高考数 第六章第七节 课下冲关作业 新人教A

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.答案：D2．利用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项 B．k项C．2k－1项 D．2k项解析：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)－(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1))＝eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，共增加了2k项．答案：D3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n能取到1.答案：B4．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题．(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．答案：D5．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于()A．1 B．1或2C．1,2,3 D．1,2,3,4解析：当n＝1时，左端＝1×2＝2，右端＝3×12－3×1＋2＝2，命题成立；当n＝2时，左端＝1×2＋2×3＝8，右端＝3×22－3×2＋2＝8，命题成立；当n＝3时，左端1×2＋2×3＋3×4＝20，右端＝3×32－3×3＋2＝20，命题成立；当n＝4时，左端1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右端＝3×42－3×4＋2＝38，命题不成立．答案：C6．对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)，某同学的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设．答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．观察下列不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜测第n个不等式为____________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)8．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，……，其边数构成等差数列，则第(n)图的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.答案：5n＋19．(·青岛模拟)若数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,n＋12)，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(3,2)，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(1,9))＝eq\f(4,3)，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(1,9))×(1－eq\f(1,16))＝eq\f(5,4)，故由归纳推理得cn＝eq\f(n＋2,n＋1).答案：eq\f(n＋2,n＋1)三、解答题10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(7,4)，a4＝eq\f(15,8)，由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k)，这表明n＝k＋1时，结论成立．∴an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．11．(·江苏高考)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)是有理数．(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，及①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．12．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(eq\r(2)－1)(an＋2)，n＝1,2,3，….(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝eq\f(3bn＋4,2bn＋3)，n＝1,2,3，…，证明：eq\r(2)＜bn≤a4n－3，n＝1,2,3，….解：(1)因为an＋1＝(eq\r(2)－1)(an＋2)＝(eq\r(2)－1)(an－eq\r(2))＋(eq\r(2)－1)(2＋eq\r(2))＝(eq\r(2)－1)(an－eq\r(2))＋eq\r(2)，所以an＋1－eq\r(2)＝(eq\r(2)－1)(an－eq\r(2))．所以数列{an－eq\r(2)}是首项为2－eq\r(2)，公比为eq\r(2)－1的等比数列，所以an－eq\r(2)＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)n，即{an}的通项公式an＝eq\r(2)[(eq\r(2)－1)n＋1]，n＝1,2,3，….(2)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n＝1时，因为eq\r(2)＜2＝b1＝a1＝2，所以eq\r(2)＜b1≤a1，结论成立；(ⅱ)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即eq\r(2)＜bk≤a4k－3，即0＜bk－eq\r(2)≤a4k－3－eq\r(2).当n＝k＋1时，bk＋1－eq\r(2)＝eq\f(3bk＋4,2bk＋3)－eq\r(2)＝eq\f(3－2\r(2)bk＋4－3\r(2),2bk＋3)＝eq\f(3－2\r(2)bk－\r(2),2bk＋3)＞0，又eq\f(1,2bk＋3)＜e