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文档简介
第一章§22.4A组·素养自测一、选择题1.已知M是圆C:(x-1)2+y2=1上的点,N是圆C′:(x-4)2+(y-4)2=82上的点,则|MN|的最小值为(D)A.4 B.4eq\r(2)-1C.2eq\r(2)-2 D.2[解析]∵|CC′|=5<R-r=7,∴圆C内含于圆C′,则|MN|的最小值为R-|CC′|-r=2.2.求圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程为(A)A.(x-1)2+(y+4)2=8B.(x+1)2+(y-4)2=8C.(x-1)2+(y-4)2=8D.(x+1)2+(y+4)2=8[解析]设圆心M(x0,-4x0),则kMP=-eq\f(1,kl)=1,即eq\f(4x0-2,3-x0)=1,解得x0=1,M(1,-4),r=2eq\r(2),则圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.3.两圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0和C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有(B)A.1条 B.2条C.3条 D.4条[解析]⊙C1圆心C1(-1,-1),半径r1=2,⊙C2圆心C2(2,1),半径r2=2,|C1C2|=eq\r(13),0<eq\r(13)<4,∴两圆相交.4.圆(x-2)2+(y+3)2=2上与点(0,-5)距离最大的点的坐标是(B)A.(1,-2) B.(3,-2)C.(2,-1) D.(eq\r(2)+2,eq\r(2)-3)[解析]验证法:所求的点应在圆心(2,-3)与点(0,-5)确定的直线x-y-5=0上,故选B.5.动点P与定点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率之积为-1,则P点的轨迹方程为(B)A.x2+y2=1 B.x2+y2=1(x≠±1)C.x2+y2=1(x≠0) D.y=eq\r(1-x2)[解析]干脆法,设P(x,y),由kPA=eq\f(y,x+1),kPB=eq\f(y,x-1)及题设条件eq\f(y,x+1)·eq\f(y,x-1)=-1(x≠±1)知选B.6.(多选)已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,假如两个圆有且只有一个公共点,那么实数a的取值可能是(BCD)A.-2 B.-1C.1 D.3[解析]当圆O1与圆O2相外切时,eq\r(a-02+0-02)=3,∴a2=9,a=±3.当圆O1与圆O2相内切时,eq\r(a-02+0-02)=1,∴a2=1,∴a=±1,故选BCD.二、填空题7.圆x2+y2+2x=0和圆x2+y2-4y=0的公共弦的长度为_eq\f(4\r(5),5)__.[解析]联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2+2x=0,,x2+y2-4y=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-\f(8,5),,y=\f(4,5).))∴两圆的交点P(0,0),Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(8,5),\f(4,5))).∴|PQ|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)=eq\f(4\r(5),5).8.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满意的条件是_a2+b2>3+2eq\r(2)__.[解析]由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),eq\r(2)和(0,b),1.因为两圆外离,所以eq\r(a2+b2)>eq\r(2)+1,即a2+b2>3+2eq\r(2).三、解答题9.推断下列两圆的位置关系.(1)C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0;(2)C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-2eq\r(3)x-6=0;(3)C1:x2+y2-4x-6y+9=0,C2:x2+y2+12x+6y-19=0;(4)C1:x2+y2+2x-2y-2=0,C2:x2+y2-4x-6y-3=0.[解析](1)∵C1:(x-1)2+y2=4,C2:(x-2)2+(y+1)2=2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0),半径r1=2,圆C2的圆心坐标为(2,-1),半径r2=eq\r(2),d=|C1C2|=eq\r(2-12+-12)=eq\r(2).∵r1+r2=2+eq\r(2),r1-r2=2-eq\r(2),∴r1-r2<d<r1+r2,两圆相交.(2)∵C1:x2+(y-1)2=1,C2:(x-eq\r(3))2+y2=9,∴圆C1的圆心坐标为(0,1),r1=1,圆C2的圆心坐标为(eq\r(3),0),r2=3,d=|C1C2|=eq\r(3+1)=2.∵r2-r1=2,∴d=r2-r1,两圆内切.(3)∵C1:(x-2)2+(y-3)2=4,C2:(x+6)2+(y+3)2=64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3),r1=2,圆C2的圆心坐标为(-6,-3),r2=8,d=|C1C2|=eq\r(2+62+3+32)=10.∵r1+r2=10,∴d=r1+r2,两圆外切.(4)∵C1:(x+1)2+(y-1)2=4,C2:(x-2)2+(y-3)2=16,∴圆C1的圆心坐标为(-1,1),r1=2,圆C2的圆心坐标为(2,3),r2=4,d=|C1C2|=eq\r(2+12+3-12)=eq\r(13).∵r1+r2=6,r2-r1=2,∴r2-r1<d<r1+r2,两圆相交.10.已知圆C1:x2+y2-2x-4y-13=0,C2:x2+y2-2ax-6y+a2+1=0(其中a>0)相外切,且直线l:mx+y-7=0与C2相切.求:(1)圆C2的标准方程;(2)m的值.[解析](1)由题知C1:(x-1)2+(y-2)2=18,C2:(x-a)2+(y-3)2=8.因为C1与C2相外切,所以圆心距d=r1+r2,即eq\r(a-12+3-22)=3eq\r(2)+2eq\r(2),所以a=8或-6(舍去).所以圆C2的标准方程为(x-8)2+(y-3)2=8.(2)由(1)知圆心C2(8,3),因为l与C2相切,所以圆心C2到直线l的距离d=r,即eq\f(|8m+3-7|,\r(m2+1))=2eq\r(2),所以m=1或eq\f(1,7).B组·素养提升一、选择题1.已知圆C的方程为(x-3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是(A)A.1 B.-3C.5 D.-7[解析]∵圆C的方程为(x-3)2+y2=1,∴圆心C(3,0),设y轴上一点A(0,b),当以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点时,满意3-1≤|CA|≤3+1,∴2≤eq\r(0-32+b-02)≤4,得-eq\r(7)≤b≤eq\r(7),∴A的纵坐标可以是1,故选A.2.已知函数f(x)=bx-b2-eq\f(1,4)(b>0,x∈R),若(m+1)2+(n+1)2=2,则eq\f(fn,fm)的取值范围是(D)A.[-eq\r(3),2] B.[eq\r(3),2+eq\r(3)]C.[2-eq\r(3),eq\r(3)] D.[2-eq\r(3),2+eq\r(3)][解析]eq\f(fn,fm)=eq\f(bn-b2-\f(1,4),bm-b2-\f(1,4))=eq\f(n-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b+\f(1,4b))),m-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b+\f(1,4b)))),可以看作点(m,n)与点eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(b+\f(1,4b))),b+eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4b)))连线的斜率,点(m,n)在圆(x+1)2+(y+1)2=2上,点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b+\f(1,4b),b+\f(1,4b)))在直线y=x(x≥1)上,结合图形分析可得,当过点(1,1)作圆(x+1)2+(y+1)2=2的切线,此时两条切线的斜率分别是eq\f(fn,fm)的最大值和最小值.两条切线与圆心(-1,-1)、点(1,1)所在直线的夹角均为eq\f(π,6),两条切线的倾斜角分别为eq\f(π,12),eq\f(5π,12),故所求直线的斜率的范围为[2-eq\r(3),2+eq\r(3)].3.过圆x2+y2-2x+4y-4=0内的点M(3,0)作一条直线l,使它被该圆截得的线段最短,则直线l的方程是(A)A.x+y-3=0 B.x-y-3=0C.x+4y-3=0 D.x-4y-3=0[解析]圆x2+y2-2x+4y-4=0的圆心C(1,-2),当CM⊥l时,l截圆所得的弦最短,kCM=eq\f(-2-0,1-3)=1,∴kl=-1,故所求直线l的方程为y-0=-(x-3),即x+y-3=0.4.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线相互垂直,则线段AB的长度是(B)A.3 B.4C.2eq\r(3) D.8[解析]如图,连接O1A,O2A,由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线相互垂直,因此O1A⊥O2A,所以|O1O2|2=|O1A|2+|O2A|2,即m2=5+20=25,设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中,sin∠AO2O1=eq\f(AO1,O1O2)=eq\f(\r(5),5),∴在Rt△ACO2中,|AC|=|AO2|·sin∠AO2C=2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)=2,∴|AB|=2|AC|=4.故选B.二、填空题5.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2eq\r(3),则a=_1__.[解析]x2+y2+2ay=6,x2+y2=4,两式相减得y=eq\f(1,a).圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2,则圆心到公共弦所在直线的距离为eq\f(1,a),则有eq\r(22-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2)=eq\r(3),解得a=1.6.已知集合A={(x,y)|y=eq\r(49-x2)},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠∅,则m的取值范围是_-7≤m≤7eq\r(2)__.[解析]由A∩B≠∅,即直线y=x+m与半圆y=eq\r(49-x2)有交点,如图所示.如图可知,-7≤m≤7eq\r(2).三、解答题7.求经过两圆x2+y2-2x-3=0与x2+y2-4x+2y+3=0的交点,且圆心在直线2x-y=0上的圆的方程.[解析]方法1:由两圆方程联立求得交点A(1,-2),B(3,0),设圆心C(a,b),则由|CA|=|CB|及C在直线2x-y=0上,求出a=eq\f(1,3),b=eq\f(2,3).∴所求圆的方程为3x2+3y2-2x-4y-21=0.方法2:同上求得A(1,-2)、B(3,0),则圆心在线段AB的中垂线y=-x+1上,又在y=2x上,得圆心坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(2,3))).∴所求圆的方程为3x2+3y2-2x-4y-21=0.8.求⊙C1:x2+y2-2y=0与⊙C2:x2+y2-2eq\r(3)x-6=0的公切线方程.[解析]⊙C1:x2+(y-1)2=12,圆心C1(0,1),半径r=1,⊙C2:(x-eq\r(3))2+y2=32,圆心C2(eq\r(3),0),半径R=3,圆心距|C1C2|=2,∴|C1C2|=R-r,故
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