2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高一数学2024.7本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数zA.1+3i B.1−3i2.已知a=(1,2),b=(x,4)，若a⊥bA.8 B.−2 C.2 D.−83.在▵ABC中，a=2,b=3,cosB=45，则A.15 B.25 C.354.平面向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则a⋅b=A.−2 B.0 C.1 D.25.已知α,β是不重合的平面，m,n是不重合的直线，下列命题中不正确的是(

)A.若m//α,m//β，则α/​/β B.若m//n,m⊥α，则n⊥α

C.若m⊥α,m⊥β，则α/​/β D.若m⊥α,m⊂β，则α⊥β6.在平面直角坐标系xOy中，已知Pcosθ,sinθ,θ∈0,A.1,2 B.0,2 C.−7.如图，已知正六棱锥P−ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3,Q是底面上一个动点，PQ≤42，则点Q所形成区域的面积为(

)

A.4π B.5π C.6π D.7π8.已知函数fx=sin2x和gx=cos2x,fx的图象以每秒A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒9.已知函数fx=sinωx+π6ω>0，“存在m,n∈0,π2，函数fA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为y=a+b+∞n=1sin⁡(2n−1)x2n−1A.函数fx是最小正周期为π的奇函数

B.函数fx关于x=π2+2kπk∈Z对称

C.函数fx在区间0,第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.复数z=2i1+i，则z=

12.已知函数fx=cos2x.若非零实数a,b，使得fx+a=bfx对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a= 

，b=13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为

；表面积为

．14.在▵ABC中，∠A=60∘,AC=6,AB=4，则AC⋅AB= 

，15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为AD的中点，点N是侧面DCC1①任意点P，都有CD②存在点P，使得B1D⊥平面③存在无数组点N和点P，使得C1④点P到直线CD1的距离最小值是其中所有正确结论的序号是

．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）在平面直角坐标系中，角α以Ox为始边，终边经过点3,4．(1)求tanα及tan(2)求cos2α+sin17.（本小题13分）在▵ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，bsin(1)求∠B的大小；(2)若c=1，且AB边上的高是BC边上的高的2倍，求b及▵ABC的面积．18.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C(1)求证：FC1//(2)已知C1C⊥BC,AB=3,BC=1,A1条件①：AC条件②：C1条件③：AC=2．(i)求证：AB⊥FC(ii)求三棱锥B1注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.（本小题15分）已知函数fx(1)求fx(2)若函数gx(i)求函数gx(ii)求函数gx在区间0,10内的所有零点的和．20.（本小题15分）如图(1)，在Rt▵ABC中，∠C=90∘,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE//BC,DE=2，将▵ADE沿DE折起到▵A1(1)求证：A1C⊥平面(2)求点C到平面A1(3)点M为线段A1D的中点，线段BC上是否存在点P，使得MP//平面A1BE21.（本小题15分）若存在实数k和周期函数ℎx，使得fx=kx+ℎ(1)判断ux(2)对任意实数x，函数fx,gx满足g(i)当fx=2x时，求(ii)求证：fx(iii)求证：gx是好函数．

答案解析1.D

【解析】解：z在复平面对应的点是(−1,3)由共轭复数的定义可知，z=−1−故选：D．2.D

【解析】解：因为a=(1,2),b=(x,4)所以a·b=x+8=0故选：D．3.B

【解析】B∈0,π由正弦定理可得bsinB=故选：B4.C

【解析】由图可知：a在b方向上的投影为b，故a⋅故选：C5.A

【解析】对A，两平面相交时，两平面外直线m平行交线，即满足m//α,m//β，不能得出α/​/β，故A错误；对B，由线面垂直的判定定理，m//n,m⊥α，则n⊥α，正确；对C，由两平面平行的判定定理知，m⊥α,m⊥β，则α/​/β，正确；对D，由面面垂直的判定定理知，m⊥α,m⊂β，则α⊥β，正确．故选：A6.A

【解析】由题意，OA⋅又θ∈0,π2，所以π所以OA⋅故选：A7.B

【解析】因为P−ABCDEF为正六棱锥，则顶点P在底面的投影为底面中心O，如图，又因为底面边长为3，则OC=3，可得PO=且PQ≤42，则可知点Q所形成区域为以O为圆心，半径为5的圆面，其面积为π故选：B．8.B

【解析】经过时间t，fx=singx=cos由两函数图象重合知，sin2x+所以π6t=2kπ+π2−π12故选：B9.B

【解析】若存在m,n∈0,π2，函数fx的图象既关于直线因为x∈0,π2，且ω>0则π2ω+π又因为2,+∞是53所以“存在m,n∈0,π2，函数fx的图象既关于直线x=m对称，又关于点故选：B．10.BD

【解析】对于A，fx+π=sin对于B，f−x+π+4kπ故x=π2+2kπk∈Z为fπfπ6=12对于D，fx=sin故选：BD11.2【解析】解：∵z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i，因此，12.π

；；1

【解析】若f(x+a)=bf(x)，则cos[2(x+a)]=b当a=π时，cos2x=bcos2x故可取a=π，b=1.故答案为：π，1.(答案不唯一).13.33π；54π

【解析】由题意可知：这个木质工艺品的体积为V=V因为圆锥的母线长为l=所以这个木质工艺品的表面积为S=9π+2π×3×5+π×3×5=54π．故答案为：33π；54π．14.12；4

【解析】由已知可得AC⋅CA=故答案为：12；415.①③④

【解析】因为AD//B1C1，且对于①：因为DCC1D又因为AD⊥平面DCC1D1，CD且DC1∩AD，D可得CD1⊥平面AB1C1D，由对于②：由①可知：CD1⊥平面AB1C1同理可证：AC⊥B且AC∩CD1=C，AC,CD1⊂平面又因为C∈平面ACD1，M∉平面可知平面MPC与平面ACD所以不存在点P，使得B1D⊥平面MPC，故对于③：若C1P//MN，则C1,P,M,N四点共面，即又因为点N∈侧面DCC1D1，且侧面DCC根据平面的性质可知：对任意N∈线段C1D(不包括C1)，均存在所以存在无数组点N和点P，使得C1P//MN，故对于④：由②可知：B1D⊥平面由垂线性质可知，当P∈平面ACD1时，点P到直线又因为AD=CD=DD可知D−ACD1为正三棱锥，点P为等边此时点P到直线CD1的距离为所以点P到直线CD1的距离最小值是6故答案为：①③④．16.(1)由题意可知：tanα=所以tan2α=(2)由题意可得：cosα=则cos2α=2co所以cos2α+

【解析】(1)根据任意角的三角函数值的定义求tanα，再利用倍角公式求tan(2)根据任意角的三角函数值的定义求cosα17.(1)由正弦定理asinA因为A∈(0,π)，所以sinA≠0所以sin所以2因为B∈(0,π)，所以B2∈0,所以sinB2=12(2)因为AB边上的高是BC边上的高的2倍，c=1，所以由等面积法知a=2c=2，所以b2所以b=所以S

【解析】(1)由正弦定理转化为三角函数，由二倍角的正弦公式化简即可得解；(2)由高的关系得出边的关系，再由余弦定理求出b，由面积公式求面积即可．18.(1)证明：如图，取AB的中点为D，连接DF，DE，则DF//AC且DF=12AC，在三棱柱ABC−A1又E为A1C1的中点，所以DF//所以四边形C1所以C1F//DE，又DE⊂平面ABE，C1所以C1F//平面(2)若选条件①②：由AC1=若选条件②③：由C1C⊥AC，C1C⊥BC，AC∩AB=A,AC,AB⊂平面ABC，故又AB=3,BC=1,AC=2，故AB⊥BC由于C1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则又AB⊥BC，CC1∩BC=C,C故AB⊥平面BCB1C1，FCV若选条件①③：由AC1=又AB=3,BC=1,AC=2所以AC=由于C1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则又AB⊥BC，CC1∩BC=C,C故AB⊥平面BCB1C1，FCV

【解析】(1)根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证，(2)根据三棱柱唯一可选择②③或者①③，即可证明三棱柱为直三棱柱，即可根据线线垂直证明线面垂直求证，根据三棱锥的体积公式即可求证．19.(1)由图象可知：T=4×3π将点π4,2代入y=f(x)得∴φ=∵0<φ<π∴φ=∴f(2)g(x)=f(x)(i)令−π解得−π所以函数gx的单调递增区间为−(ii)令g(x)=0，即sin2x−所以2x−π4=2kπ+即x=kπ+3π4或由x∈0,10可得，g(x)零点为3π故零点之和为3π4【解析】(1)由图象及三角函数的性质可以得到ω,φ，进而得到f(x)的解析式；(2)根据三角恒等变换化简gx20.(1)如图所示，根据题意，DE⊥A1D,DE⊥DC,A1则DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1CD∩DE=D，CD,DE⊂平面BCDE，则A1C⊥平面(2)如图所示，连接CE.设点C到平面A1DE的距离由翻折前状态，可知DEBC由(1)知道，A1C⊥CD，则A1由(1)知道，DE⊥A1D由DE⊥平面A1DC.等体积法知道即13代入化简得到4ℎ=23×2，则ℎ=3，则点C(3)存在，CPCB如图所示，取A1E中点N，连接NB.在CB上取点P，使得PB=1，连接由于点M为线段A1D的中点，则MN=1又PB=1,PB//DE.则MN=PB，MN//PB，则四边形MNBP为平行四边形．则MP//NB，MP⊄平面A1BE，NB⊂平面A1BE，则此时CPCB

【解析】(1)先证明DE⊥平面A1DC，得到A1(2)运用等体积法可解；(3)取A1E中点N，连接NB.在CB上取点P，使得PB=1，连接21.(1)因为u(x)=0x+sinx，其中sinx若vx=x+x2为好函数，则存在实数k和周期函数所以ℎx=xℎ(x)取最小值，这与ℎ(x)是周期函数矛盾，所以vx(2)(i)由gfx=x,f可得gx(ii)若f(x)是周期函数，设T(T>0)是f(x)的一个周期，则x=g(f(x))=g(f(x+T))=x+T，这与T>0矛盾，所以f(x)不是周期函数．(iii)因为f(x)是好函数，所以存在实数k和周期函数ℎ(x)，使得f(x)