高考数学总复习 第六章 不等式 6-7课后巩固提升（含解析）新人教A

【创优导学案】届高考数学总复习第六章不等式6-7课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P297解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证的不等式为 ()A．1＋eq\f(1,2)＜3 B.1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3 D.1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3解析B∵n＞1，∴当n＝2时不等式为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2.2．(·郑州质检)设f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于 ()A.eq\f(1,2n＋1) B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n)解析Df(n＋1)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n)＝f(n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n).3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1(k∈N*)时的情况，只需展开 ()A．(k＋3)3 B.(k＋2)3C．(k＋1)3 D.(k＋1)2＋(k＋2)3解析A假设n＝k(k∈N*)时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，需证(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3能被9整除，为了能用上面的归纳假设证明，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．4．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，则 ()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析D从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).故选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 ()A．k2＋1B．(k＋1)2C.eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析D当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.6．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为 ()A.eq\f(1,n－1n＋1) B.eq\f(1,2n2n＋1)C.eq\f(1,2n－12n＋1) D.eq\f(1,2n＋12n＋2)解析C由a1＝eq\f(1,3)，Sn＝n(2n－1)an，求得a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，a4＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,7×9)，猜想an＝eq\f(1,2n－12n＋1).二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．(·贵阳模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.【答案】2k＋18．用数学归纳法证明“n3＋5n(n∈N*)能被6整除”的过程中，当n＝k＋1(k∈N*)时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．解析(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3k2＋3k＋6＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6.【答案】k3＋5k＋3k(k＋1)＋69．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a＝________，b＝________，c＝________.解析分别令n＝1,2,3，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c，,1＋2×3＝92a－b＋c，,1＋2×3＋3×32＝273a－b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)用数学归纳法证明：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n个圆将平面分成n2－n＋2个部分．解析①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成了k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，这说明当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，对一切n∈N*，命题都成立．11．(12分)设n∈N*，n>1，求证：1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))>eq\r(n).解析(1)当n＝2时，不等式左边＝1＋eq\f(1,\r(2))>eq\r(2)＝右边．(2)假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))>eq\r(k)，那么当n＝k＋1时，有1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))>eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(\r(kk＋1)＋1,\r(k＋1))>eq\f(\r(k2)＋1,\r(k＋1))＝eq\f(k＋1,\r(k＋1))＝eq\r(k＋1).所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知对任何n∈N*，n>1，1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)均成立．12．(16分)已知函数f(x)＝x2＋x－1，α、β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，an＋1＝an－eq\f(fan,f′an)(n＝1,2，…)．(1)求α、β的值；(2)证明对任意的正整数n，都有an>α.解析(1)由x2＋x－1＝0得x＝eq\f(－1±\r(5),2).∵α>β，∴α＝eq\f(－1＋\r(5),2)，β＝eq\f(－1－\r(5),2).(2)①当n＝1时，a1＝1>eq\f(\r(5)－1,2)，命题成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即ak>eq\f(\r(5)－1,2)，∴ak＋1＝eq\f(a\o\al(2,k)＋1,2ak＋1)＝eq\f(