福建省福州三牧中学2025届数学九上期末达标检测试题含解析

福建省福州三牧中学2025届数学九上期末达标检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5 B．10 C．20 D．242．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（）A．向左平移个单位，向下平移个单位B．向左平移个单位，向上平移个单位C．向右平移个单位，向下平移个单位D．向右平移个单位，向上平移个单位4．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）5．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内，且点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．其中，点A的纵坐标为2，则k的值为（）A．2﹣2 B．2﹣2 C．4﹣4 D．4﹣46．下面哪个图形不是正方体的平面展开图（）A． B．C． D．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝2：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．1：4 B．4：9 C．9：4 D．2：38．点P(6，-8)关于原点的对称点的坐标为()A．(-6，8) B．(–6，-8) C．(8，-6) D．(–8，-6)9．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是（）A． B． C． D．10．下列图像中，当时，函数与的图象时（）A． B． C． D．11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在ab、ac、b2﹣4ac，2a+b，a+b+c，这五个代数式中，其值一定是正数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（）A．6个 B．8个 C．9个 D．12个二、填空题（每题4分，共24分）13．反比例函数的图象在第____________象限.14．抛物线的对称轴是________．15．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝，AC＝5，则AB的长____．16．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出______个小分支．17．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率（代表入射角，代表折射角）.小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验；通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块，图③是实验的示意图，点A,C,B在同一直线上，测得，则光线从空射入水中的折射率n等于________.18．在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，矩形中，是边上一动点，过点的反比例函数的图象与边相交于点．（1）点运动到边的中点时，求反比例函数的表达式;（2）连接，求的值．20．（8分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.（1）该班男生“小刚被抽中”是事件，“小悦被抽中”是事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.21．（8分）沙坪坝正在创建全国文明城市，其中垃圾分类是一项重要的举措．现随机抽查了沙区部分小区住户12月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制成了以下两幅不完整的统计图，图中表示实施天数小于5天，表示实施天数等于5天，表示实施天数等于6天，表示实施天数等于7天．（1）求被抽查的总户数；（2）补全条形统计图；（3）求扇形统计图中的圆心角的度数．22．（10分）尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；（2）若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为．23．（10分）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连结.设点的横坐标为.①试用含的代数式表示的长；②直线能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由.（3）如图2，若点也在此抛物线上，问在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．25．（12分）为迎接年中、日、韩三国青少年橄榄球比赛，南雅中学计划对面积为运动场进行塑胶改造.经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能改造的面积是乙队每天能改造面积的倍，并且在独立完成面积为的改造时，甲队比乙队少用天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成塑胶改造的面积；（2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天，刚好完成改造任务，求与的函数解析式；（3）若甲队每天改造费用是万元，乙队每天改造费用是万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低的费用.26．解方程：x（x﹣3）+6＝2x．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直且平分,∴勾股定理求出菱形的边长=5,∴菱形的周长=20,故选C.【点睛】本题考查了菱形对角线的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.2、B【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正确；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正确．故选：B．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．3、D【解析】二次函数y=x1+4x+3=（x+1）1-1，将其向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到二次函数y=x1．故选D．点睛：抛物线的平移时解析式的变化规律：左加右减，上加下减．4、D【解析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解答：解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选D．5、B【分析】作AE⊥x轴于E，BF∥x轴，交AE于F，根据图象上点的坐标特征得出A（，2），证得△AOE≌△BAF（AAS），得出OE=AF，AE=BF，即可得到B（+2，2-），根据系数k的几何意义得到k=（+2）（2-），解得即可．【详解】解：作AE⊥x轴于E，BF//x轴，交AE于F，∵∠OAE+∠BAF＝90°＝∠OAE+∠AOE，∴∠BAF＝∠AOE，在△AOE和△BAF中∴△AOE≌△BAF（AAS），∴OE＝AF，AE＝BF，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点A的纵坐标为2，∴A（，2），∴B（+2，2﹣），∴k＝（+2）（2﹣），解得k＝﹣2±2（负数舍去），∴k＝2﹣2，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数的图象与性质，关键是构造全等三角形．6、A【分析】根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是正方体展开图，符合题意；B、是正方体展开图，不符合题意；C、是正方体展开图，不符合题意；D、是正方体展开图，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．7、B【分析】先判断△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∴△DEF∽△BAF，∴.又∵DE：EC＝2：1，∴，∴.故选B.【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.8、A【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），可以直接选出答案．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点可得：点P（6，-8）关于原点过对称的点的坐标是（-6，8）．故选：A.【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特点：它们的坐标符号相反．9、D【分析】先过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积=△COD的面积相等=|k2|，△AOE的面积=△CBD的面积相等=|k1|，最后计算平行四边形的面积．【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，根据∠AEB=∠CDO=90°，∠ABE=∠COD，AB=CO可得：△ABE≌△COD（AAS），∴S△ABE与S△COD相等，又∵点C在的图象上，∴S△ABE=S△COD=|k2|，同理可得：S△AOE=S△CBD=|k1|，∴平行四边形OABC的面积=2（|k2|+|k1|）=|k2|+|k1|=k2-k1，故选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．10、D【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．【详解】解：A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；

B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；

C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；

D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．

故选：D．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础．11、B【解析】试题分析：根据图象可知：，则；图象与x轴有两个不同的交点，则；函数的对称轴小于1，即，则；根据图象可知：当x=1时，，即；故本题选B．12、C【分析】设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案即可解决．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，解得：x＝9或x＝﹣8（舍去），故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，找到题意中蕴含的等量关系.二、填空题（每题4分，共24分）13、二、四【解析】根据反比例函数中k=-5得出此函数图象所在的象限即可．【详解】∵反比例函数中，k=-5＜0，∴此函数的图象在二、四象限，故答案为：二、四.【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，熟知反比例函数当k＜0时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．14、【分析】根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝−计算．【详解】抛物线y＝2x2＋24x−7的对称轴是：x＝−＝−1，故答案为：x＝−1．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝−是解题的关键．15、3.【分析】先根据同角的余角相等证明∠ADE＝∠ACD，在△ADC根据锐角三角函数表示用含有k的代数式表示出AD=4k和DC=3k，从而根据勾股定理得出AC=5k，又AC=5，从而求出DC的值即为AB.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝CD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ACD＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴tan∠ACD＝tan∠ADE＝＝，设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k，∴5k＝5，∴k＝1，∴CD＝AB＝3，故答案为3.【点睛】本题考查矩形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，解决此类问题时需要将已知角的三角函数、已知边、未知边，转换到同一直角三角形中，然后解决问题.16、6【分析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支，依题意，得：，解得：（不合题意，舍去），．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17、【分析】过D作GH⊥AB于点H，利用勾股定理求出BD和CD，再分别求出入射角∠PDG和折射角∠CDH的正弦值，根据公式可得到折射率.【详解】如图，过D作GH⊥AB于点H，在Rt△BDF中，BF=12cm，DF=16cm∴BD=cm∵四边形BFDH为矩形，∴BH=DF=16cm，DH=BF=12cm又∵BC=7cm∴CH=BH-BC=9cm∴CD=cm∵入射角为∠PDG，sin∠PDG=sin∠BDH=折射角为∠CDH，sin∠CDH=∴折射率故答案为：.【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键是找出图中的入射角与折射角，并计算出正弦值.18、二、四.【解析】试题解析：根据关联点的特征可知：如果一个点在第一象限，它的关联点在第三象限.如果一个点在第二象限，它的关联点在第二象限.如果一个点在第三象限，它的关联点在第一象限.如果一个点在第四象限，它的关联点在第四象限.故答案为二，四.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）．【分析】（1）先求出点F坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式；（2）利用点F的的横坐标为4，点的纵坐标为3，分别求得用k表示的BF、AE长，继而求得CF、CE长，从而求得结论．【详解】（1）是的中点，，点的坐标为，将点的坐标为代入得：∴，∴反比例函数的表达式；（2）点的横坐标为4，代入，，，，点的纵坐标为3，代入，，即，，，所以．【点睛】此题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，锐角三角函数，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．20、（1）不可能；随机；；（2）【解析】（1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率；（2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得.【详解】（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为，故答案为不可能，随机，；（2）画树状图如下：由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，所以“小惠被抽中”的概率是:.【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21、（1）600；（2）详见解析；（3）72°【分析】（1）根据统计图可得，被抽查的总户数为；（2）先求出B,D对应的户数，再画图；D：（户）；B：（户）（3）根据扇形统计图定义，B的圆心角度数为【详解】解：（1）被抽查的总户数为=600（2）D：=180（户）B：（户）条形统计图如图所示：（3）B的圆心角度数为【点睛】考核知识点：条形图和扇形统计图.理解统计图意义，从统计图分析信息是关键.22、（1）答案见解析；（2）1．【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．【详解】解：（1）作法如下：①作线段AB的垂直平分线，②作线段BC的垂直平分线，③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；（2）连接OA，OC，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AC＝1，∴OA＝OC＝1，即圆的半径是1，故答案为1．【点睛】本题考查了尺规作三角形外接圆、圆中的计算问题，解题的关键是熟知“三角形边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心”．23、（1），顶点坐标为：；（2）①；②能，理由见解析，点的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为：或.【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；（2）①先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点D、E的坐标，然后分点D在y轴右侧和y轴左侧利用或列式化简即可；②根据题意容易判断：点D在y轴左侧时，不存在这样的点；当点D在y轴右侧时，分或两种情况，设出E、F坐标后，列出方程求解即可；（3）先求得点M、N的坐标，然后连接CM，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，即可判断∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，所以另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，然后根据圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出CQ的长，进而可得结果.【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点，∴设抛物线的表达式为：，把点代入并求得：，∴抛物线的表达式为：，即，∴抛物线的顶点坐标为：；（2）①设直线的表达式为：，则，解得：，∴直线的表达式为：，设，则，当时，∴，当时，，综上：，②由题意知：当时，不存在这样的点；当时，或，∵，∴，∴，解得（舍去），∴，或，解得（舍去），（舍去），综上，直线能把分成面积之比为1：2的两部分，且点的坐标为；（3）∵点在抛物线上，∴，∴，连接MC，如图，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y轴，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，∴另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，连接HN，∵，∴MN=，CM=1，∵，∴∠MHN=90°，则半径MH=NH=，∵∠MCQ=90°，∴MQ是直径，且，∴，∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；综上，在轴上存在点，使，且点Q的坐标为：或.【点睛】本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积问题、一元二次方程的求解、圆周角定理及其推论、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键，熟知函数图象上点的坐标特征、正确进行分类是解（2）题的关键，将所求点Q的坐标转化为圆的问题、灵活应用数形结合的思想是解（3）题的关键.24、（1）证明见解析；（2）BD=．【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；（2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=．【详解】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直