2024新教材高中数学第4章三角恒等变换2两角和与差的三角函数公式2.3两角和与差的正弦正切公式及其应用素养作业北师大版必修第二册

PAGEPAGE1第四章2.3A组·素养自测一、选择题1．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝(D)A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝eq\f(1,2).2．计算：eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)＝(B)A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)[解析]eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos\f(π,12)＋\f(\r(3),2)sin\f(π,12)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝2eq\r(2)sineq\f(π,4)＝2.3．函数f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域为(B)A．[－2,2] B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．[－1,1] D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))[解析]f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\f(3,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx－\f(1,2)cosx))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．4．若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于(B)A．eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13)C．eq\f(12,13) D．－eq\f(12,13)[解析]f(x)＝5cosx＋12sinx＝13eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)cosx＋\f(12,13)sinx))＝13sin(x＋α)，其中sinα＝eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(12,13).由题意知θ＋α＝2kπ－eq\f(π,2)，(k∈Z)，得θ＝2kπ－eq\f(π,2)－α，(k∈Z)，所以cosθ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\f(5,13).5．函数f(x)＝sin2x－eq\r(3)cos2x在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的零点之和是(B)A．－eq\f(π,3) B．－eq\f(π,6)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,3)[解析]由题意得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，令f(x)＝0，解得2x－eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，所以f(x)的零点为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，令k＝－1，则x＝－eq\f(π,3)，令k＝0，则x＝eq\f(π,6)，所以f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的零点之和为－eq\f(π,3)＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6).故选B．6．函数f(x)＝cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的一个单调递增区间为(A)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，\f(π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))[解析]由题可知f(x)＝cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(3,2)cosx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，可得－eq\f(5π,6)≤x≤eq\f(π,6)，即函数的一个单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，\f(π,6)))，故选A．二、填空题7．函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为eq\r(5).[解析]f(x)＝eq\r(12＋22)sin(x＋φ)＝eq\r(5)sin(x＋φ)≤eq\r(5).8．化简：eq\f(2cos10°－\r(3)sin50°,cos50°)＝1.[解析]原式＝eq\f(2cos60°－50°－\r(3)sin50°,cos50°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos50°＋\f(\r(3),2)sin50°))－\r(3)sin50°,cos50°)＝eq\f(cos50°,cos50°)＝1．9．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值是eq\f(4,5).[解析]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5).三、解答题10．已知函数f(x)＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))－eq\r(3)cos2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值与最小值．[解析](1)f(x)＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))－eq\r(3)cos2x＝sin2x－eq\r(3)cos2x＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，∴f(x)max＝3，f(x)min＝1－eq\r(3).B组·素养提升一、选择题1．已知向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)cosα，eq\r(2)sinα)，则eq\o(OA,\s\up6(→))的模的取值范围是(D)A．[1,3] B．[1,3eq\r(2)]C．[eq\r(2)，3] D．[eq\r(2)，3eq\r(2)][解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2＋eq\r(2)cosα，2＋eq\r(2)sinα)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2＋\r(2)cosα2＋2＋\r(2)sinα2)＝eq\r(10＋8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))，所以eq\r(2)≤|eq\o(OA,\s\up6(→))|≤3eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．故选D．2．函数y＝eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(3,2)sinx具有性质(C)A．最大值为eq\r(3)，图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称B．最大值为1，图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称C．最大值为eq\r(3)，图象关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称D．最大值为1，图象关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称[解析]y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx－\f(\r(3),2)sinx))＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx·cos\f(π,3)))－eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx·sin\f(π,3)))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，其最大值为eq\r(3)，解除B，D；由x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)得x＝kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)为此函数的对称轴方程，不包含直线x＝eq\f(π,6)，解除A．故选C．3．若eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx＝4－m，则实数m的取值范围是(A)A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5C．3<m<5 D．－3≤m≤3[解析]∵eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx＝cosxcoseq\f(π,3)＋sinxsineq\f(π,3)＝cos(x－eq\f(π,3))＝4－m，∴cos(x－eq\f(π,3))＝4－m，∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5.4．(多选)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的可能值为(AB)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(3π,4) D．π[解析]f(x)＝cosx－sinx＝－eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx·\f(\r(2),2)－cosx·\f(\r(2),2)))＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3,4)π))，即x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))单调递增，y＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))单调递减．∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3,4)π))，∴0<a≤eq\f(π,4)，故选A，B．二、填空题5．已知△ABC中，∠A＝120°，则sinB＋sinC的最大值为1.[解析]由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB＝sin(60°＋B)．明显当∠B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1．6．若函数f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx,0≤x<eq\f(π,2)，则f(x)的最大值为2.[解析]f(x)＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，∵0≤x<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴当x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)时，f(x)取最大值为2.三、解答题7．已知函数f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx＋eq\f(1,2)cosωx(ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))的值；(2)若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(12,13)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,6)))＝－eq\f(3,5)，求cos(α＋β)的值．[解析](1)因为f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx＋eq\f(1,2)cosωx，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6))).因为函数f(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝2π，ω＝eq\f(2π,T)＝1，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)coseq\f(π,4)－coseq\f(π,6)sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝sinα＝eq\f(12,13)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,6)))＝sin(β＋π)＝－sinβ＝－eq\f(3,5)，所以sinβ＝eq\f(3,5).因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(5,13)，cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(5,13)×eq\f(4,5)－eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝－eq\f(16,65).8．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，其中0<ω<3.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4