2021届高考数学一轮复习-第9章-解析几何-第3节-圆的方程课时跟踪检测（理含解析）

PAGE第九章解析几何第三节圆的方程A级·基础过关|固根基|1.(2019届合肥市质检)已知圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y＋4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：选C∵C(6，－8)，O(0，0)，∴所求圆的圆心为(3，－4)，半径为eq\f(1,2)|OC|＝5，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.故选C．2．(2019届长沙模拟)与圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的圆的方程是()A．(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4 B．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析：选D若圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2，0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b＋0,2)＝\f(\r(3),3)×\f(a＋2,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以所求圆的圆心坐标为(1，eq\r(3))，半径为2，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.3．(2019届湖北名校联考)圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5解析：选C由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C．4．(2019届河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2－y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：选C由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq\f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选C．5．已知圆C的圆心在y轴上，点M(3，0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是()A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25解析：选C设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×eq\f(3,2)－eq\f(b,2)－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0，4)，半径r＝|CM|＝eq\r(（0－3）2＋（4－0）2)＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25，故选C．6．(2019届河北省衡水中学高三调考)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是()A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y＋1＝0解析：选C圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－1))，由题意可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，－\f(1,2)))在直线y＝x－1上，即－eq\f(1,2)＝eq\f(a,4)－1，解得a＝2，∴点C的坐标为(－2，2)，设圆心P为(x，y)，则有eq\r(（x＋2）2＋（y－2）2)＝|x|，即y2＋4x－4y＋8＝0.故选C．7．(2019届豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16解析：选B解法一：由题意可得圆心(0，1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝eq\f(|1＋b|,\r(1＋b2))＝eq\r(1＋\f(2b,1＋b2))，若求半径最大，即d最大，又b≥0，所以d＝eq\r(1＋\f(2b,1＋b2))≤eq\r(1＋\f(2b,2b))＝eq\r(2)，当且仅当b＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r＝eq\r(2)，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B．解法二：由直线x－by＋2b＋1＝0可得，该直线过定点A(－1，2)，设圆心为B(0，1)，由题意可知，要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq\r(（－1－0）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B．8．(2019届安徽黄山一模)直线2x－y－eq\r(3)＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的比值为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选A将x＝0代入2x－y－eq\r(3)＝0可得P(0，－eq\r(3))．圆心坐标为(－1，0)，则点P与圆心的距离为eq\r(12＋（－\r(3)）2)＝2.由圆的半径为6，可知较长一段为8，较短一段为4，则较长一段与较短一段的比值为2.故选A．9．(2019届豫北名校期中联考)已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2eq\r(19)时，求直线l的方程．解：(1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，所以r＝eq\f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq\r(5)，又圆心为(－1，2)，所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝－2，将x＝－2代入圆A的方程中，得(－2＋1)2＋(y－2)2＝20，解得y＝2±eq\r(19)，此时|MN|＝2eq\r(19)，则x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.因为Q是MN的中点，连接AQ，所以AQ⊥MN，所以|AQ|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))eq\s\up12(2)＝r2.又知|MN|＝2eq\r(19)，r＝2eq\r(5)，所以|AQ|＝eq\r(20－19)＝1.由题意得eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，∴(k－2)2＝k2＋1，解得k＝eq\f(3,4).所以直线l的方程为y＝eq\f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上，满足题意的直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.10．经过点A(0，1)的圆的圆心在y轴上，且圆截x轴所得的弦长为2，不过点A的直线l与圆交于不同的两点B，C，且点B，C不在y轴上．(1)求圆的标准方程；(2)若直线AB和AC的斜率之和为－1，求证：直线l恒过定点．解：(1)由题意，设圆心为(0，b)，半径为r，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－b）2＝r2，,b2＋1＝r2，))所以b＝0，r＝1，所以圆的标准方程为x2＋y2＝1.(2)证明：设点B(x1，y1)，C(x2，y2)．当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m(m≠±1)，把y＝kx＋m代入x2＋y2＝1，得(k2＋1)x2＋2kmx＋m2－1＝0，则Δ＝4(k2＋1－m2)>0，x1＋x2＝－eq\f(2km,k2＋1)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋1)，kAB＋kAC＝eq\f(y1－1,x1)＋eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(（y1－1）x2＋（y2－1）x1,x1x2)＝eq\f(（kx1＋m－1）x2＋（kx2＋m－1）x1,x1x2)＝eq\f(2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）,x1x2)＝2k＋eq\f(（m－1）（x1＋x2）,x1x2)＝2k－eq\f(（m－1）·2km,m2－1)＝2k－eq\f(2km,m＋1).又直线AB和AC的斜率之和为－1，所以2k－eq\f(2km,m＋1)＝－1，解得m＝－2k－1，代入y＝kx＋m，得y＝kx－2k－1，即y＝k(x－2)－1，所以直线l恒过点(2，－1)．当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，kAB＋kAC＝eq\f(y1－1,x1)＋eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(y1－1,x1)＋eq\f(－y1－1,x1)＝eq\f(－2,x1).因为直线AB和AC的斜率之和为－1，所以eq\f(－2,x1)＝－1，x1＝2.但－1<x1<1，且x1≠0，故不合题意，舍去．综上，直线l恒过定点(2，－1).B级·素养提升|练能力|11.(2019届赣州模拟)已知动点A(xA，yA)在直线l：y＝6－x上，动点B在圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0上，若∠CAB＝30°，则xA的最大值为()A．2 B．4C．5 D．6解析：选C由题意可知，当AB是圆的切线时，∠CAB最大，此时|CA|＝4，点A的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2＝16，与y＝6－x联立，解得x＝5或x＝1，∴点A的横坐标的最大值为5.故选C．12．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．1 B．5C．4eq\r(2) D．3＋2eq\r(2)解析：选D由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1.又a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2－eq\r(2)，a＝eq\r(2)－1时，等号成立，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为3＋2eq\r(2).13．(2018年北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C由题知点P(cosθ，sinθ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2，0)，所以当m变化时，圆心(0，0)到直线x－my－2＝0的距离d＝eq\f(2,\r(1＋m2))的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.故选C．14．(2019届东北三省四校联考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记