第22讲 难点探究专题：相似三角形中的动点问题-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）

第22讲难点探究专题：相似三角形中的动点问题【题型一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】例1．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．（1）用含t的代数式表示：=；（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间【答案】/秒或4秒【分析】（1）根据路程=速度时间，即可表示出AQ的长度.（2）此题应分两种情况讨论．①当时；②当时．利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）由题意可知：，（2）连接PQ，∵∠PAQ=∠BAC，∴当时，，即，解得当时，，即，解得t=4．∴运动时间为秒或4秒．故答案为：；秒或4秒【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解．【变式1-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是．【答案】3秒或4.8秒【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有ADE∽ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有ADE∽ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，故答案为：3秒或4.8秒．【点睛】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点、、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键．【变式1-2】如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为．【答案】或或【分析】根据题意可知，分和两种情形讨论即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴，①当时，，，若，∴则，∴，解得：；若，∴则∴，解得：②当时，，，同理可得或解得：（舍去）或综上所述，或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．【变式1-3】（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．(1)若△BPQ与相似，求t的值；(2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值．【答案】(1)t的值为1或(2)是等腰三角形时t的值为：或或(3)【分析】（1）根据勾股定理可得，分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质将代入计算即可得；（2）分三种情况：①当时，过P作，则，，根据平行线分线段成比例定理得到，进而即可求解；②当时，列出式子即可求解；③当时，过Q作于G，则，通过，得到比例式进而即可求解；（3）设AQ，CP交于点N，过P作于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）解：∵，∴，由题意得：，分以下两种情况讨论：①当时，，即，解得；②当时，，即，解得，综上，t的值为1或；（2）解：分三种情况：①当时，如图，过P作，则，，∵，，∴，∴，即，解得：；②当时，即，解得：；③当时，如图，过Q作于G，则，，∵，∴，∴即，解得：；综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或；（3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作于点M，∵，∴，∴，∴，即，解得，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，即，解得，经检验是该分式方程的解．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．【题型二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例2.（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在中，，，，动点D在边上，的垂直平分线交边于点E．若是直角三角形，则的长为．【答案】或【分析】由勾股定理和垂直平分线的性质可知，，若是直角三角形，分或两种情况，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∵的垂直平分线交边于点E，∴，设，则若是直角三角形，①如图，当时，可知，则：，即：，可得：，∴，①如图，当时，可知，则：，即：，可得：，∴，故答案为：或．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理及垂直平分线的性质，将直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键．【变式2-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝．【答案】或【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理可得，设PD'=PD=x，则AP=12-x，△APD'’是直角三角形可以分两种情况讨论，①当∠AD'P=90°时，②当∠APD'=90°时，根据相似三角形的性质列出方程求解，即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=12，AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，E是BC的中点，BE=CE=6，，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，PD'=PD，设PD'=PD=x，则AP=12-x，要使得△APD'是直角三角形时，①当∠AD'P=90°时，∠AD'P=∠B=90°，AD//BC，∠PAD'=∠AEB，，，即解得，；②当∠APD'=90°时，∠APD'=∠B=90°，∠PAE=∠AEB，，，即，解得：，；综上所述，当△APD′是直角三角形时，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折、矩形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是．【答案】或或．【分析】先求出点A和点B的坐标，根据勾股定理求出的长，得到，然后分三种情况利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：直线，当时，；当时，则，解得，∴，∵，∴，∵C是的中点，∴，如图1，点P在上，且，∴，∴，∴，∴，∴；如图2，点P在上，且，∴，∴，∴，∴；如图3，点P在上，且，∴，∴，∴，∴，∴，综上所述，点P的坐标是或或．【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、图形与坐标、勾股定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性质强，应注意按点P的不同位置分类讨论，求出所有符合题意的答案．【变式2-3】（2023·江苏·九年级专题练习）如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长．【答案】或1或4【分析】设，利用矩形的性质得到，则根据相似三角形的判定方法，当时，∽，；当时，∽，即，然后分别解方程即可．【详解】解：设，

∵四边形为矩形，，∴当时，即，解得；当时，即，解得综上所述，的长为或1或4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质．分类讨论是解题的关键.【题型三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】例3.（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为.【答案】【分析】根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案．【详解】解：由题意作出图形，如图所示：

在正方形中，，边长为6，设的长为，则，，，即，，，，，，，∴，，∴，，在时有最大值，最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．【变式3-1】（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为．

【答案】【分析】作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得解得，，过点作，交于点H，交于点P，则，，可知此时有最小值，最小值为，再根据相似三角形的判定，可证得，据此即可求解．【详解】解：如图：作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理得：，，，，解得，，过点作，交于点H，交于点P，

则，，，此时，，有最小值，最小值为，，，又，，，得，解得，故的最小值为．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．【变式3-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为．【答案】【分析】如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P；先通过判定、得到、；设,则，得到，即；说明点G在直线上且，的最小值为点A到直线的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答．【详解】解：如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P∵四边形为矩形∴∴∵∴∴∵∴∴∴∴∴∵∴,∴又∵分别是和对应边上的高∴∴设,则∴，即∵∴∴∴，即∴，即∵∴点G在直线上且∴的最小值为点A到直线的垂线段长度∴∵∴∴当时，有最小值，则的最小值为．故答案为．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形的判定与性质得到点G在直线上且成为解答本题的关键．【变式3-3】（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为．

【答案】【分析】如图所示，作点A关于的对称点F，连接，过点Q作交于G，过点D作且，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，由轴对称的性质可得，则，由此可得，，是等腰直角三角形，则；设与y轴交于N，过点E作轴于M，证明，得到，则，，证明四边形是平行四边形，得到；证明是等腰直角三角形，得到，则；由轴对称的性质可得，则，，故当最小时，最小，即最小，即当E、F、G三点共线时，最小，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，则当最小时点P的坐标为，利用勾股定理求出，，则．【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点F，连接，过点Q作交于G，过点D作且，连接，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵点F与点A关于直线对称，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，∴，设与y轴交于N，过点E作轴于M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；由轴对称的性质可得，∴，∴，∵要使最小，即要使最小，∴当最小时，最小，即最小，∴当E、F、G三点共线时，最小，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，解得，∴当最小时点P的坐标为，∴，，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定最小的情形是解题的关键．【题型四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例4.（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分两种情况：当点Q在时，当点Q在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：∵，∴，当点Q在时，∵直线，∴，∵，∴，∴，即，解得：；当点Q在时，如图，

∵直线，∴，∵，∴，∴，即，解得：；综上所述，y关于x的函数图象大致是：

故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．【变式4-1】（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，动点P从点B出发，在线段上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形的面积是（

）A．20 B．24 C．48 D．60【答案】C【分析】根据点P的移动规律，当时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，可得该矩形的面积．【详解】解：根据题意得：当时，，∵四边形是矩形，∴，，∴此时，，∴，∴，∴，所以矩形的面积．故选：C【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出．【变式4-2】（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分三种情况讨论得出关于的函数关系式即可得出答案．【详解】解：①当点与点重合时，在正方形中，，∴与或的延长线没有交点，不符合题意；②当点在线段之间（点不与点、点重合），∵四边形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，∵点移动的距离为，为，∴，，，∴，∴，它的图像是反比例函数图像的一部分；②当点在线段之间（点可与点、点重合），此时点与点重合，∵，，又∵，∴，它的图像是一条线段；∴动点从点出发沿方向在和上匀速移动时所对应函数关系式为：，故选：C．【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点的位置分情况讨论．【变式4-3】（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（

）．

A．B．

C．D．

【答案】B【分析】根据得，根据直线是线段的中垂线可得，，再证，然后根据相似三角形列比例式化简可得，再结合确定函数图像即可即可解答．【详解】解：∵，∴，∵直线是线段的中垂线，∴，，，∵，∴，∴，∴∴，即，可得，即函数图像为B选项．故选B．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，证得得到是解答本题的关键．【题型五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例5.（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F．(1)求证：；(2)当时，求的长．(3)若直线与线段延长线交于点G，当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）由可得，用x的代数式表示、，再运用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形∴．又∵，∴，，∴；（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：如图所示，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式5-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的边长为4，动点在边上从点沿向点运动（点不与点，重合），连接．过点作，交于点．(1)求证：；(2)若，求的长度；(3)连接．试判断当点运动到边的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)AQ=(3)当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP；理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质可得∠APQ+∠AQP=90°．再由PE⊥PC，可得∠APQ+∠BPC=90°，从而得到∠AQP=∠BPC，即可求证；（2）根据相似三角形的性质，即可求解；（3）当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP；理由根据相似三角形的性质，先求出AQ，再根据勾股定理可得PQ，CP的长，可得到==．即可求证．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠APQ+∠AQP=90°．∵PE⊥PC，∴∠APQ+∠BPC=90°，∴∠AQP=∠BPC，∴△APQ∽△BCP；（2）解：∵S△APQ∶S△BCP=1∶16，△APQ∽△BCP，∴==．设BP=x，则AP=4-x，∴=，解得x=3，即BP=3，∴AQ=；（3）解：当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP；理由如下：如图，∵P是AB的中点，∴AP=BP=2．∵△APQ∽△BCP，∴=，即=，解得：AQ=1，∴PQ=，，∴==．又∵∠CPQ=∠B=90°，∴△PCQ∽△BCP．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键．【变式5-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则_______；(2)如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；(3)如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．【答案】(1)(2)(3)或7【分析】（1）连接CD，根据勾股定理得到AB=10，根据直角三角形的性质得到CD=BD=AB=5，根据折叠的性质得到∠F=∠B，EF=EB=2，根据相似三角形的性质，即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）①如图③-a，当∠FMD=90°时，如图③b，当∠FDM=90°时，作DH⊥BC于H，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）解：连接CD，∵在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，∴AB==10，∵点D是AB边上的中点，∴CD=BD=AB=5，∴∠DCB=∠B，∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴∠F=∠B，EF=EB=2，∵∠CGD=∠FGE，∴△CDG∽△FEG，∴，故答案为：；（2）解：∵∠PCD=∠BCD，∠BCD=∠B，∴∠PCD=∠B，∵∠CPD=∠BPC，∴△CPD∽△BPC，∴，设DP=5k，CP=8k，∵CP2=PD•PB，∴64k2=5k（5k+5），∴k=，∴PD=5k=；（3）解：①如图③-a，当∠FMD=90°时，∵∠F=∠B，∠FMD=∠ACB=90°，∴△FDM∽△BAC，∴，∴，∴DM=3，∴CM=CD-DM=2，∵∠ECM=∠B，∴∠CME=∠ACB=90°，∴△CEM∽△BAC，∴，∴，∴CE=，∴BE=；如图③b，当∠FDM=90°时，∵∠F=∠BCD，∠FMD=∠CME，∴∠CEM=∠FDM=90°，∴∠FED=∠BED=45°，作DH⊥BC于H，则△BDH∽△BAC，∴，∴，∴DH=3，BH=4，∴EH=DH=3，∴BE=3+4=7．综上所述，BE=或7．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【题型六相似三角形中的动点探究应用问题】例6.（2023春·浙江·九年级专题练习）【基础巩固】(1)如图1，在中，分别为上的点，交于点，求证：．【尝试应用】(2)如图2，已知为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交和于点和，求的值．【拓展提高】(3)如图3，点是正方形的边上的一个动点，，延长至点，使，连接，求的最小值．【答案】(1)见解析；(2)；(3)．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明，，得到，，整理可得，即；（2）如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F，由（1）中结论可得，，证明，，根据相似三角形的性质可得，，整理可得；（3）如图，延长交于点H，证明，，根据相似三角形的性质和可得，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用等积法求得时的值即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，，，∴，，∴，，∴，∴．（2）如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F，∵，由（1）中结论可得，，∵，∴，，，，∴，，∴，，∴．（3）如图，延长交于点H，∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值为．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．【变式6-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为___________（用含m、n的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】②【分析】（1）作，交的延长线于E，可证得，因此，再证，从而得出；（2）延长至T，使，连接，可证得，，进而证得，进而证得，进一步得出结果；（3）延长至Q，使，连接，作，交的延长线于D，由得出，由平分得出，不妨设，，则，由得出，进而得出．【详解】（1）证明：如图1，作，交的延长线于E，，，，平分，，，，；（2）解：如图2，

延长至T，使，连接，，，，∴四边形是平行四边形，，平分，，，，，，，，；（3）如图3，

延长至Q，使，作，，，平分，，不妨设，，由上知：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．【变式6-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）在中，，，于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作，交直线BC于点F．(1)[探究发现]：如图1，若，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；(2)[数学思考]：①如图2，若点E在线段AC上，求证：；②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)[拓展应用]：若，，，求CE的长．（可结合题意，另行画图）【答案】(1)DE＝DF，见解析(2)①见解析；②成立，见解析(3)或【分析】（1）根据得出BC＝AC，根据∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，得出∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，根据CD⊥AB，DE⊥DF

，得出∠CDE＝∠BDF

，再证△CDE≌△BDF（AAS），得出DE＝DF即可；（2）①根据∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°，得出∠A＝∠BCD，可证∠ADE＝∠CDF，得出△ADE∽△CDF，利用相似三角形性质得出，根据∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，可证△ADC∽△CDB，得出，根据，得出；②仍然成立，根据∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，得出∠CDE＝∠BDF，再证△ADE∽△CDF，得出，根据△ADC∽△CDB，得出，根据，可证即可；（3）根据△ADE∽△CDF，得出，可得，证出CF＝2AE，根据DF＝，可得DE＝，连结EF，根据勾股定理EF＝，①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+[2（CE－）]2＝40，②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+[2（+CE）]2＝40，③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（－CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+[2（－CE）]2＝40，解方程即可．【详解】（1）结论为：DE＝DF证明：∵∴BC＝AC，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，∵CD⊥AB，DE⊥DF

，∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°∴∠CDE＝∠BDF

，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DE＝DF，（2）①∵∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°∴∠A＝∠BCD，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，∴，∵，∴；②仍然成立，∵∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠A＝∠BCD，∴△ADE∽△CDF，∴，∵△ADC∽△CDB，

∴，

∵，

∴；（3）由（2）得△ADE∽△CDF，∴，

∴，∴CF＝2AE，∵DF＝，

∴DE＝，连结EF，∵∠EDF＝90°，∴EF＝，①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE－）]2＝40，∴CE＝或CE＝（舍去），∴CE＝；②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝或CE＝－(舍去)，∴CE＝；③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（－CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（－CE）]2＝40，∴CE＝或CE＝－（均不满足题意），综上所述，CE＝或．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形全等判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．一、单选题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（

）

A． B． C．或 D．以上均不对【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得．【详解】解：设运动时间为，由题意得：，，，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，，，，①当时，则，即，解得，符合题意；②当时，则，即，解得，符合题意；③当时，则，即，解得，符合题意；④当时，则，即，解得，符合题意；综上，运动时间为或，故选：C．2．（2024·山东泰安·一模）如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．设，分两种情况：①当点在上运动，即时，②当点运动到点时，点恰好运动到点，当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，分别求出函数关系式，根据时，，列出方程，求出，（舍去），得出的长是即可．【详解】解：设．①当点在上运动，即时，由题意知：，，∵在等腰中，，，，∴，，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分；②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图，

当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，，，由图2知，当时，，，解得，（舍去），的长是．故选：C．3．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解．【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，，，，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为∴，，，，∴，，，，，又，，解得，，当四边形是菱形时，的值为；故选A．二、填空题4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，是上一点，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒，当直线截存在与相似的三角形时，．

【答案】或/4.8或7.5【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分和两种情况进行讨论求解即可．掌握相似三角形的性质，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：，，当直线截存在与相似的三角形时，分两种情况讨论：①当时，则：，即：，解得：；②当时，则：，即：，解得：；综上：或；故答案为：或．5．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为．【答案】或【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据菱形的性质可计算出的长度，根据相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当点在上时；当点在上时；结合相似三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：根据题意，作图如下，连接，

∵四边形是菱形，，∴，，∴，∵点是的中点，∴，即，在中，，，则，①如图所示，当点在上时，当时，∴，则，∴；②如图所示，当点在上时，当时，

连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形，∴根据上述证明可得，点是的中点，且，∴当时，点关于点对称，∴，∴点为的中点，且，∴，即，∴，∴；综上所述，的长为或，故答案为：或．6．（20-21八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB的解析式为y＝x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，当线段EF的长度最小时，△OEF的面积为．【答案】【分析】在一次函数y＝x+4中，分别令x＝0和y＝0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标，由矩形的性质可知EF＝OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，由条件可证明△AOB∽△OPB，利用相似三角形的性质可求得OP的长，即EF的最小值，再利用相似三角形的性质可求得OF、PF的值，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵一次函数y＝x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣3，∴A（0，4），B（﹣3，0）．∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，∴四边形PEOF是矩形，且EF＝OP，∵O为定点，P在线段上AB运动，∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，∵A（0，4），点B坐标为（﹣3，0），∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝＝5，∵∠BOA＝90°，OP⊥AB，∴∠BOA＝∠BPO＝90°，∠BOP＝∠BAO，∴△BOP∽△BAO，∴，∴AB•OP＝OA•OB，∴OP＝．∵∠BOP＝∠BAO，∠BOA＝∠PFO＝90°，∴△BOA∽△PFO，∴，

∴OF＝，PF＝，∴S△OEF＝OE•OF＝PF•OF＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点，求出当线段EF的长度最小时点P的坐标是解答此题的关键．三、解答题7．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为．(1)当t为何值时，的面积为？(2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？【答案】(1)当时，的面积为(2)当或时，以为顶点的三角形与相似【分析】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的几何应用、相似三角形的性质等知识，熟练掌握一元二次方程的几何应用和相似三角形的性质是解题关键．（1）先求出，再求出的长，然后利用直角三角形的面积公式建立方程，解方程即可得；（2）分两种请：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得．【详解】（1）解：∵在矩形中，，，，，由题意可知，，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，，，∵的面积为，，解得或（不符合题意，舍去），答：当时，的面积为．（2）解：①当时，则，即，解得，符合题意；②当时，则，即，解得，符合题意，综上，当或时，以为顶点的三角形与相似．8．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x，(1)当时，x为何值？(2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由．(3)当时，求．（直接写答案）【答案】(1)(2)能，的长为或(3)【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可．（1）根据平行线分线段成比例得即可求解；（2）根据，分类讨论，即可求解；（3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求