2023-2024学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2+3x+2>0}，集合B={x|0≤x≤2024}，则A.A∩B=⌀ B.A∪B=R C.A⊆B D.B⊆A2.已知M，N，P，Q是平面内四个互不相同的点，a，b为不共线向量，MN=2023a+2025b，NP=2024aA.M，N，P三点共线 B.M，N，Q三点共线

C.M，P，Q三点共线 D.N，P，Q三点共线3.已知复数z=2+2A.2 B.22 C.24.若sin18°=m，则sin63°=(

)A.22(1−m2−m) 5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA=AC，则二面角P−BC−A大小为(

)A.60°

B.30°

C.45°

D.15°6.已知函数f(x)=ex−1,x≥0kx,x<0，若存在非零实数x0，使得f(−xA.(−∞,−1) B.(−∞,−1] C.(−1,0) D.[−1,0)7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，若f(x)在区间[0,π2]上是单调函数，且f(−π)=f(0)=−f(π2)A.23 B.23或2 C.13 D.8.正项数列{an}中，an+1=kan(k为实数)A.[3,9) B.[3,9] C.[3,15) D.[3,15]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知x，y∈R，且12x=3，12y=4A.y>x B.x+y>1 C.xy<14 10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有(

)A.所有可能的方法有35种

B.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种

C.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种

D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有2011.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)+f(1−x)=0，且f(x)不是常函数，则下列说法中正确的有(

)A.若2为f(x)的周期，则f(x)为奇函数 B.若f(x)为奇函数，则2为f(x)的周期

C.若4为f(x)的周期，则f(x)为偶函数 D.若f(x)为偶函数，则4为f(x)的周期三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若随机变量X～B(3,p)，Y～N(3,σ2)，若P(X≥1)=0.657，P(1≤Y<3)=p，则P(Y>5)=13.设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆上，则PC⋅PD的取值范围为______．14.已知函数f(x)=x3−aex，若函数f(x)有三个极值点x1，x2，x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC．

(1)求角B的大小；

(2)若b=23，求△ABC16.(本小题15分)

已知点P(0,−32)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴上，点M在直线AB上，且满足PA⋅AB=0，AM=3AB．

(1)当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；

(2)设Q为(1)中的曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与曲线C相交于另一点R，当17.(本小题15分)如图所示多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=2，CF=3，(1)求证：EF//平面ABCD；(2)求二面角E−AF−C的正弦值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax，g(x)=ax，其中a>0且a≠1．

(1)若a=e，试证明：∀x∈R，f(x)≥g(x)恒成立；

(2)若x∈(0,+∞)，求函数ℎ(x)=ln(g(x)f(x))的单调区间；

(3)请判断π2e与π⋅2e的大小，并给出证明．

19.(本小题17分)

马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N∗)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn，恰有2个黑球的概率为qn，恰有0个黑球的概率为rn．

(1)求p1，p2的值；

(2)根据马尔科夫链的知识知道pn=a⋅pn−1+b⋅qn−1+c⋅答案解析1.D

【解析】解：集合A={x|x2+3x+2>0}={x|x<−2或x>−1}，集合B={x|0≤x≤2024}，

则A∩B={x|0≤x≤2024}=B，A∪B={x|x<−2或x>−1}=A，A，B，C错误，D正确．

故选：2.B

【解析】解：由于MN=2023a+2025b，NP=2024a+2024b，PQ=−a+b，

NQ=NP+PQ=−a+b3.A

【解析】解：由题意，|z|=|2+2i4.C

【解析】解：因为sin18°=m，

所以sin63°=sin(18°+45°)=22(sin18°+cos18°)=5.C

【解析】解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，

∴AC⊥BC，

又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，

AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC．

而PC⊂平面PAC，

∴PC⊥BC，

又∵BC是二面角P−BC−A的棱，

∴∠PCA是二面角P−BC−A的平面角，

由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA=45°，

即二面角P−BC−A的大小是45°．

故选：C．

6.A

【解析】解：当k≥0时，f(x0)=ex0−1>0，f(−x0)=−kx0≤0，

不存在非零实数x0，使得f(−x0)=f(x0)成立，则k≥0不满足题意，

当k<0时，若存在非零实数x0，使得f(−x0)=f(x0)成立，

则方程ex0−1=−kx0有非零的正根，

即函数y=ex−1，(x>0)图象与y=−kx，(x>0)有交点，

先考虑函数y=ex−1，(x≥0)与直线y=−kx相切的情形，

设切点为(x1,y1)，则−k=ex1y1=−kx1y1=e7.B

【解析】解：设函数f(x)的最小正周期为T，

因为函数f(x)在[0,π2]上是单调函数，

则T2≥π2，即T≥π，则0<ω≤2，

又f(−π)=f(0)=−f(π2)，

若T=π，则ω=2，可取φ=π2，则f(x)=Asin(2x+π2)，则f(π2)=−A=−f(0)，满足题意；

若T>π，则x=−8.A

【解析】解：由题意可得k>0，设a2023=t，则a2022=tk，a2024=kt，

则t(1k+k+1)=3，即有t=3k+1k+1，

则a20222+a20232+a20242=9.ACD

【解析】解：因为12x=3，所以x=log123，

因为12y=4，所以y=log124，则y>x，A正确；

x+y=log1212=1，所以B错误；

因为x>0，y>0，xy≤(x+y2)2=14，当10.BC

【解析】解：于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，

每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，

故有5×5×5=53种选择方案，错误；

对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53−43=61(种)，正确；

对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52=25(种)，正确；

对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，

再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有11.ABD

【解析】解：根据题意，函数f(x)定义域为R且满足f(1+x)+f(1−x)=0，则有f(x+2)+f(−x)=0①，

依次分析选项：

对于A，若2为f(x)的周期，则f(x+2)=f(x)，

结合①式，则有f(x)+f(−x)=0，必有f(x)为奇函数，A正确；

对于B，若f(x)为奇函数，则有f(−x)=−f(x)，

又由f(x+2)+f(−x)=0，则有f(x+2)=f(x)，2是f(x)的周期，B正确；

对于C，若2为f(x)的周期，则4也为f(x)的周期，

由A的结论，f(x)为奇函数，C错误；

对于D，若f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，

又由f(x+2)+f(−x)=0，有f(x+2)=−f(−x)，则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，4是f(x)的周期，D正确．

故选：ABD．

12.0.2

【解析】解：∵P(X≥1)=0.657，

∴1−(1−p)3=0.657，即(1−p)3=0.343，

解得p=0.3，

∴P(1≤Y<3)=0.3，

∴P(3<Y≤5)=P(1≤Y<3)=0.3，

∴P(Y>5)=0.5−P(3<Y≤5)=0.213.[0,32]

【解析】解：如图，取DC的中点E，连接PE，

设AB为直径的圆的圆心为O，半径为r，

则由向量的极化恒等式可得：

PC⋅PD=PE2−EC2=PE2−4，

又PE∈[EO−r,EO+r]，又EO=4，r=2，

即PE∈[2,6]14.(0,(ln3)【解析】解：f′(x)=3x2−aex，令3x2−aex=0，得a=3x2ex，

则y=a与g(x)=3x2ex有3个不同的交点，

g′(x)=6x−3x2ex=3x(2−x)ex，

令g′(x)>0得，0<x<2，令g′(x)<0得，x>2或x<0，

故g(x)=3x2ex在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，且g(0)=0，g(2)=12e2，

又x∈R时，g(x)=3x2ex≥0恒成立，

a∈(0,12e2)，3x22ex2=3x32ex3，

故ex3−x2=(x3x2)2，

令x3x15.解：(1)∵(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，

∵sinA≠0，∴cosB=12，

又B∈(0,π)，∴B=π3．

(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac，【解析】(1)结合两角和的正弦公式与诱导公式，对已知等式化简可得cosB=12，从而得解；

(2)结合余弦定理与基本不等式，求得a+c≤416.解：(1)设A(x0,0)，

由射影定理可得：AO2=BO⋅OP，

∴OB=x0232=23x02，B(0,23x02)．

由AB=13AM，易得M(−2x0,2x02)，

故M的轨迹方程为y=12x2(x≠0)．

(2)设Q(x0【解析】(1)设A(x0,0)，由射影定理可得：AO2=BO⋅OP，可得点B的坐标．结合AB=13AM，易得M点坐标，即可得出M的轨迹方程．

(2)设Q(17.(1)证明：取AD中点N，连接NE、NC，

因为△ADE是正三角形，

所以EN⊥AD，EN=2⋅sin60°=3，

因为平面ADE⊥平面ABCD，EN⊂平面ADE，平面ADE∩平面ABCD=AD，

所以EN⊥平面ABCD，又因为CF⊥平面ABCD，

所以EN/​/CF，又因为EN=CF，

所以四边形ENCF是平行四边形，所以EF//NC，

又因为NC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，

所以EF/​/平面ABCD．

(2)解：连接AC、BD交于O，取AF中点M，连接OM，

所以OM/​/CF，因为CF⊥平面ABCD，所以OM⊥平面ABCD，

因为OA、OB⊂平面ABCD，所以OM⊥OA，OM⊥OB，

又因为四边形ABCD是菱形，所以OA⊥OB，

所以OA、OB、OM两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(−3,0,0)，D(0,−1,0)，N(32,−12,0)，E(32,−12,3)，F(−3,0,3)，

AF=(−23,0,3)，【解析】

(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；

(2)用空间向量计算，进而求解．18.解：(1)证明：设函数φ(x)=f(x)−g(x)，则φ′(x)=ex−e

当x∈(−∞,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，φ′(x)>0，

所以φ(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以φ(x)min=f(1)−g(1)=0，

所以φ(x)≥0，即∀x∈R，f(x)≥g(x)恒成立．

(2)已知ℎ(x)=lnx+lna−x⋅