有限样本空间与随机事件-高一数学下学期人教A版2019必修第二册

10.1.1有限样本空间与随机事件

木柴燃烧,产生热量明天，地球还会转动在00C下，这些雪融化在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.实心铁块丢入水中,铁块浮起情景引入抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况抛掷一枚骰子，观察观察出现点数的情况买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况这类现象的共性是∶就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性（可能发生也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果），但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性．这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象．探究一：随机试验研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.考虑下面随机试验可能出现的基本结果.（1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；（2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；（3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；（4）记录某地区７月份的降雨量.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.可重复性可预知性随机性我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.归纳总结思考1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0、1、2、…、9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？根据球的号码，共有10种可能结果．用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.Ωω如果一个随机试验有n个可能结果的ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Q={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.探究二：样本空间与样本点例1：抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解:

因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上,反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω={h,t}.样本空间的表达形式不唯一例题课本227页例2：抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.解:用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.课本227页例3：抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解:掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是，试验的样本空间正面朝上→1反面朝上→0如图所示，画树状图可以帮助我们理解此例的解答过程.Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}.101010第一枚第二枚Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.课本227页1.一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4张标签.写出满足下列条件的试验的样本空间:(1)一次任取2张标签;(2)不放回依次取2张标签;(3)有放回依次取2张标签.练习解:

１２３４解:

2１３４3１2４4１23１1234解:

2123431234412341234前推法2.写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.解:(1)Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生，则样本空间为Ω={m,f}.(2)Ω={O,A,B,AB}.(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，样本空间为Ω={bb,bg,gb,gg}.课本229页解:(4)每次射击，中靶用1表示，脱靶用0表示，则3次射击的样本空间为Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.(5)Ω={0,1,2,3}.2.写出下列各随机试验的样本空间：（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.课本229页思考２：在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗?摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？探究三：随机事件“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件．我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}．因此，可以用样本空间Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示随机事件A．类似地，可以用样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”．随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.基本事件：只包含一个样本点的事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.Ω为必然事件.不可能事件：在每次试验中都不会发生.∅为不可能事件.归纳总结（1）某地1月1日刮西北风；（2）当x是实数时，x2≥0；（3）手电筒的电池没电，灯泡发亮；（4）一个电影院某天的上座率超过50%.（5）如果a＞b，那么a-b＞0；（6）从分别标有数字l,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签;（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；（8）随机选取一个实数x，得|x|<0.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件.练习随机事件必然事件不可能事件随机事件必然事件随机事件随机事件不可能事件例4:

如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：

M=“恰好两个元件正常”；

N=“电路是通路”；

T=“电路是断路”.ACB解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间例题Ω={(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1),(1,1,1)}.课本228页01元件A0101元件B01010101元件C000001010011100101110可能结果111还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下图.ACB（2）用集合表示下列事件:

M=“恰好两个元件正常”；

N=“电路是通路”；

T=“电路是断路”．解:“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以M={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一个是1,所以N={(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}；“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=0，或且x1=1，x2=x3=0，所以T={(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}．ACB课本228页1.如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.（1）写出试验的样本空间;（2）对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点;（3）对并联电路,写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.练习解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)对于串联电路，M={(1,1)}.(3)对于并联电路，N={(0,0)}.课本229页2.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机模出一个球（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”解:(1)Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)A={1,2,3,4};B={5,6,7,8,9};C={2,4,6,8}.课本229页随堂检测2．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则事件：log2xy＝1包含的样本点有

．解析：先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．解方程log2xy＝1得y＝2x，则符合条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)．答案：(1,2)，(2,4)，(3,6)(x,y)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(1,2)，(2,4)，(3,6)3.甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．（1）写出这个游戏对应的样本空间；（2）写出这个游戏的样本点总数；（3）写出事件A：“甲赢”的集合表示；（4）说出事件B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义．解：（1）用(锤，剪)表示甲出锤，乙出剪，其他样本点用类似方法表示，则这个游戏对应的样本空间为Ω＝{(锤,剪)，(锤,布)，(锤,锤)，(剪,锤)，(剪,剪)，(剪,布)，(布,锤)，(布,剪)，(布,布)}．（2）这个游戏的样本点总数为9．（3）事件A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．（4）事件B表示“平局”．4.抛掷三枚硬币，可能“正面朝上”，也可能“反面朝上”．把抛掷三枚硬币朝上的情况看成是一个随机现象，观察这个现象中朝上的可能性．（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：M=“恰好两个正面朝上”；

N=“至多一个正面朝上”．解：分别用x1，x2，x3表示表示每一枚硬币的可能状态，则这个随机事件的结果可用(x1，x2，x3)表示.同时，用1表示“正面朝