高考数 第三章第六节 课下冲关作业 新人教A

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数f(x)＝2cos2x－eq\r(3)sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为()A．2π，3 B．2π，1C．π，3 D．π，1解析：由题可知，f(x)＝2cos2x－eq\r(3)sin2x＝cos2x－eq\r(3)sin2x＋1＝2sin(eq\f(π,6)－2x)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3.答案：C2．已知cos(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(\r(3),3)，则sin2(α－eq\f(π,6))－cos(eq\f(5π,6)＋α)的值是()A.eq\f(2＋\r(3),3) B．－eq\f(2＋\r(3),3)C.eq\f(2－\r(3),3) D.eq\f(－2＋\r(3),3)解析：sin2(α－eq\f(π,6))－cos(eq\f(5π,6)＋α)＝1－cos2(eq\f(π,6)－α)＋cos(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(2＋\r(3),3).答案：A3．若f(x)＝2tanx－eq\f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cos\f(x,2))，则f(eq\f(π,12))的值为()A．－eq\f(4,3)eq\r(3) B．8C．4eq\r(3) D．－4eq\r(3)解析：f(x)＝2tanx＋eq\f(1－2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)＝2tanx＋eq\f(2cosx,sinx)＝eq\f(2,sinxcosx)＝eq\f(4,sin2x)，∴f(eq\f(π,12))＝eq\f(4,sin\f(π,6))＝8.答案：B4．(·烟台模拟)已知sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(3,5)，则sin2x的值为()A.eq\f(7,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(14,25) D.eq\f(19,25)解析：sin2x＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝cos2(eq\f(π,4)－x)＝1－2sin2(eq\f(π,4)－x)＝1－eq\f(18,25)＝eq\f(7,25).答案：A5．(·东营模拟)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域是()A．[－1，＋∞) B．[－1，eq\r(2)]C．(0，eq\r(2)] D．(1，eq\r(2)＋eq\f(1,2)]解析：由0<x≤eq\f(π,3)，令t＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，而eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)≤eq\f(7,12)π，得1<t≤eq\r(2).又t2＝1＋2sinxcosx，得sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)，得y＝t＋eq\f(t2－1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，有1<y≤eq\f(1,2)(eq\r(2)＋1)2－1＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)，故选D.答案：D6．已知acosα＋bsinα＝c，acosβ＋bsinβ＝c(ab≠0，α－β≠kπ，k∈Z)，则cos2eq\f(α－β,2)＝()A.eq\f(c2,a2＋b2) B.eq\f(a2,c2＋b2)C.eq\f(b2,a2＋c2) D.eq\f(a,c2＋b2)解析：在平面直角坐标系中，设A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，点A(cosα，sinα)与点B(cosβ，sinβ)是直线l：ax＋by＝c与单位圆x2＋y2＝1的两个交点，如图，从而|AB|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))，由平面几何知识知|OA|2－(eq\f(1,2)|AB|)2＝d2，即1－eq\f(2－2cosα－β,4)＝d2＝eq\f(c2,a2＋b2)，∴cos2eq\f(α－β,2)＝eq\f(c2,a2＋b2).答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．若sin(eq\f(3π,2)－2x)＝eq\f(3,5)，则tan2x＝________.解析：sin(eq\f(3π,2)－2x)＝eq\f(3,5)⇒cos2x＝－eq\f(3,5)，tan2x＝eq\f(sin2x,cos2x)＝eq\f(\f(1－cos2x,2),\f(1＋cos2x,2))＝eq\f(1－cos2x,1＋cos2x)＝4.答案：48．(·济宁模拟)设f(x)＝eq\f(1＋cos2x,2sin\f(π,2)－x)＋sinx＋a2sin(x＋eq\f(π,4))的最大值为eq\r(2)＋3，则常数a＝________.解析：f(x)＝eq\f(1＋2cos2x－1,2cosx)＋sinx＋a2sin(x＋eq\f(π,4))＝cosx＋sinx＋a2sin(x＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))＋a2sin(x＋eq\f(π,4))＝(eq\r(2)＋a2)sin(x＋eq\f(π,4))．依题意有eq\r(2)＋a2＝eq\r(2)＋3，∴a＝±eq\r(3).答案：±eq\r(3)9．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(eq\f(π,2)，π)，若a·b＝eq\f(2,5)，则tan(α＋eq\f(π,4))的值为________．解析：由a·b＝eq\f(2,5)，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝eq\f(2,5)，即1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝eq\f(2,5)，即sinα＝eq\f(3,5).又α∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,7)三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知eq\f(3,4)π＜α＜π，tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3).求eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sinα－\f(π,2))的值．解：∵tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3)，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝－eq\f(1,3).又∵eq\f(3π,4)＜α＜π，∴tanα＝－eq\f(1,3).又∵eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sinα－\f(π,2))＝eq\f(5·\f(1－cosα,2)＋4sinα＋11·\f(1＋cosα,2)－8,－\r(2)cosα)＝eq\f(5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16,－2\r(2)cosα)＝eq\f(8sinα＋6cosα,－2\r(2)cosα)＝eq\f(8tanα＋6,－2\r(2))＝－eq\f(5\r(2),6).11．(·天津高考)在△ABC中，eq\f(AC,AB)＝eq\f(cosB,cosC).(1)证明B＝C；(2)若cosA＝－eq\f(1,3)，求sin(4B＋eq\f(π,3))的值．解：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(cosB,cosC).于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π＜B－C＜π，从而B－C＝0.所以B＝C.(2)由A＋B＋C＝π和(1)得2B＝π－A，故cos2B＝cos(π－A)＝－cosA＝eq\f(1,3).又0＜2B＜π，于是sin2B＝eq\r(1－cos22B)＝eq\f(2\r(2),3).从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝eq\f(4\r(2),9)，cos4B＝cos22B－sin22B＝－eq\f(7,9).所以sin(4B＋eq\f(π,3))＝sin4Bcoseq\f(π,3)＋cos4Bsineq\f(π,3)＝eq\f(4\r(2)－7\r(3),18).12．函数y＝sinα＋cosα－4sinαcosα＋1，且eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)＝k，eq\f(π,4)<α≤eq\f(π,2)，(1)把y表示成k的函数f(k)；(2)求f(k)的最大值．解：(1)∵k＝eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)＝eq\f(2sin2α＋2sinαcosα,1＋\f(sinα,cosα))＝eq\f(2sinαsinα＋cosα,\f(cosα＋sinα,cosα))＝2sinαcosα，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋k.∵eq\f(π,4)<α≤eq\f(π,2)，∴sinα＋cosα>0.∴sinα＋cosα＝eq\r(1＋k).∴y＝eq\r(1