高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第42练排列、组合与二项式定理(原卷版+解析)

专题14计数原理、随机变量及其分布第42练排列、组合与二项式定理1．(2023·广东汕头·三模）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（

）A．36 B．24 C．18 D．422．(2023·福建泉州·模拟）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（

）A．6种 B．9种 C．12种 D．24种3．(2023·北京丰台·一模）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（

）A．19种 B．20种 C．30种 D．60种4．(2023·山东泰安·模拟）展开式中的常数项为（

）A． B． C． D．5．(2023·福建省福州第一中学三模）的展开式中，项的系数是（

）A．30 B．30 C．60 D．606．(2023·上海·模拟）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；7．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）.9．(2023·上海·模拟）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；10．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开后的常数项为______．1．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（

）场次．A．53 B．52 C．51 D．502．(2023·江苏盐城·三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（

）A．54种 B．240种 C．150种 D．60种3．(2023·四川广安·模拟（理））在的展开式中，常数项为（

）A．-60 B．60 C．-240 D．2404．(2023·新疆·三模（理））若，则（

）A．270 B．135 C．135 D．2705．(2023·江苏苏州·模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（

）A．216 B．180 C．108 D．726．(2023·江苏·常州高级中学模拟）的展开式中的系数为（

）A． B．25 C． D．57．(2023·浙江·绍兴一中模拟）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．8．(2023·陕西·交大附中模拟（理））党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．9．(2023·山东·胜利一中模拟）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________10．(2023·青海·模拟（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一个世纪的“巴塞尔问题”：计算．已知，又知，，则______．1．(2023·江苏省滨海中学模拟）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（

）A． B． C． D．2．(2023·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．(2023·河南·模拟（理））已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（

）A．16 B．8 C．0 D．4．(2023·湖南·长郡中学模拟）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（

）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为5．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）的展开式中，下列结论正确的是（

）A．展开式共6项B．常数项为160C．所有项的系数之和为729D．所有项的二项式系数之和为646．(2023·江西新余·二模（理））若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________7．(2023·河南安阳·模拟（理））已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为___________．8．(2023·广东广州·三模）若，则___________．9．(2023·浙江·三模）从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________种选法；如果男生不吃原味薯片，共有__________种选法．（用数字作答）10．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.专题14计数原理、随机变量及其分布第42练排列、组合与二项式定理1．(2023·广东汕头·三模）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（

）A．36 B．24 C．18 D．42答案：A【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，故选：.2．(2023·福建泉州·模拟）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（

）A．6种 B．9种 C．12种 D．24种答案：C【解析】分为三类：①甲、乙各一天，有种；②甲2天，乙1天，有种；③乙2天，甲1天，有种，6+3+3=12，故共有12种方案.故选：C3．(2023·北京丰台·一模）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（

）A．19种 B．20种 C．30种 D．60种答案：A【解析】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.故选：A4．(2023·山东泰安·模拟）展开式中的常数项为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】展开式中的常数项为.故选：B.5．(2023·福建省福州第一中学三模）的展开式中，项的系数是（

）A．30 B．30 C．60 D．60答案：C【解析】由题意，当时，项的系数是故选：C6．(2023·上海·模拟）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；答案：【解析】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为＝＝，故答案为：．7．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．答案：96【解析】从1、2、3、4、5、6中任取3个标号不同且3个标号数字互不相邻的取法有：135、136、146、246，共4种；3个颜色互不相同的取法有：种；所以满足题意的取法共有：种.故答案为：96.8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）.答案：65【解析】根据题意，可得为三类：第一类：恰好一名女生时，共有种不同的选法；第二类：恰好两名女生时，共有种不同的选法；第三类：恰好三名女生时，共有种不同的选法，由分类计数原理可得，共有种不同的选法.故答案为：.9．(2023·上海·模拟）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；答案：10【解析】由题知，当时，的系数为；当时，常数项为；又的系数是常数项的5倍，所以，解得.故答案为：1010．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开后的常数项为______．答案：1120【解析】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，展开式的通项为，展开式中常数项，必有，即，所以展开式中常数项为.故答案为：.1．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（

）场次．A．53 B．52 C．51 D．50答案：C【解析】第一轮分成6个组进行单循环赛共需要场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要场比赛；故选：C．2．(2023·江苏盐城·三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（

）A．54种 B．240种 C．150种 D．60种答案：C【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有种；②三组人数为2、2、1，此时有种.所以共有60+90=150种.故选：C3．(2023·四川广安·模拟（理））在的展开式中，常数项为（

）A．-60 B．60 C．-240 D．240答案：D【解析】由题知，展开式中第项，令，得，所以展开式中常数项为.故选：D4．(2023·新疆·三模（理））若，则（

）A．270 B．135 C．135 D．270答案：B【解析】，以代替，得，所以其通项公式为，令，所以，故选：B5．(2023·江苏苏州·模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（

）A．216 B．180 C．108 D．72答案：A【解析】由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法种，其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为，故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为.故选：A.6．(2023·江苏·常州高级中学模拟）的展开式中的系数为（

）A． B．25 C． D．5答案：A【解析】∵的展开式为，令，得，则，令，得，则，令，得，∴的展开式中的系数为.故选：A．7．(2023·浙江·绍兴一中模拟）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．答案：44【解析】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共种，将女生插空时又分两种情形：先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计种；空位两侧共排一名女生时计种，共计种；第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共种，将女生插空共种，共计种，综上，共计种．故答案为：448．(2023·陕西·交大附中模拟（理））党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．答案：【解析】第一步将名毕业生分成组，且每组至少人，一共有3种分配方案，即1、1、4或1、2、3或2、2、2，其中1、1、4分配方式有种,1、2、3,分配方式有种,2、2、2，分配方式有种,第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，利用分步计数原理可知，分配方案的总数为，故答案为：.9．(2023·山东·胜利一中模拟）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________答案：【解析】解：因为的展开式中各项系数的和为，所以令，得，解得，所以二项式为，则展开式中含x的项为，故x的系数为-120，故答案为：10．(2023·青海·模拟（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一个世纪的“巴塞尔问题”：计算．已知，又知，，则______．答案：【解析】由，两边同时除以x，得，又展开式中的系数为，所以，所以．故答案为：．1．(2023·江苏省滨海中学模拟）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；所以个位是偶数共有20种；同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.故选：C2．(2023·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8答案：B【解析】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，故选：B.3．(2023·河南·模拟（理））已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（

）A．16 B．8 C．0 D．答案：D【解析】因为各项系数和为4，所以令x=1，代入可得，解得，所以原式为，又展开式的通项公式为，令k=3，则，所以可得一个的系数为，令k=0，则，又展开式的通项公式为，令，，所以可得一个的系数为，令，，所以可得一个的系数为，令k=1，，所以可得一个的系数为，综上：的系数为.故选：D4．(2023·湖南·长郡中学模拟）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（

）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为答案：ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故错误；对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故错误；对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，错误；故选：．5．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）的展开式中，下列结论正确的是（

）A．展开式共6项B．常数项为160C．所有项的系数之和为729D．所有项的二项式系数之和为64答案：BCD【解析】展开式的总项数是7，A不正确；展开式的通项公式为，令得，常数项为，B正确；取