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文档简介
(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.函数f(x)=2cos2x-eq\r(3)sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为()A.2π,3 B.2π,1C.π,3 D.π,1解析:由题可知,f(x)=2cos2x-eq\r(3)sin2x=cos2x-eq\r(3)sin2x+1=2sin(eq\f(π,6)-2x)+1,所以函数f(x)的最小正周期为T=π,最大值为3.答案:C2.已知cos(eq\f(π,6)-α)=eq\f(\r(3),3),则sin2(α-eq\f(π,6))-cos(eq\f(5π,6)+α)的值是()A.eq\f(2+\r(3),3) B.-eq\f(2+\r(3),3)C.eq\f(2-\r(3),3) D.eq\f(-2+\r(3),3)解析:sin2(α-eq\f(π,6))-cos(eq\f(5π,6)+α)=1-cos2(eq\f(π,6)-α)+cos(eq\f(π,6)-α)=eq\f(2+\r(3),3).答案:A3.若f(x)=2tanx-eq\f(2sin2\f(x,2)-1,sin\f(x,2)cos\f(x,2)),则f(eq\f(π,12))的值为()A.-eq\f(4,3)eq\r(3) B.8C.4eq\r(3) D.-4eq\r(3)解析:f(x)=2tanx+eq\f(1-2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)=2tanx+eq\f(2cosx,sinx)=eq\f(2,sinxcosx)=eq\f(4,sin2x),∴f(eq\f(π,12))=eq\f(4,sin\f(π,6))=8.答案:B4.(·烟台模拟)已知sin(eq\f(π,4)-x)=eq\f(3,5),则sin2x的值为()A.eq\f(7,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(14,25) D.eq\f(19,25)解析:sin2x=cos(eq\f(π,2)-2x)=cos2(eq\f(π,4)-x)=1-2sin2(eq\f(π,4)-x)=1-eq\f(18,25)=eq\f(7,25).答案:A5.(·东营模拟)若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是()A.[-1,+∞) B.[-1,eq\r(2)]C.(0,eq\r(2)] D.(1,eq\r(2)+eq\f(1,2)]解析:由0<x≤eq\f(π,3),令t=sinx+cosx=eq\r(2)sin(x+eq\f(π,4)),而eq\f(π,4)<x+eq\f(π,4)≤eq\f(7,12)π,得1<t≤eq\r(2).又t2=1+2sinxcosx,得sinxcosx=eq\f(t2-1,2),得y=t+eq\f(t2-1,2)=eq\f(1,2)(t+1)2-1,有1<y≤eq\f(1,2)(eq\r(2)+1)2-1=eq\r(2)+eq\f(1,2),故选D.答案:D6.已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α-β≠kπ,k∈Z),则cos2eq\f(α-β,2)=()A.eq\f(c2,a2+b2) B.eq\f(a2,c2+b2)C.eq\f(b2,a2+c2) D.eq\f(a,c2+b2)解析:在平面直角坐标系中,设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),点A(cosα,sinα)与点B(cosβ,sinβ)是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点,如图,从而|AB|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2cos(α-β),又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l的距离d=eq\f(|c|,\r(a2+b2)),由平面几何知识知|OA|2-(eq\f(1,2)|AB|)2=d2,即1-eq\f(2-2cosα-β,4)=d2=eq\f(c2,a2+b2),∴cos2eq\f(α-β,2)=eq\f(c2,a2+b2).答案:A二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.若sin(eq\f(3π,2)-2x)=eq\f(3,5),则tan2x=________.解析:sin(eq\f(3π,2)-2x)=eq\f(3,5)⇒cos2x=-eq\f(3,5),tan2x=eq\f(sin2x,cos2x)=eq\f(\f(1-cos2x,2),\f(1+cos2x,2))=eq\f(1-cos2x,1+cos2x)=4.答案:48.(·济宁模拟)设f(x)=eq\f(1+cos2x,2sin\f(π,2)-x)+sinx+a2sin(x+eq\f(π,4))的最大值为eq\r(2)+3,则常数a=________.解析:f(x)=eq\f(1+2cos2x-1,2cosx)+sinx+a2sin(x+eq\f(π,4))=cosx+sinx+a2sin(x+eq\f(π,4))=eq\r(2)sin(x+eq\f(π,4))+a2sin(x+eq\f(π,4))=(eq\r(2)+a2)sin(x+eq\f(π,4)).依题意有eq\r(2)+a2=eq\r(2)+3,∴a=±eq\r(3).答案:±eq\r(3)9.已知a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈(eq\f(π,2),π),若a·b=eq\f(2,5),则tan(α+eq\f(π,4))的值为________.解析:由a·b=eq\f(2,5),得cos2α+sinα(2sinα-1)=eq\f(2,5),即1-2sin2α+2sin2α-sinα=eq\f(2,5),即sinα=eq\f(3,5).又α∈(eq\f(π,2),π),∴cosα=-eq\f(4,5),∴tanα=-eq\f(3,4),∴tan(α+eq\f(π,4))=eq\f(1+tanα,1-tanα)=eq\f(1-\f(3,4),1+\f(3,4))=eq\f(1,7).答案:eq\f(1,7)三、解答题(共3小题,满分35分)10.已知eq\f(3,4)π<α<π,tanα+eq\f(1,tanα)=-eq\f(10,3).求eq\f(5sin2\f(α,2)+8sin\f(α,2)cos\f(α,2)+11cos2\f(α,2)-8,\r(2)sinα-\f(π,2))的值.解:∵tanα+eq\f(1,tanα)=-eq\f(10,3),∴3tan2α+10tanα+3=0,解得tanα=-3或tanα=-eq\f(1,3).又∵eq\f(3π,4)<α<π,∴tanα=-eq\f(1,3).又∵eq\f(5sin2\f(α,2)+8sin\f(α,2)cos\f(α,2)+11cos2\f(α,2)-8,\r(2)sinα-\f(π,2))=eq\f(5·\f(1-cosα,2)+4sinα+11·\f(1+cosα,2)-8,-\r(2)cosα)=eq\f(5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16,-2\r(2)cosα)=eq\f(8sinα+6cosα,-2\r(2)cosα)=eq\f(8tanα+6,-2\r(2))=-eq\f(5\r(2),6).11.(·天津高考)在△ABC中,eq\f(AC,AB)=eq\f(cosB,cosC).(1)证明B=C;(2)若cosA=-eq\f(1,3),求sin(4B+eq\f(π,3))的值.解:(1)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得eq\f(sinB,sinC)=eq\f(cosB,cosC).于是sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0,因为-π<B-C<π,从而B-C=0.所以B=C.(2)由A+B+C=π和(1)得2B=π-A,故cos2B=cos(π-A)=-cosA=eq\f(1,3).又0<2B<π,于是sin2B=eq\r(1-cos22B)=eq\f(2\r(2),3).从而sin4B=2sin2Bcos2B=eq\f(4\r(2),9),cos4B=cos22B-sin22B=-eq\f(7,9).所以sin(4B+eq\f(π,3))=sin4Bcoseq\f(π,3)+cos4Bsineq\f(π,3)=eq\f(4\r(2)-7\r(3),18).12.函数y=sinα+cosα-4sinαcosα+1,且eq\f(2sin2α+sin2α,1+tanα)=k,eq\f(π,4)<α≤eq\f(π,2),(1)把y表示成k的函数f(k);(2)求f(k)的最大值.解:(1)∵k=eq\f(2sin2α+sin2α,1+tanα)=eq\f(2sin2α+2sinαcosα,1+\f(sinα,cosα))=eq\f(2sinαsinα+cosα,\f(cosα+sinα,cosα))=2sinαcosα,∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+k.∵eq\f(π,4)<α≤eq\f(π,2),∴sinα+cosα>0.∴sinα+cosα=eq\r(1+k).∴y=eq\r(1
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