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PAGE第九章解析几何第三节圆的方程A级·基础过关|固根基|1.(2019届合肥市质检)已知圆C:(x-6)2+(y+8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+4)2=100 B.(x+3)2+(y-4)2=100C.(x-3)2+(y+4)2=25 D.(x+3)2+(y-4)2=25解析:选C∵C(6,-8),O(0,0),∴所求圆的圆心为(3,-4),半径为eq\f(1,2)|OC|=5,∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=25.故选C.2.(2019届长沙模拟)与圆(x-2)2+y2=4关于直线y=eq\f(\r(3),3)x对称的圆的方程是()A.(x-eq\r(3))2+(y-1)2=4 B.(x-eq\r(2))2+(y-eq\r(2))2=4C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-eq\r(3))2=4解析:选D若圆与圆关于直线对称,则圆的半径相同,只需圆心关于直线对称即可.由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0),半径为2,设所求圆的圆心坐标为(a,b),则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b-0,a-2)×\f(\r(3),3)=-1,,\f(b+0,2)=\f(\r(3),3)×\f(a+2,2),))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=\r(3),))所以所求圆的圆心坐标为(1,eq\r(3)),半径为2,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-eq\r(3))2=4.3.(2019届湖北名校联考)圆(x-3)2+(y-1)2=5关于直线y=-x对称的圆的方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y-3)2=5C.(x+1)2+(y+3)2=5 D.(x-1)2+(y+3)2=5解析:选C由题意知,所求圆的圆心坐标为(-1,-3),所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+3)2=5,故选C.4.(2019届河北九校第二次联考)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为()A.x2-y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0C.x2+y2-4x=0 D.x2+y2+2x-3=0解析:选C由题意设所求圆的方程为(x-m)2+y2=4(m>0),则eq\f(|3m+4|,\r(32+42))=2,解得m=2或m=-eq\f(14,3)(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,故选C.5.已知圆C的圆心在y轴上,点M(3,0)在圆C上,且直线2x-y-1=0经过线段CM的中点,则圆C的标准方程是()A.x2+(y-3)2=18 B.x2+(y+3)2=18C.x2+(y-4)2=25 D.x2+(y+4)2=25解析:选C设圆C的圆心坐标为(0,b),则线段CM的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(b,2))).因为直线2x-y-1=0经过线段CM的中点,所以2×eq\f(3,2)-eq\f(b,2)-1=0,解得b=4,所以圆C的圆心坐标为(0,4),半径r=|CM|=eq\r((0-3)2+(4-0)2)=5,所以圆C的标准方程是x2+(y-4)2=25,故选C.6.(2019届河北省衡水中学高三调考)若圆x2+y2-ax+2y+1=0和圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程是()A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y+1=0解析:选C圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),-1)),由题意可知,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),-\f(1,2)))在直线y=x-1上,即-eq\f(1,2)=eq\f(a,4)-1,解得a=2,∴点C的坐标为(-2,2),设圆心P为(x,y),则有eq\r((x+2)2+(y-2)2)=|x|,即y2+4x-4y+8=0.故选C.7.(2019届豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为()A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16解析:选B解法一:由题意可得圆心(0,1)到直线x-by+2b+1=0的距离d=eq\f(|1+b|,\r(1+b2))=eq\r(1+\f(2b,1+b2)),若求半径最大,即d最大,又b≥0,所以d=eq\r(1+\f(2b,1+b2))≤eq\r(1+\f(2b,2b))=eq\r(2),当且仅当b=1时取等号.所以半径最大的圆的半径r=eq\r(2),此时圆的标准方程为x2+(y-1)2=2,故选B.解法二:由直线x-by+2b+1=0可得,该直线过定点A(-1,2),设圆心为B(0,1),由题意可知,要使所求圆的半径最大,则rmax=|AB|=eq\r((-1-0)2+(2-1)2)=eq\r(2),所以半径最大的圆的标准方程为x2+(y-1)2=2,故选B.8.(2019届安徽黄山一模)直线2x-y-eq\r(3)=0与y轴的交点为P,点P把圆(x+1)2+y2=36的直径分为两段,则较长一段与较短一段的比值为()A.2 B.3C.4 D.5解析:选A将x=0代入2x-y-eq\r(3)=0可得P(0,-eq\r(3)).圆心坐标为(-1,0),则点P与圆心的距离为eq\r(12+(-\r(3))2)=2.由圆的半径为6,可知较长一段为8,较短一段为4,则较长一段与较短一段的比值为2.故选A.9.(2019届豫北名校期中联考)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2eq\r(19)时,求直线l的方程.解:(1)设圆A的半径为r,因为圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,所以r=eq\f(|-1+4+7|,\r(5))=2eq\r(5),又圆心为(-1,2),所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=-2,将x=-2代入圆A的方程中,得(-2+1)2+(y-2)2=20,解得y=2±eq\r(19),此时|MN|=2eq\r(19),则x=-2符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.因为Q是MN的中点,连接AQ,所以AQ⊥MN,所以|AQ|2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))eq\s\up12(2)=r2.又知|MN|=2eq\r(19),r=2eq\r(5),所以|AQ|=eq\r(20-19)=1.由题意得eq\f(|k-2|,\r(k2+1))=1,∴(k-2)2=k2+1,解得k=eq\f(3,4).所以直线l的方程为y=eq\f(3,4)(x+2),即3x-4y+6=0.综上,满足题意的直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.10.经过点A(0,1)的圆的圆心在y轴上,且圆截x轴所得的弦长为2,不过点A的直线l与圆交于不同的两点B,C,且点B,C不在y轴上.(1)求圆的标准方程;(2)若直线AB和AC的斜率之和为-1,求证:直线l恒过定点.解:(1)由题意,设圆心为(0,b),半径为r,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((1-b)2=r2,,b2+1=r2,))所以b=0,r=1,所以圆的标准方程为x2+y2=1.(2)证明:设点B(x1,y1),C(x2,y2).当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m(m≠±1),把y=kx+m代入x2+y2=1,得(k2+1)x2+2kmx+m2-1=0,则Δ=4(k2+1-m2)>0,x1+x2=-eq\f(2km,k2+1),x1x2=eq\f(m2-1,k2+1),kAB+kAC=eq\f(y1-1,x1)+eq\f(y2-1,x2)=eq\f((y1-1)x2+(y2-1)x1,x1x2)=eq\f((kx1+m-1)x2+(kx2+m-1)x1,x1x2)=eq\f(2kx1x2+(m-1)(x1+x2),x1x2)=2k+eq\f((m-1)(x1+x2),x1x2)=2k-eq\f((m-1)·2km,m2-1)=2k-eq\f(2km,m+1).又直线AB和AC的斜率之和为-1,所以2k-eq\f(2km,m+1)=-1,解得m=-2k-1,代入y=kx+m,得y=kx-2k-1,即y=k(x-2)-1,所以直线l恒过点(2,-1).当直线l的斜率不存在时,x2=x1,y2=-y1,kAB+kAC=eq\f(y1-1,x1)+eq\f(y2-1,x2)=eq\f(y1-1,x1)+eq\f(-y1-1,x1)=eq\f(-2,x1).因为直线AB和AC的斜率之和为-1,所以eq\f(-2,x1)=-1,x1=2.但-1<x1<1,且x1≠0,故不合题意,舍去.综上,直线l恒过定点(2,-1).B级·素养提升|练能力|11.(2019届赣州模拟)已知动点A(xA,yA)在直线l:y=6-x上,动点B在圆C:x2+y2-2x-2y-2=0上,若∠CAB=30°,则xA的最大值为()A.2 B.4C.5 D.6解析:选C由题意可知,当AB是圆的切线时,∠CAB最大,此时|CA|=4,点A的坐标满足(x-1)2+(y-1)2=16,与y=6-x联立,解得x=5或x=1,∴点A的横坐标的最大值为5.故选C.12.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则eq\f(1,a)+eq\f(2,b)的最小值为()A.1 B.5C.4eq\r(2) D.3+2eq\r(2)解析:选D由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,∴2a+2b-2=0,整理得a+b=1.又a>0,b>0,∴eq\f(1,a)+eq\f(2,b)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(2,b)))(a+b)=3+eq\f(b,a)+eq\f(2a,b)≥3+2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))=3+2eq\r(2),当且仅当eq\f(b,a)=eq\f(2a,b),即b=2-eq\r(2),a=eq\r(2)-1时,等号成立,∴eq\f(1,a)+eq\f(2,b)的最小值为3+2eq\r(2).13.(2018年北京卷)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1 B.2C.3 D.4解析:选C由题知点P(cosθ,sinθ)是单位圆x2+y2=1上的动点,所以点P到直线x-my-2=0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离.又直线x-my-2=0恒过点(2,0),所以当m变化时,圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离d=eq\f(2,\r(1+m2))的最大值为2,所以点P到直线x-my-2=0的距离的最大值为3,即d的最大值为3.故选C.14.(2019届东北三省四校联考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记
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