2023-2024学年北京市昌平区高一下学期期末质量抽测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市昌平区高一下学期期末质量抽测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知角α的终边经过点P2,−1，则cosα=(

)A.55 B.−55 2.若sinθ>0，tanθ<0，则θ是(

)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则z1A.1+2i B.1−2i C.−1+2i D.−1−2i4.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊥α，α⊥β，则m//β B.若α∩β=l，l//m，则m//β

C.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β D.若m⊥α，α//β，则m⊥β5.已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为6π，则该圆锥的体积为(

)A.12π B.15π C.36π D.45π6.在▵ABC中，a=3，b=4，cosB=13，则∠A=A.π6 B.π4 C.π6或5π6 7.已知z1，z2是两个复数，则“z1，z2互为共轭复数”是“z1，A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)的部分记录表．时间0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为(

)A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.679.函数fx=Atanωx+φ(ω>0,φ<A.1 B.3 C.3 D.10.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且PA=1，则PB⋅PC的最大值是(

)A.9 B.10 C.11 D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的侧面积为

．12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P35,m，则cosβ=13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，BC=2BP，则AP⋅14.已知函数fx=sinx,x∈−π2,π2cosx,x∈π2,15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C①A1B//②点H轨迹的长度为π；③存在点H，使得直线DH⊥平面EFG；④平面EFG截正方体所得的截面面积为3其中所有正确结论的序号是

．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）已知sinα=35(1)求tanα+(2)求cos2α17.（本小题13分）已知向量a=3,−1，(1)若a⊥ma(2)若m=−2，求a与b夹角的大小．18.（本小题14分）已知函数fx=23sin(1)求fx(2)求fx在区间−(3)若fx在区间0,m上单调递增，求实数m的最大值．19.（本小题15分）在▵ABC中，a(1)求∠C；(2)若a=6，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得(ⅰ)求sinB(ⅱ)求▵ABC的面积．条件①：cosA=条件②：c=2；条件③：c=3注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.（本小题15分）如图，在几何体ABCDEF中，侧面ADEF是正方形，平面CDE⊥平面ABCD，CD//AB，∠ADC=90∘，(1)求证：AD⊥CE；(2)求证：CE//平面ABF；(3)判断直线BE与CF是否相交，说明理由．21.（本小题15分）已知函数fx=sinx+cosx，先将fx(1)求gx(2)已知关于x的方程fx+gx=m在区间(ⅰ)求实数m的取值范围；(ⅱ)求cosα−β的值.(用含m的式子表示)

答案解析1.C

【解析】因为角α的终边经过点P2,−1，所以cos故选：C．2.B

【解析】由sinθ>0，可得θ的终边在第一象限或第二象限或与y由tanθ<0，可得θ因为sinθ>0，tanθ<0同时成立，所以故选：B3.A

【解析】由题知Z1(0,−1),Z得到z1故选：A．4.D

【解析】对于A:若m⊥α,α⊥β，则可能m⊂β，A错误；对于B:若α∩β=l,l//m，则可能m⊂β，B错误；对于C:若m⊂α,α⊥β,则m可能不垂直β，C错误；对于D:若m⊥α,α//β，则m⊥β，D正确．故选：D．5.A

【解析】因为侧面展开图扇形的弧长为6π=2πr，所以r=3，又因为圆锥的母线长为5，设圆锥的高为ℎ，ℎ所以圆锥的体积为V=1故选：A．6.B

【解析】因为a=3，b=4，cosB=13得到16=9+c2−2×3c×13由cosA=b2又A∈0,π，所以A=故选：B．7.D

【解析】若z1，z2互为共轭复数，设z1则z1−z2=a+bi−(a−bi)=2bi，若b=0，则z1−z2不妨取z1=3i，z2=5i，则z1但z1，z2不互为共轭复数，所以“z1，z2互为共轭复数”是“故选：D．8.C

【解析】记时间为x，水深值为y，设时间与水深值的函数关系式为y=fx由表中数据可知，T=12，f所以ω=2π12=所以fx又x=3时，y=7.5，所以52所以π2+φ=π所以fxf13即13:00的水深值大约为6.25．故选：C9.C

【解析】由图知π2ω=5π12由Atan(5π6+φ)=0，得到φ=−由Atanπ6=1，得到得到f13π故选：C．10.B

【解析】如图，建立平面直角坐标系，设P(x,y)，BC中点为H，因为AB=2，AD=3，所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,3)，H(2,3得到PB=(2−x,−y),PC=(2−x,3−y)又因为PA=1，所以x2又PH=(x−2)2+(y−32所以PB⋅故选：B．11.8

【解析】如图，AC∩BD=O，取BC中点H，连接OH,PH，易知PH⊥BC，因为正四棱锥的底面边长为2，高为3，则OH=1，PH=所以正四棱锥的侧面积为S=4×1故答案为：8．12.−3【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P(3所以(35)当m=45时，即角β的终边与单位圆的交点所以cosβ=−当m=−45时，即角β的终边与单位圆的交点所以cosβ=−综上所述，cosβ=−故答案为：−13.−1

【解析】因为BC=2BP，所以AP=所以AP⋅又菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，所以故答案为：−1．14.−1,1

；；−【解析】当x∈−π2当x∈π2,当x∈3π4,π综上，函数fx的值域为−1,1作出函数fx因为关于x的方程fx所以直线y=a与函数fx由图可知，−22<a<0，即实数故答案为：−1,1；−15.①②④

【解析】如图：因为F，G分别为C1D1，C又CD1//A1B，所以A1B//FG，又所以A1B//平面EFG，故连接DB1，交EG于点O，易证DB1⊥平面EFG所以OH=12，故H点轨迹是平面EFG内以O为圆心，以所以H点轨迹长度为：2π×12=π由②可知，DH不可能与平面EFG垂直，故③不成立；做出截面EFG，可知截面是正六边形，且边长为22，其面积为：6×故答案为：①②④16.(1)因为sinα=35，且α为第二象限角，所以cos所以tanα+(2)因为cos2α由(1)知sinα=35，cos【解析】(1)根据条件，利用平方关系得到cosα=(2)利用倍角公式及正弦的差角公式，得到cos2α17.(1)ma因为a⊥ma解得m=3(2)若m=−2，则b=因为a=32+所以cosa因为cosa,b18.(1)因为fx又fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且ω>0，所以πω所以fx(2)由(1)知fx=2sin(2x−因为x∈−π4,π所以fx在区间−π4(3)因为fx由−π2+2kπ≤2x−令k=0，得到−π6≤x≤π3所以实数m的最大值为π3

19.(1)因为a2+b所以2cosC=−1，即cosC=−12(2)选择条件①：因为cosA=22，又由(1)知C=2π3，所以(ⅰ)sin(ⅱ)因为a=6，由正弦定理asinA=所以▵ABC的面积为S=1选择条件②：因为c=2，由(1)知C=2π3，而c=2<a=选择条件③：c=32sinA=由正弦定理得sinC=3sin2A得到sin2A=12，又A∈0,π(ⅰ)sin(ⅱ)因为a=6，由正弦定理asinA=所以▵ABC的面积为S=120.(1)因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，又AD⊥DC，AD⊂面ABCD，所以AD⊥面CDE，又CE⊂面CDE，所以AD⊥CE．(2)取AB中点H，连接CH,FH，因为AB=2CD，CD//AB，所以AH//DC且AH=DC，所以AHDC为平行四边形，得到AD//HC且AD=HC，所以HCEF为平行四边形，得到HF//CE，又HF⊂面ABF，CE⊄面ABF，所以CE//平面ABF．(3)直线BE与CF不相交，理由如下，由(2)知CE//平面ABF，所以CE∩平面ABF=⌀，又BF⊂面ABF，所以CE∩BF=⌀，又HF//CE，BF∩FH=F，所以BF与CE不平行，故BF与CE异面，从而BE与CF不相交．21.(1)fx将fx图象上所有点向右平移π4个单位得再把所得图