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楼道内家具搬移问题的数学模型浙江邬天泉1.1问题的缘起某建筑物内一个水平直角型过道如图所示,两过道的宽度均为3米,有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道,若该设备水平截面矩形的宽为1米,长为7米.问:该设备能否水平移进拐角过道?解由题设,我们以直线OB,OA分别为x轴,y轴建立直角坐标系,问题可转化为:求以M(3,3)点为圆心,半径为1的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段AB长的最小值。设直线AB的方程为,∵它与圆相切,∴。。。。。。(1),又∵原点O(0,0)与点M(3,3)在直线的异侧,∴,∴(1)式可化为。。。。。。。。。。(2)下面求(a>0,b>0)的最小值。设代入(2)得,。。。。。。(3)再设t=sinθ+cosθ,.,代入(3)得,,记这里f(1)=-4<0,在内有解。这时这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为,故该设备不能水平移进过道。另解∴r(t)在上是减函数,。1.2二维问题的一般情形某建筑物内一个水平直角型过道如图所示,两过道的宽度均为m米,有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道,若该设备水平截面矩形的宽为r米,长为L米.(m>r>0).试找出该设备能水平移进拐角过道的条件。解数学模型就是求以M(m,m)点为圆心,半径为r(m>r>0)的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段AB长的最小值.设直线AB的方程为,∵它与圆相切,∴。。。。。。(1),又∵原点O(0,0)与点M(m,m)在直线的异侧,∴,∴(1)式可化为。。。。。。。。。。(2)下面求(a>0,b>0)的最小值.设代入(2)得,。。。。。。(3)再设t=sinθ+cosθ,.,代入(3)得,,记这里,在内有解当且仅当时取等号,这时.这说明能水平移过的宽r米的矩形的长L至多为∴当时,该设备才能水平移进过道。1.3二维问题的广义数学模型设圆的切线L方程为,则,∵原点O与圆心(a,b)在直线的异侧,∴.设得切线L被x的正半轴和y的正半轴所截的线段长.中国科学院成都计算机研究所杨路教授于2004
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