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第12页(共12页)2020年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项选出来)1.(4分)下列四个实数中,是负数的是()A.﹣(﹣3) B.(﹣2)2 C.|﹣4| D.﹣2.(4分)天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元,将数341000用科学记数法表示为()A.3.41×105 B.3.41×106 C.341×103 D.0.341×1063.(4分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种表面展开图,那么在原正方体中,与“伏”字所在面相对面上的汉字是()A.文 B.羲 C.弘 D.化4.(4分)某小组8名学生的中考体育分数如下:39,42,44,40,42,43,40,42.该组数据的众数、中位数分别为()A.40,42 B.42,43 C.42,42 D.42,415.(4分)如图所示,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,点C为⊙O上一点,连接AC、BC,若∠P=70°,则∠ACB的度数为()A.50° B.55° C.60° D.65°6.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.7.(4分)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=ax+b和y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A. B. C. D.8.(4分)如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.5m,测得AB=1.2m,BC=12.8m,则建筑物CD的高是()A.17.5m B.17m C.16.5m D.18m9.(4分)若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解,则a的取值范围为()A.﹣7<a<﹣4 B.﹣7≤a≤﹣4 C.﹣7≤a<﹣4 D.﹣7<a≤﹣410.(4分)观察等式:2+22=23﹣2;2+22+23=24﹣2;2+22+23+24=25﹣2;…已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199,2200,若2100=S,用含S的式子表示这组数据的和是()A.2S2﹣S B.2S2+S C.2S2﹣2S D.2S2﹣2S﹣2二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.只要求填写最后结果)11.(4分)分解因式:m3n﹣mn=.12.(4分)一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2﹣8x+12=0的根,则该三角形的周长为.13.(4分)已知函数y=,则自变量x的取值范围是.14.(4分)已知a+2b=,3a+4b=,则a+b的值为.15.(4分)如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是.16.(4分)如图所示,若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的底面半径是.17.(4分)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为.18.(4分)如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3,则BE的长为.三、解答题(本大题共3小题,共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程)19.(8分)(1)计算:4sin60°﹣|﹣2|+20200﹣+()﹣1.(2)先化简,再求值:﹣÷,其中a=.20.(10分)为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度,某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意,一般,满意,非常满意四类,回收、整理好全部问卷后,得到下列不完整的统计图.请结合图中的信息,解决下列问题:(1)此次调查中接受调查的人数为人;(2)请你补全条形统计图;(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为度;(4)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访,已知这4位市民中有2位男性,2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率.21.(10分)如图所示,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(﹣2,a)和点B(b,﹣1),过A点作x轴的垂线,垂足为点C,△AOC的面积为4.(1)分别求出a和b的值;(2)结合图象直接写出mx+n>中x的取值范围;(3)在y轴上取点P,使PB﹣PA取得最大值时,求出点P的坐标.四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理过程)22.(7分)为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示,正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行30分钟后到达B处,此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.(1)求∠APB的度数;(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?(参考数据:≈1.414,≈1.732)23.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若BD=2,AB=6,求阴影部分的面积(结果保留π).24.(10分)性质探究如图(1),在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为.理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2,则它的面积为;(2)如图(2),在四边形EFGH中,EF=EG=EH,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=20,求线段MN的长.类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为.(用含α的式子表示)25.(10分)天水市某商店准备购进A、B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元,用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元?(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?(3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠m(10<m<20)元,B种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出m的不同取值范围内,销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.26.(13分)如图所示,拋物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且点A的坐标为A(﹣2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线x=1.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1<m<4),连接AC,BC,DC,DB.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时,求m的值;(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2020年甘肃省天水市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项选出来)1.解:A.﹣(﹣3)=3,是正数,不符合题意;B.(﹣2)2=4,是正数,不符合题意;C.|﹣4|=4,是正数,不符合题意;D.﹣是负数,符合题意;故选:D.2.解:341000=3.41×105,故选:A.3.解:根据正方体表面展开图可知,“相间、Z端是对面”,因此“伏与化”相对,“弘与文”相对,“扬与羲”相对,故选:D.4.解:将这组数据重新排列为39,40,40,42,42,42,43,44,所以这组数据的众数为42,中位数为=42,故选:C.5.解:连接OA、OB,如图,∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB+∠P=180°,∵∠P=70°,∴∠AOB=110°,∴∠ACB=∠AOB=55°.故选:B.6.解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;B、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项不合题意;C、是中心对称图形但不是轴对称图形,故本选项符合题意;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意.故选:C.7.解:∵由函数图象交y轴的正坐标可知c>0,∴反比例函数y=的图象必在一、三象限,故C、D错误;∵据二次函数的图象开口向上可知a>0,对称轴在y轴的右侧,b<0,∴函数y=ax+b的图象经过一三四象限,故A错误,B正确.故选:B.8.解:∵EB⊥AC,DC⊥AC,∴EB∥DC,∴△ABE∽△ACD,∴,∵BE=1.5m,AB=1.2m,BC=12.8m,∴AC=AB+BC=14m,∴,解得,DC=17.5,即建筑物CD的高是17.5m,故选:A.9.解:∵3x+a≤2,∴3x≤2﹣a,则x≤,∵不等式只有2个正整数解,∴不等式的正整数解为1、2,则2≤<3,解得:﹣7<a≤﹣4,故选:D.10.解:∵2100=S,∴2100+2101+2102+…+2199+2200=S+2S+22S+…+299S+2100S=S(1+2+22+…+299+2100)=S(1+2100﹣2+2100)=S(2S﹣1)=2S2﹣S.故选:A.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.只要求填写最后结果)11.解:m3n﹣mn=mn(m2﹣1)=mn(m﹣1)(m+1),故答案为:mn(m﹣1)(m+1).12.解:∵x2﹣8x+12=0,∴(x﹣2)(x﹣6)=0,∴x1=2,x2=6,∵三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2﹣8x+12=0的根,2+2<5,2+5>6,∴三角形的第三边长是6,∴该三角形的周长为:2+5+6=13.故答案为:13.13.解:根据题意得:x+2≥0且x﹣3≠0,解得:x≥﹣2且x≠3.故答案为:x≥﹣2且x≠3.14.解:a+2b=①,3a+4b=②,②﹣①得2a+2b=2,解得a+b=1.故答案为:1.15.解:如图,连接AB.∵OA=AB=,OB=2,∴OB2=OA2+AB2,∴∠OAB=90°,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠AOB=45°,∴sin∠AOB=,故答案为.16.解:设圆锥的底面半径为r,由题意得,=2πr,解得,r=,故答案为:.17.解:如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE、FO交于点O′.∵四边形OEFG是正方形,∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,在△OGM与△EOH中,∴△OGM≌△EOH(ASA)∴GM=OH=2,OM=EH=3,∴G(﹣3,2).∴O′(﹣,).∵点F与点O关于点O′对称,∴点F的坐标为(﹣1,5).故答案是:(﹣1,5).18.解:法一:由题意可得,△ADF≌△ABG,∴DF=BG,∠DAF=∠BAG,∵∠DAB=90°,∠EAF=45°,∴∠DAF+∠EAB=45°,∴∠BAG+∠EAB=45°,∴∠EAF=∠EAG,在△EAG和△EAF中,,∴△EAG≌△EAF(SAS),∴GE=FE,设BE=x,则GE=BG+BE=3+x,CE=6﹣x,∴EF=3+x,∵CD=6,DF=3,∴CF=3,∵∠C=90°,∴(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得,x=2,即BE=2,法二:设BE=x,连接GF,如下图所示,∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABE=∠GCF=90°,∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,∴∠CAF=90°,GA=FA,∴△GAF为等腰直角三角形,∵∠EAF=45°,∴AE垂直平分GF,∴∠AEB+∠CGF=90°,∵在Rt△AEB中,∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CGF,∴△BAE~△CGF,∴,∵CF=CD﹣DF=6﹣3=3,GC=BC+BG=BC+DF=6+3=9,∴,∴x=2,即BE=2,故答案为:2.三、解答题(本大题共3小题,共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程)19.解:(1)原式=4×﹣(2﹣)+1﹣2+4=2﹣2++1﹣2+4=3+;(2)原式=﹣•=﹣=﹣==,当a=时,原式====1.20.解:(1))∵非常满意的有18人,占36%,∴此次调查中接受调查的人数:18÷36%=50(人);故答案为:50;(2)此次调查中结果为满意的人数为:50﹣4﹣8﹣18=20(人);(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为:360°×=144°;故答案为:144°;(4)画树状图得:∵共有12种等可能的结果,选择回访市民为“一男一女”的有8种情况,∴选择回访的市民为“一男一女”的概率为:=.21.解:(1)∵△AOC的面积为4,∴|k|=4,解得,k=﹣8,或k=8(不符合题意舍去),∴反比例函数的关系式为y=﹣,把点A(﹣2,a)和点B(b,﹣1)代入y=﹣得,a=4,b=8;答:a=4,b=8;(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知,不等式mx+n>的解集为x<﹣2或0<x<8;(3)∵点A(﹣2,4)关于y轴的对称点A′(2,4),又B(8,﹣1),则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P,设直线A′B的关系式为y=cx+d,则有,解得,,∴直线A′B的关系式为y=﹣x+,∴直线y=﹣x+与y轴的交点坐标为(0,),即点P的坐标为(0,).四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理过程)22.解:(1)由题意得,∠PAB=90°﹣60°=30°,∠APB=90°+45°=135°,∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠APB=180°﹣30°﹣135°=15°;(2)作PH⊥AB于H,如图:则△PBH是等腰直角三角形,∴BH=PH,设BH=PH=x海里,由题意得:AB=40×=20(海里),在Rt△APH中,tan∠PAB=tan30°==,即=,解得:x=10+10≈27.32>25,且符合题意,∴海监船继续向正东方向航行安全.23.(1)证明:连接OD,如图:∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠CAB,∴∠OAD=∠CAD,∴∠CAD=∠ODA,∴AC∥OD,∴∠ODB=∠C=90°,即BC⊥OD,又∵OD为⊙O的半径,∴直线BC是⊙O的切线;(2)解:设OA=OD=r,则OB=6﹣r,在Rt△ODB中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2,∴r2+(2)2=(6﹣r)2,解得:r=2,∴OB=4,∴OD===2,∴OD=OB,∴∠B=30°,∴∠DOB=180°﹣∠B﹣∠ODB=60°,∴阴影部分的面积S=S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣.24.解:性质探究:如图1中,过点C作CD⊥AB于D.∵CA=CB,∠ACB=120°,CD⊥AB,∴∠A=∠B=30°,AD=BD,∴AB=2AD=2AC•cos30°=AC,∴AB:AC=:1.故答案为:1.理解运用:(1)设CA=CB=m,则AB=m,由题意2m+m=4+2,∴m=2,∴AC=CB=2,AB=2,∴AD=DB=,CD=AC•sin30°=1,∴S△ABC=•AB•CD=.故答案为.(2)如图2中,连接FH.∵∠FGH=120°,EF=EG=EH,∴∠EFG=∠EGF,∠EHG=∠EGH,∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH=120°,∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=360°﹣120°﹣120°=120°,∵EF=EH,∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形,∴FH=EF=20,∵FM=MG.GN=GH,∴MN=FH=10.类比拓展:如图1中,过点C作CD⊥AB于D.∵CA=CB,∠ACB=2α,CD⊥AB,∴∠A=∠B=30°,AD=BD,∠ACD=∠BCD=α∴AB=2AD=2AC•sinα∴AB:AC=2sinα:1.故答案为2sinα:1.25.解:(1)设A种商品每件的进价是x元,则B种商品每件的进价是(x﹣20)元,由题意得:,解得:x=50,经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,50﹣20=30,答:A种商品每件的进价是50元,B种商品每件的进价是30元;(2)设购买A种商品a件,则购买B商品(40﹣a)件,由题意得:,解得,∵a为正整数,∴a=14、15、16、17、18,∴商店共有5种进货方案;(3)设销售A、B两种商品共获利y元,由题意得:y=(80﹣50﹣m)a+(45﹣30)(40﹣a)=(15﹣m)a+600,①当10<m<15时,15﹣m>0,y随a的增大而增大,∴当a=18时,获利最大,即买18件A商品,22件B商品,②当m=15时,15﹣m=0,y与a的值无关,即(2)问中所有进货方案获利相同,③当15<m<20时,15﹣m<0,y随a的增大而减小,∴当a=14时,获利最大,即买14件A商品,26件B商品.26.解:(1)由题意得:,解得:,∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+x+6;(2)过点D作DE⊥x轴于E,交BC于G,过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F,如图1所示:∵点A的坐标为(﹣2,0),点C的坐标为(0,6),∴OA=2,OC=6,∴S△AOC=OA•OC=×2×6=6,∴S△BCD=S△AOC=×6=,当y=0时,
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