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(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.已知f(n)=eq\f(1,n)+eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+…+eq\f(1,n2),则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)解析:项数为n2-(n-1)=n2-n+1.答案:D2.利用数学归纳法证明不等式1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-1)<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项 B.k项C.2k-1项 D.2k项解析:1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2k+1-1)-(1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2k-1))=eq\f(1,2k)+eq\f(1,2k+1)+…+eq\f(1,2k+1-1),共增加了2k项.答案:D3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应写成()A.假设n=2k+1(k∈N*)正确,再推n=2k+3正确B.假设n=2k-1(k∈N*)正确,再推n=2k+1正确C.假设n=k(k∈N*)正确,再推n=k+1正确D.假设n=k(k≥1)正确,再推n=k+2正确解析:首先要注意n为奇数,其次还要使n能取到1.答案:B4.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A.6+6·7k B.2+7k-1C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)解析:本题考查用数学归纳法证明整除性问题.(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+1时命题也成立.答案:D5.满足1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=3n2-3n+2的自然数n等于()A.1 B.1或2C.1,2,3 D.1,2,3,4解析:当n=1时,左端=1×2=2,右端=3×12-3×1+2=2,命题成立;当n=2时,左端=1×2+2×3=8,右端=3×22-3×2+2=8,命题成立;当n=3时,左端1×2+2×3+3×4=20,右端=3×32-3×3+2=20,命题成立;当n=4时,左端1×2+2×3+3×4+4×5=40,右端=3×42-3×4+2=38,命题不成立.答案:C6.对于不等式eq\r(n2+n)<n+1(n∈N*),某同学的证明过程如下:(1)当n=1时,eq\r(12+1)<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即eq\r(k2+k)<k+1,则当n=k+1时,eq\r(k+12+k+1)=eq\r(k2+3k+2)<eq\r(k2+3k+2+k+2)=eq\r(k+22)=(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立.则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设.答案:D二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.观察下列不等式:1>eq\f(1,2),1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)>1,1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,7)>eq\f(3,2),1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,15)>2,1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,31)>eq\f(5,2),…,由此猜测第n个不等式为____________(n∈N*).解析:3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测:1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-1)>eq\f(n,2).答案:1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-1)>eq\f(n,2)8.如图,这是一个正六边形的序列:则第n个图形的边数为________.解析:第(1)图共6条边,第(2)图共11条边,第(3)图共16条边,……,其边数构成等差数列,则第(n)图的边数为an=6+(n-1)×5=5n+1.答案:5n+19.(·青岛模拟)若数列{an}的通项公式an=eq\f(1,n+12),记cn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=________.解析:c1=2(1-a1)=2×(1-eq\f(1,4))=eq\f(3,2),c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1-eq\f(1,4))×(1-eq\f(1,9))=eq\f(4,3),c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1-eq\f(1,4))×(1-eq\f(1,9))×(1-eq\f(1,16))=eq\f(5,4),故由归纳推理得cn=eq\f(n+2,n+1).答案:eq\f(n+2,n+1)三、解答题10.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.解:(1)a1=1,a2=eq\f(3,2),a3=eq\f(7,4),a4=eq\f(15,8),由此猜想an=eq\f(2n-1,2n-1)(n∈N*).(2)证明:当n=1时,a1=1,结论成立.假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即ak=eq\f(2k-1,2k-1),那么n=k+1(k≥1且k∈N*)时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.∴2ak+1=2+ak.∴ak+1=eq\f(2+ak,2)=eq\f(2+\f(2k-1,2k-1),2)=eq\f(2k+1-1,2k),这表明n=k+1时,结论成立.∴an=eq\f(2n-1,2n-1)(n∈N*).11.(·江苏高考)已知△ABC的三边长都是有理数.(1)求证:cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数.证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA=eq\f(AB2+AC2-BC2,2AB·AC)是有理数.(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数.①当n=1时,由(1)知cosA是有理数,从而有sinA·sinA=1-cos2A②假设当n=k(k≥1)时,coskA和sinA·sinkA都是有理数.当n=k+1时,由cos(k+1)A=cosA·coskA-sinA·sinkA,sinA·sin(k+1)A=sinA·(sinA·coskA+cosA·sinkA)=(sinA·sinA)·coskA+(sinA·sinkA)·cosA,及①和归纳假设,知cos(k+1)A与sinA·sin(k+1)A都是有理数.即当n=k+1时,结论成立.综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数.12.已知数列{an}中,a1=2,an+1=(eq\r(2)-1)(an+2),n=1,2,3,….(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}中,b1=2,bn+1=eq\f(3bn+4,2bn+3),n=1,2,3,…,证明:eq\r(2)<bn≤a4n-3,n=1,2,3,….解:(1)因为an+1=(eq\r(2)-1)(an+2)=(eq\r(2)-1)(an-eq\r(2))+(eq\r(2)-1)(2+eq\r(2))=(eq\r(2)-1)(an-eq\r(2))+eq\r(2),所以an+1-eq\r(2)=(eq\r(2)-1)(an-eq\r(2)).所以数列{an-eq\r(2)}是首项为2-eq\r(2),公比为eq\r(2)-1的等比数列,所以an-eq\r(2)=eq\r(2)(eq\r(2)-1)n,即{an}的通项公式an=eq\r(2)[(eq\r(2)-1)n+1],n=1,2,3,….(2)用数学归纳法证明:(ⅰ)当n=1时,因为eq\r(2)<2=b1=a1=2,所以eq\r(2)<b1≤a1,结论成立;(ⅱ)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即eq\r(2)<bk≤a4k-3,即0<bk-eq\r(2)≤a4k-3-eq\r(2).当n=k+1时,bk+1-eq\r(2)=eq\f(3bk+4,2bk+3)-eq\r(2)=eq\f(3-2\r(2)bk+4-3\r(2),2bk+3)=eq\f(3-2\r(2)bk-\r(2),2bk+3)>0,又eq\f(1,2bk+3)<e
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