新教材2024年高中数学第1章直线与圆2圆与圆的方程2.4圆与圆的位置关系素养作业北师大版选择性必修第一册

第一章§22.4A组·素养自测一、选择题1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为(D)A．4 B．4eq\r(2)－1C．2eq\r(2)－2 D．2[解析]∵|CC′|＝5＜R－r＝7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2.2．求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为(A)A．(x－1)2＋(y＋4)2＝8B．(x＋1)2＋(y－4)2＝8C．(x－1)2＋(y－4)2＝8D．(x＋1)2＋(y＋4)2＝8[解析]设圆心M(x0，－4x0)，则kMP＝－eq\f(1,kl)＝1，即eq\f(4x0－2,3－x0)＝1，解得x0＝1，M(1，－4)，r＝2eq\r(2)，则圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.3．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(B)A．1条 B．2条C．3条 D．4条[解析]⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，|C1C2|＝eq\r(13)，0<eq\r(13)<4，∴两圆相交．4．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是(B)A．(1，－2) B．(3，－2)C．(2，－1) D．(eq\r(2)＋2，eq\r(2)－3)[解析]验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x－y－5＝0上，故选B．5．动点P与定点A(－1,0)，B(1,0)连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程为(B)A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0) D．y＝eq\r(1－x2)[解析]干脆法，设P(x，y)，由kPA＝eq\f(y,x＋1)，kPB＝eq\f(y,x－1)及题设条件eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝－1(x≠±1)知选B．6．(多选)已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，假如两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的取值可能是(BCD)A．－2 B．－1C．1 D．3[解析]当圆O1与圆O2相外切时，eq\r(a－02＋0－02)＝3，∴a2＝9，a＝±3.当圆O1与圆O2相内切时，eq\r(a－02＋0－02)＝1，∴a2＝1，∴a＝±1，故选BCD．二、填空题7．圆x2＋y2＋2x＝0和圆x2＋y2－4y＝0的公共弦的长度为_eq\f(4\r(5),5)__.[解析]联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＝0，,x2＋y2－4y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,5)，,y＝\f(4,5).))∴两圆的交点P(0,0)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(4,5))).∴|PQ|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(4\r(5),5).8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满意的条件是_a2＋b2>3＋2eq\r(2)__.[解析]由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，eq\r(2)和(0，b)，1.因为两圆外离，所以eq\r(a2＋b2)>eq\r(2)＋1，即a2＋b2>3＋2eq\r(2).三、解答题9．推断下列两圆的位置关系．(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.[解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝eq\r(2)，d＝|C1C2|＝eq\r(2－12＋－12)＝eq\r(2).∵r1＋r2＝2＋eq\r(2)，r1－r2＝2－eq\r(2)，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－eq\r(3))2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(eq\r(3)，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝eq\r(3＋1)＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，d＝|C1C2|＝eq\r(2＋62＋3＋32)＝10.∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，d＝|C1C2|＝eq\r(2＋12＋3－12)＝eq\r(13).∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，∴r2－r1<d<r1＋r2，两圆相交．10．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l：mx＋y－7＝0与C2相切．求：(1)圆C2的标准方程；(2)m的值．[解析](1)由题知C1：(x－1)2＋(y－2)2＝18，C2：(x－a)2＋(y－3)2＝8.因为C1与C2相外切，所以圆心距d＝r1＋r2，即eq\r(a－12＋3－22)＝3eq\r(2)＋2eq\r(2)，所以a＝8或－6(舍去)．所以圆C2的标准方程为(x－8)2＋(y－3)2＝8.(2)由(1)知圆心C2(8,3)，因为l与C2相切，所以圆心C2到直线l的距离d＝r，即eq\f(|8m＋3－7|,\r(m2＋1))＝2eq\r(2)，所以m＝1或eq\f(1,7).B组·素养提升一、选择题1．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝1，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心，半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是(A)A．1 B．－3C．5 D．－7[解析]∵圆C的方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心C(3,0)，设y轴上一点A(0，b)，当以A为圆心，半径为3的圆与圆C有公共点时，满意3－1≤|CA|≤3＋1，∴2≤eq\r(0－32＋b－02)≤4，得－eq\r(7)≤b≤eq\r(7)，∴A的纵坐标可以是1，故选A．2．已知函数f(x)＝bx－b2－eq\f(1,4)(b>0，x∈R)，若(m＋1)2＋(n＋1)2＝2，则eq\f(fn,fm)的取值范围是(D)A．[－eq\r(3)，2] B．[eq\r(3)，2＋eq\r(3)]C．[2－eq\r(3)，eq\r(3)] D．[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)][解析]eq\f(fn,fm)＝eq\f(bn－b2－\f(1,4),bm－b2－\f(1,4))＝eq\f(n－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,4b))),m－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,4b))))，可以看作点(m，n)与点eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,4b)))，b＋eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4b)))连线的斜率，点(m，n)在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,4b)，b＋\f(1,4b)))在直线y＝x(x≥1)上，结合图形分析可得，当过点(1,1)作圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的切线，此时两条切线的斜率分别是eq\f(fn,fm)的最大值和最小值．两条切线与圆心(－1，－1)、点(1,1)所在直线的夹角均为eq\f(π,6)，两条切线的倾斜角分别为eq\f(π,12)，eq\f(5π,12)，故所求直线的斜率的范围为[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．3．过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3,0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(A)A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．x＋4y－3＝0 D．x－4y－3＝0[解析]圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心C(1，－2)，当CM⊥l时，l截圆所得的弦最短，kCM＝eq\f(－2－0,1－3)＝1，∴kl＝－1，故所求直线l的方程为y－0＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度是(B)A．3 B．4C．2eq\r(3) D．8[解析]如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线相互垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq\f(AO1,O1O2)＝eq\f(\r(5),5)，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2C＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B．二、填空题5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq\r(3)，则a＝_1__.[解析]x2＋y2＋2ay＝6，x2＋y2＝4，两式相减得y＝eq\f(1,a).圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为eq\f(1,a)，则有eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2)＝eq\r(3)，解得a＝1.6．已知集合A＝{(x，y)|y＝eq\r(49－x2)}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠∅，则m的取值范围是_－7≤m≤7eq\r(2)__.[解析]由A∩B≠∅，即直线y＝x＋m与半圆y＝eq\r(49－x2)有交点，如图所示．如图可知，－7≤m≤7eq\r(2).三、解答题7．求经过两圆x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的交点，且圆心在直线2x－y＝0上的圆的方程．[解析]方法1：由两圆方程联立求得交点A(1，－2)，B(3，0)，设圆心C(a，b)，则由|CA|＝|CB|及C在直线2x－y＝0上，求出a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3).∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.方法2：同上求得A(1，－2)、B(3,0)，则圆心在线段AB的中垂线y＝－x＋1上，又在y＝2x上，得圆心坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))).∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.8．求⊙C1：x2＋y2－2y＝0与⊙C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的公切线方程．[解析]⊙C1：x2＋(y－1)2＝12，圆心C1(0,1)，半径r＝1，⊙C2：(x－eq\r(3))2＋y2＝32，圆心C2(eq\r(3)，0)，半径R＝3，圆心距|C1C2|＝2，∴|C1C2|＝R－r，故