二(3)高考特殊数列求和的常用方法

特殊数列求和的常用方法数列求和是数列学习中的一个重点内容，在中学数学的数列学习中，除了要求掌握等差、等比数列前n项求和外，还要能够求一些特殊数列的前n项和，现就特殊数列求和的常用方法归纳如下：一折项求和法将一个数列的每一项折成n项，转化成若干个数列（等差、等比、常数数列等等）求和例①an=n+，求数列{an}的前n项和Sn②求数列2，22，222，2222，…的前n项和Sn解：①Sn=(1+2+3+…+n)+n个②an=22…2=2×11…1=2×n个则Sn=二并项求和法将数列相邻两项（或若干项）合并成一项（或一组）得到一个新的容易求和的数列例2、①求1002－992+982－972+…+22－12的值②求数列1，，，，，，，，，…前100项的和解：①1002－992+982－972+…+22－12=（100+99）（100-99）+（98-97）（98-97）+…+(2+1)(2－1)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)==5050②根据有2项，有3项，有4项，项数和1+2+3+…+14=105，则最后一项为，且有9项，S100=1+(+)+(++)+(+++)+…+(++…+)=1+1+1+1+…+1+9×=13三裂项求和法将数列的每一项裂成两项之差，使得相邻的正负项能相互抵消，剩下项易求和的形式例3、①求的值；②an=，求数列的前n项和Sn解：①由得②an==则Sn=四反序求和法将数列的前后项反序，得一新数列，与原数列对应项相加（仿照等差数列求和公式推导思想）例4、an=，求数列的前2006项和S2006解：由而(1-1003)+(2006-1003)=(2-1003)+(2005-1003)=…=1则+=…=1即a1+a2006=a2+a2005=……=a2006+a1=1，故S2006=a1+a2+a3+…+a2006S2006=a2006+a2005+a2004+…+a1，2S2006=(a1+a2006)+(a2+a2005)+…+(a2006+a1)2S2006=1+1+…+1=2006，即S2006=1003.五错位求和法将一个数列的每一项都作相同的变换，然后得到新的数列，错动一个位置与原数列各项相减（仿照等比数列求和公式推导思想）例5、已知a≠0且a≠1，求数列1，3a,5a2,7a3…(2n-1)an-1前n项和Sn解：由Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1得aSn=a+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an则(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an由于a≠0且a≠1，则(1-a)Sn=1+2－(2n-1)an故Sn=s六公式求和法除等差、等比数列求和公式外，常用公式有1+2+3+…+n=，12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+33+…+n3=，1+3+5+…+(2n-1)=n2例6、求1·n+22(n-1)+32(n-2)+…+(n-1)2·2+n2·1的和Sn解：ak=k2[n-(k-1)]=k2[(n+1)-k]=(n+1)k2-k3则Sn=(n+1)·12－13+(n+1)·22－23+(n+1)·32－33+…+(n+1)n2－n3=(n+1)(12+23+…+n2)－(13+23+33+…+n3)=(n+1)[n(n+1)(2n+1)]－=七奇偶分析法当数列中的项有符号限制时，应分n为奇数、偶数进行讨论，一般地，先求S2n，再求S2n+1，且S2n+1=S2n+a2n+1例7、若an=(－1)n－1·(4n－3)，求Sn解：当n=2k时，Sn=a1+a2+…+an=(1-5)+(9-13)+…+[(4n－7)―(4n―3)]=-4+