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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年北京市昌平区高一下学期期末质量抽测数学试卷第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.已知角α的终边经过点P2,−1,则cosα=(
)A.55 B.−55 2.若sinθ>0,tanθ<0,则θ是(
)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,则z1A.1+2i B.1−2i C.−1+2i D.−1−2i4.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是(
)A.若m⊥α,α⊥β,则m//β B.若α∩β=l,l//m,则m//β
C.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β D.若m⊥α,α//β,则m⊥β5.已知圆锥的母线长为5,侧面展开图扇形的弧长为6π,则该圆锥的体积为(
)A.12π B.15π C.36π D.45π6.在▵ABC中,a=3,b=4,cosB=13,则∠A=A.π6 B.π4 C.π6或5π6 7.已知z1,z2是两个复数,则“z1,z2互为共轭复数”是“z1,A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位:m)的部分记录表.时间0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0据分析,这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13:00的水深值为(
)A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.679.函数fx=Atanωx+φ(ω>0,φ<A.1 B.3 C.3 D.10.在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P为矩形ABCD所在平面内的动点,且PA=1,则PB⋅PC的最大值是(
)A.9 B.10 C.11 D.12第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。11.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的侧面积为
.12.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P35,m,则cosβ=13.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60∘,BC=2BP,则AP⋅14.已知函数fx=sinx,x∈−π2,π2cosx,x∈π2,15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱AA1,C①A1B//②点H轨迹的长度为π;③存在点H,使得直线DH⊥平面EFG;④平面EFG截正方体所得的截面面积为3其中所有正确结论的序号是
.
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。16.(本小题13分)已知sinα=35(1)求tanα+(2)求cos2α17.(本小题13分)已知向量a=3,−1,(1)若a⊥ma(2)若m=−2,求a与b夹角的大小.18.(本小题14分)已知函数fx=23sin(1)求fx(2)求fx在区间−(3)若fx在区间0,m上单调递增,求实数m的最大值.19.(本小题15分)在▵ABC中,a(1)求∠C;(2)若a=6,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得(ⅰ)求sinB(ⅱ)求▵ABC的面积.条件①:cosA=条件②:c=2;条件③:c=3注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.20.(本小题15分)如图,在几何体ABCDEF中,侧面ADEF是正方形,平面CDE⊥平面ABCD,CD//AB,∠ADC=90∘,(1)求证:AD⊥CE;(2)求证:CE//平面ABF;(3)判断直线BE与CF是否相交,说明理由.21.(本小题15分)已知函数fx=sinx+cosx,先将fx(1)求gx(2)已知关于x的方程fx+gx=m在区间(ⅰ)求实数m的取值范围;(ⅱ)求cosα−β的值.(用含m的式子表示)
答案解析1.C
【解析】因为角α的终边经过点P2,−1,所以cos故选:C.2.B
【解析】由sinθ>0,可得θ的终边在第一象限或第二象限或与y由tanθ<0,可得θ因为sinθ>0,tanθ<0同时成立,所以故选:B3.A
【解析】由题知Z1(0,−1),Z得到z1故选:A.4.D
【解析】对于A:若m⊥α,α⊥β,则可能m⊂β,A错误;对于B:若α∩β=l,l//m,则可能m⊂β,B错误;对于C:若m⊂α,α⊥β,则m可能不垂直β,C错误;对于D:若m⊥α,α//β,则m⊥β,D正确.故选:D.5.A
【解析】因为侧面展开图扇形的弧长为6π=2πr,所以r=3,又因为圆锥的母线长为5,设圆锥的高为ℎ,ℎ所以圆锥的体积为V=1故选:A.6.B
【解析】因为a=3,b=4,cosB=13得到16=9+c2−2×3c×13由cosA=b2又A∈0,π,所以A=故选:B.7.D
【解析】若z1,z2互为共轭复数,设z1则z1−z2=a+bi−(a−bi)=2bi,若b=0,则z1−z2不妨取z1=3i,z2=5i,则z1但z1,z2不互为共轭复数,所以“z1,z2互为共轭复数”是“故选:D.8.C
【解析】记时间为x,水深值为y,设时间与水深值的函数关系式为y=fx由表中数据可知,T=12,f所以ω=2π12=所以fx又x=3时,y=7.5,所以52所以π2+φ=π所以fxf13即13:00的水深值大约为6.25.故选:C9.C
【解析】由图知π2ω=5π12由Atan(5π6+φ)=0,得到φ=−由Atanπ6=1,得到得到f13π故选:C.10.B
【解析】如图,建立平面直角坐标系,设P(x,y),BC中点为H,因为AB=2,AD=3,所以A(0,0),B(2,0),C(2,3),H(2,3得到PB=(2−x,−y),PC=(2−x,3−y)又因为PA=1,所以x2又PH=(x−2)2+(y−32所以PB⋅故选:B.11.8
【解析】如图,AC∩BD=O,取BC中点H,连接OH,PH,易知PH⊥BC,因为正四棱锥的底面边长为2,高为3,则OH=1,PH=所以正四棱锥的侧面积为S=4×1故答案为:8.12.−3【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称,且角α的终边与单位圆交于点P(3所以(35)当m=45时,即角β的终边与单位圆的交点所以cosβ=−当m=−45时,即角β的终边与单位圆的交点所以cosβ=−综上所述,cosβ=−故答案为:−13.−1
【解析】因为BC=2BP,所以AP=所以AP⋅又菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60∘,所以故答案为:−1.14.−1,1
;;−【解析】当x∈−π2当x∈π2,当x∈3π4,π综上,函数fx的值域为−1,1作出函数fx因为关于x的方程fx所以直线y=a与函数fx由图可知,−22<a<0,即实数故答案为:−1,1;−15.①②④
【解析】如图:因为F,G分别为C1D1,C又CD1//A1B,所以A1B//FG,又所以A1B//平面EFG,故连接DB1,交EG于点O,易证DB1⊥平面EFG所以OH=12,故H点轨迹是平面EFG内以O为圆心,以所以H点轨迹长度为:2π×12=π由②可知,DH不可能与平面EFG垂直,故③不成立;做出截面EFG,可知截面是正六边形,且边长为22,其面积为:6×故答案为:①②④16.(1)因为sinα=35,且α为第二象限角,所以cos所以tanα+(2)因为cos2α由(1)知sinα=35,cos【解析】(1)根据条件,利用平方关系得到cosα=(2)利用倍角公式及正弦的差角公式,得到cos2α17.(1)ma因为a⊥ma解得m=3(2)若m=−2,则b=因为a=32+所以cosa因为cosa,b18.(1)因为fx又fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,且ω>0,所以πω所以fx(2)由(1)知fx=2sin(2x−因为x∈−π4,π所以fx在区间−π4(3)因为fx由−π2+2kπ≤2x−令k=0,得到−π6≤x≤π3所以实数m的最大值为π3
19.(1)因为a2+b所以2cosC=−1,即cosC=−12(2)选择条件①:因为cosA=22,又由(1)知C=2π3,所以(ⅰ)sin(ⅱ)因为a=6,由正弦定理asinA=所以▵ABC的面积为S=1选择条件②:因为c=2,由(1)知C=2π3,而c=2<a=选择条件③:c=32sinA=由正弦定理得sinC=3sin2A得到sin2A=12,又A∈0,π(ⅰ)sin(ⅱ)因为a=6,由正弦定理asinA=所以▵ABC的面积为S=120.(1)因为平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,又AD⊥DC,AD⊂面ABCD,所以AD⊥面CDE,又CE⊂面CDE,所以AD⊥CE.(2)取AB中点H,连接CH,FH,因为AB=2CD,CD//AB,所以AH//DC且AH=DC,所以AHDC为平行四边形,得到AD//HC且AD=HC,所以HCEF为平行四边形,得到HF//CE,又HF⊂面ABF,CE⊄面ABF,所以CE//平面ABF.(3)直线BE与CF不相交,理由如下,由(2)知CE//平面ABF,所以CE∩平面ABF=⌀,又BF⊂面ABF,所以CE∩BF=⌀,又HF//CE,BF∩FH=F,所以BF与CE不平行,故BF与CE异面,从而BE与CF不相交.21.(1)fx将fx图象上所有点向右平移π4个单位得再把所得图
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