。分部积分法的优点1简化积分分部积分法可以将复杂积分转化为更简单的积分，使计算更容易。2拓展应用分部积分法可以解决多种类型积分，包括无法直接积分的函数。3提高效率使用分部积分法可以有效地简化计算过程，提高求解效率。4灵活运用分部积分法可以与其他积分方法结合使用，解决更复杂的积分问题。分部积分法的局限性适用范围分部积分法并非适用于所有函数的定积分，有些函数无法通过该方法求解。复杂计算对于某些函数，分部积分法需要反复使用，导致计算过程复杂，甚至无法得到解析解。选择困难选择合适的函数进行分部积分需要一定的技巧和经验，并非所有情况都容易判断。分部积分法的实例1计算∫xsin(x)dx该积分可以用分部积分法进行求解，选择u(x)=x和v'(x)=sin(x)，应用分部积分公式进行计算。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入公式，得到∫xsin(x)dx=-xcos(x)+∫cos(x)dx，进一步求解得到结果。分部积分法的实例2分部积分法的实例2可以用来计算∫x2ln(x)dx的定积分。选择u(x)=ln(x)和v'(x)=x2，应用分部积分公式进行计算，得到∫x2ln(x)dx=(1/3)x3ln(x)-∫(1/3)x3(1/x)dx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例3分部积分法的实例3可以用来计算∫x3exdx的定积分。选择u(x)=x3和v'(x)=ex，应用分部积分公式进行计算，得到∫x3exdx=x3ex-∫3x2exdx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例4计算∫x3ln(x)dx选择u(x)=ln(x)和v'(x)=x3，应用分部积分公式进行计算。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入公式，得到∫x3ln(x)dx=(1/4)x4ln(x)-∫(1/4)x4(1/x)dx，进一步化简并求解。分部积分法的实例5分部积分法的实例5可以用来计算∫exsin(x)dx的定积分。选择u(x)=sin(x)和v'(x)=ex，应用分部积分公式进行计算，得到∫exsin(x)dx=exsin(x)-∫excos(x)dx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例6分部积分法的实例6可以用来计算∫x2cos(x)dx的定积分。选择u(x)=x2和v'(x)=cos(x)，应用分部积分公式进行计算，得到∫x2cos(x)dx=x2sin(x)-∫2xsin(x)dx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例7分部积分法的实例7可以用来计算∫ln(x)/x2dx的定积分。选择u(x)=ln(x)和v'(x)=1/x2，应用分部积分公式进行计算，得到∫ln(x)/x2dx=-ln(x)/x+∫1/x2dx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例8计算∫ln(x)/(x+1)dx选择u(x)=ln(x)和v'(x)=1/(x+1)，应用分部积分公式进行计算。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入公式，得到∫ln(x)/(x+1)dx=ln(x)*ln(x+1)-∫ln(x+1)/xdx，进一步化简并求解。分部积分法的实例9计算∫arctan(x)dx该积分可以使用分部积分法进行计算，选择u(x)=arctan(x)和v'(x)=1，应用分部积分公式进行计算。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入公式，得到∫arctan(x)dx=x*arctan(x)-∫x/(1+x2)dx，进一步求解。求解积分最后，通过求解∫x/(1+x2)dx，得到最终结果。分部积分法的实例10分部积分法的实例10可以用来计算∫x3sin(x)dx的定积分。选择u(x)=x3和v'(x)=sin(x)，应用分部积分公式进行计算，得到∫x3sin(x)dx=-x3cos(x)+∫3x2cos(x)dx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例11分部积分法的实例11可以用来计算∫x2e-xdx的定积分。选择u(x)=x2和v'(x)=e-x，应用分部积分公式进行计算，得到∫x2e-xdx=-x2e-x+∫2xe-xdx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例12计算∫x2sin(x)dx使用分部积分法，选择u(x)=x2和v'(x)=sin(x)。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入分部积分公式，得到∫x2sin(x)dx=-x2cos(x)+∫2xcos(x)dx。进一步化简再次使用分部积分法计算∫2xcos(x)dx，得到最终结果。分部积分法的实例13分部积分法的实例13可以用来计算∫x3ln(x)dx的定积分。选择u(x)=ln(x)和v'(x)=x3，应用分部积分公式进行计算，得到∫x3ln(x)dx=(x4/4)ln(x)-∫(x4/4)*(1/x)dx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例14分部积分法的实例14可以用来计算∫x3exdx的定积分。选择u(x)=x3和v'(x)=ex，应用分部积分公式进行计算，得到∫x3exdx=x3ex-∫3x2exdx。进一步化简并求解，得到最终结果。分部积分法的实例15分部积分法的实例15可以用来计算∫x2sin(2x)dx的定积分。选择u(x)=x2和v'(x)=sin(2x)，应用分部积分公式进行计算，得到∫x2sin(2x)dx=-x2cos(2x)/2+∫xcos(2x)dx。进一步化简并求解，得到最终结果。分部积分法的实例16分部积分法的实例16可以用来计算∫exsin(x)dx的定积分。选择u(x)=sin(x)和v'(x)=ex，应用分部积分公式进行计算，得到∫exsin(x)dx=exsin(x)-∫excos(x)dx。进一步化简并求解，得到最终结果。分部积分法的实例17计算∫ln(x)/x2dx选择u(x)=ln(x)和v'(x)=1/x2，应用分部积分公式进行计算，得到∫ln(x)/x2dx=-ln(x)/x+∫1/x2dx。进一步求解，得到最终结果。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入分部积分公式，得到-ln(x)/x+∫1/x2dx，进一步化简并求解。求解积分通过求解∫1/x2dx，得到最终结果。分部积分法的实例18计算∫ln(x)/xdx选择u(x)=ln(x)和v'(x)=1/x，应用分部积分公式进行计算，得到∫ln(x)/xdx=ln(x)2/2+C。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入分部积分公式，得到∫ln(x)/xdx=ln(x)2/2+C，进一步化简并求解。分部积分法的实例19分部积分法的实例19可以用来计算∫xln(x)dx的定积分。选择u(x)=ln(x)和v'(x)=x，应用分部积分公式进行计算，得到∫xln(x)dx=(x2/2)ln(x)-∫(x2/2)*(1/x)dx。进一步化简并求解，得到结果。分部积分法的实例20分部积分法的实例20可以用来计算∫sin(x)cos(x)dx的定积分。选择u(x)=sin(x)和v'(x)=cos(x)，应用分部积分公式进行计算，得到∫sin(x)cos(x)dx=sin(x)2/2+C。分部积分法的实例21分部积分法的实例21可以用来计算∫arcsin(x)dx的定积分。选择u(x)=arcsin(x)和v'(x)=1，应用分部积分公式进行计算，得到∫arcsin(x)dx=xarcsin(x)-∫x/√(1-x2)dx。进一步化简并求解，得到最终结果。选择u(x)=arcsin(x)和v'(x)=1这一步骤是关键，它将复杂函数arcsin(x)转换为更易于求解的形式。分部积分法的实例22计算∫arctan(x)dx选择u(x)=arctan(x)和v'(x)=1，应用分部积分公式进行计算，得到∫arctan(x)dx=xarctan(x)-∫x/(1+x2)dx。应用分部积分公式将u(x)和v'(x)代入分部积分公式，得到xarctan(x)-∫x/(1+x2)dx，进一步化简并求解。求解积分通过求解∫x/(1+x2)dx，得到最终结果。分部积分法的实例23分部积分法的实例23可以用来计算∫tan-1(x)dx的定积分。选择u(x)=tan-1(x)和v'(x)=1，应用分部积分公式进行计算，得到∫tan-1(x)dx=xtan-1(x)-∫x/(1+x2)dx。进一步化简并求解，得到最终结果。分部积分法