高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)8.1计数原理及排列组合(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

8.1计数原理及排列组合（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一排队【例1】(2023云南）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中间；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何两个女生都不得相邻；（7）男生甲、乙、丙顺序一定．【一隅三反】1．(2023·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种2．(2023·河南模拟）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（）．A．72 B．96 C．120 D．1443.(2023·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，女生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．考点二排数【例2】（2023江苏）用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？【一隅三反】1．(2023·西安模拟）由组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是（）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？3．（2023·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五个数字:(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．考点三分组分配【例3】(2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【一隅三反】1．(2023·贵州模拟）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种2．(2023·浙江模拟）为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．30种3．（2023江苏期中）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．考点四涂色【例4】(2023·陈仓二模）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．72 B．48 C．36 D．24【一隅三反】1．(2023·武汉模拟）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A．288 B．336 C．576 D．16802．(2023·浙江模拟）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．3603．(2023·红河模拟）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（）A．96种 B．72种 C．48种 D．24种8.1计数原理及排列组合（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一排队【例1】(2023云南）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中间；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何两个女生都不得相邻；（7）男生甲、乙、丙顺序一定．答案：（1）A99（2）A22A77（3）A1010﹣2A99+A88（4）A22A88（5）A44A77（6）A66A74（7）=A107【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种【一隅三反】1．(2023·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种答案：B【解析】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式.故答案为：B2．(2023·河南模拟）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（）．A．72 B．96 C．120 D．144答案：D【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况，第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况，第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，共有种情况，所以。故答案为：D3.(2023·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，女生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．答案：(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．（3）方法一（特殊元素优先法）

先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法）

左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．（4）方法一

分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二

7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．考点二排数【例2】（2023江苏）用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？答案：（1）156（2）108（3）284【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有个；个位数上的数字是5的五位数有个．故满足条件的五位数的个数共有个．（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；第三类：形如124□，125□，共有个；第四类：形如123□，共有个由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有：个．【一隅三反】1．(2023·西安模拟）由组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是（）A． B． C． D．答案：D【解析】由组成没有重复数字的五位数，基本事件总数为：；其中是奇数的基本事件个数为：，所求概率。故答案为：D.2．(2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？答案：（1）；（2）；（3）；【解析】（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有种，其余4个数全排列有种，按照分步乘法计数原理可得有个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有种情况，即可以有120个五位数；则可以有个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有种情况，则有个比40000大的正整数；3．（2023·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五个数字:(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．答案：(1)(2)(3)(4)【解析】(1)用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有种情况，所以可组成个五位数.(2)用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位数.(3)无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有种情况;若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有种情况.所以根据分类计数原理，共可组成个无重复数字的且是3的倍数的三位数.(4)由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有种情况，再对剩下的三个数字全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位奇数.考点三分组分配【例3】(2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.答案：（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式(种).（5）无序部分均匀分组问题.共有(种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式(种).（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有(种)选法.【一隅三反】1．(2023·贵州模拟）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种答案：A【解析】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，故不同的安排方法共有种；故答案为：A.2．(2023·浙江模拟）为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．30种答案：C【解析】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有种安排方法；若甲乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组两人，则有种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法.故答案为：C3．（2023江苏期中）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．答案：（1）240（2）1560（3）10（4）2160【解析】（1）解：从5个不同的小球中任取个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，共有种（2）解：若四个盒子中小球的个数为：，则共有种，若四个盒子中小球的个数为：，则共有种，所以共有种（3）解：等价于2个相同的元素填入四个不同的空位，共有种（4）解：从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有种，另外三个盒子中，小球的个数可能为：①，②，③，若为①，则共有种；若为②，则共有种；若为③，则共有种，所以一共有种.考点四涂色【例4】(2023·陈仓二模）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．72 B．48 C．36 D．24答案：A【解析】由图知：两组颜色可以相同，若涂4种颜色