沪科版初中九年级数学上册第23章素养提优测试卷课件

第23章素养提优测试卷(时间：120分钟

满分：150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题只有一个选项是符合题意的)1.(★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=

,那么cosB的值是

(

)A.

B.

C.

D.

A解析

A∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=

,∴AB=

=2,∴cosB=

=

,故选A.2.(★☆☆)对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sinα=

sin(180°-α),cosα=-cos(180°-α).下列各式正确的是

(

)A.sin120°=

B.cos120°=

C.sin150°=-

D.cos150°=-

对应目标编号M9123001D解析

D由题意可得cos150°=-cos(180°-150°)=-cos30°=-

,故选D.新考向新定义试题3.[新考法](2023山东威海中考,4,★☆☆)如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为

28°,高为7米.用计算器求AB的长,下列按键顺序正确的是

(

)A.7×sin28=

B.7÷sin28=

C.7×tan28=

D.7÷tan28=对应目标编号M9123003B解析

B本题通过设置问题情境考查用计算器求角度的方法,题目新颖.在Rt△ABC中,∠BAC=28°,BC=7米,∵sin28°=

,∴AB=

,因此按键顺序为7÷sin28=,故选B.4.[一题多解](2024安徽宣城第六中学月考,5,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=

90°,AC=4,BC=3,CD是△ABC边AB上的高,则tan∠BCD的值是

(

)

A.

B.

C.

D.

对应目标编号M9123001B解析

B解法一:∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°.∵CD⊥AB,∴∠ADC=

90°,∴∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A,在Rt△ABC中,tanA=

=

,∴tan∠BCD=tanA=

.故选B.解法二:∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5.∵

AC·BC=

AB·CD,∴CD=

,∴BD=

=

=

,∴tan∠BCD=

=

=

.5.(2024安徽安庆期末,9,★☆☆)王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B

地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英同学离A地

(

)

A.50

m

B.100m

C.150m

D.100

m对应目标编号M9123005D解析

D

AD=AB·sin60°=50

m,BD=AB·cos60°=50m,∴CD=150m,∴AC=

=100

m.故选D.6.(★☆☆)在△ABC中,∠A、∠B为锐角,且满足

+(2sinA-

)2=0,则∠C等于

(

)A.105°

B.75°

C.60°

D.45°A解析

A∵

+

=0,∴tanB=

,sinA=

,∵∠A、∠B为锐角,∴∠B=30°,∠A=45°,故∠C=180°-∠A-∠B=105°.7.(2024安徽安庆宿松期末,6,★☆☆)如图,圆规两脚OA,OB张开的角度为α,OA=

OB=10,则两脚张开的距离AB为

(

)

A.10sinα

B.10cosα

C.20sin

D.20cos

对应目标编号M9123005C解析

C如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,∵OA=OB,OC⊥AB,∴AB=2BC,

∠BOC=

∠AOB=

α,在Rt△COB中,OB=10,∴BC=OB·sin

=10sin

,∴AB=2BC=20sin

,故选C.8.[新考法](2024安徽宣城宁国期末,5,★★☆)如图,已知第一象限内的点A在反

比例函数y=

的图象上,第二象限内的点B在反比例函数y=

的图象上,且OA⊥OB,tanA=2,则k的值为

(

)

A.4

B.8

C.-4

D.-8对应目标编号M9123001D解析

D本题综合考查反比例函数及三角函数,题目较新颖.如图,过点B作BC

⊥x轴于C,过点A作AD⊥x轴于D,则S△AOD=

×2=1,在Rt△AOB中,tanA=

=2,∵∠AOD+∠BOC=90°,∠AOD+∠OAD=90°,∴∠BOC=∠OAD,∴Rt△AOD∽

Rt△OBC,∴

=

=4,∴S△OBC=4S△AOD=4,∴

·|k|=4,∵k<0,∴k=-8.故选D.

9.(2024安徽安庆桐城月考,5,★★☆)如图,坡角为30°的斜坡上有一棵大树MN

(MN垂直于水平地面),当太阳光线与水平面成45°角沿斜坡照下时,在斜坡上树

影NT的长为30米,则大树MN的高为

(

)

A.15米

B.15

米

C.(15

-15)米

D.(15

+15)米对应目标编号M9123005C解析

C如图,过点T作TA⊥MN,交MN的延长线于A,则∠NTA=30°.∵TN=30米,

∴TA=TN·cos∠NTA=30·cos30°=15

(米),NA=

TN=15(米),在Rt△MTA中,∠MTA=45°,∴MA=TA=15

米,∴MN=MA-NA=(15

-15)米,故选C.

10.(2023安徽蚌埠期末,7,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=

,点D是AC上一点,连接BD.若tanA=

,tan∠ABD=

,则BD的长为

(

)A.2

B.

C.3

D.2

B解析

B∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=

,tanA=

=

,∴AC=2BC=2

,由勾股定理得,AB=

=

=5,过点D作DE⊥AB于点E,如图,

∵tanA=

,tan∠ABD=

,∴

=

,

=

,∴DE=

AE,DE=

BE,∴

AE=

BE,∴BE=

AE,∵AE+BE=5,∴AE+

AE=5,∴AE=2,∴DE=1,BE=3,∴在Rt△BDE中,BD=

=

=

.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.(2024安徽马鞍山八中期中,13,★☆☆)2sin60°+3tan30°=

.

对应目标编号M9123002答案

2

解析原式=2×

+3×

=

+

=2

.

2 12.(2023山东枣庄中考,14,★★☆)桔槔是一种原始的汲水

工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂

水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水

提升至所需处,若已知杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可

以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示的位置时,∠AOM=45°,此时点B到水

平地面EF的距离为

米.(结果保留根号)

情境题劳动生产对应目标编号M9123005

(3+ )答案

(3+ )解析如图,过点O作OC⊥BT,垂足为C,由题意得BC∥OM,∴∠AOM=∠OBC=

45°.∵AB=6米,AO∶OB=2∶1,∴AO=4米,OB=2米,在Rt△OBC中,BC=OB·cos45°=

2×

=

(米).∵OM=3米,∴此时点B到水平地面EF的距离=BC+OM=(3+

)米.

13.(2023四川眉山中考,17,★★☆)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东

60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方

向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是

海里.

对应目标编号M91230056( +1)答案

6( +1)解析如图,过点C作CH⊥AB于H.∵∠DAC=60°,∠CBE=45°,∴∠CAH=90°-

∠CAD=30°,∠CBH=90°-∠CBE=45°,∴∠BCH=90°-45°=45°=∠CBH,∴BH=CH.在Rt△ACH中,∠CAH=30°,AH=AB+BH=12+CH,tan30°=

,∴CH=

(12+CH),解得CH=6(

+1),即渔船与灯塔C的最短距离是6(

+1)海里.

14.(2024安徽滁州田家炳学校月考,14,★★★)如图,点E是正方形ABCD内的一点,已知∠BEC=90°,tan∠CBE=

,连接AE.

(1)tan∠ABE=

;(2)若AB=2

,则△ABE的面积为

.

学科素养推理能力对应目标编号M912300139答案

(1)3

(2)9解析

(1)在Rt△BCE中,∠BEC=90°,∵tan∠CBE=

,∴设BE=3x,CE=x,∴tan∠BCE=

=3.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°.又∵∠ABE+∠CBE=∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ABE=∠BCE,∴tan∠ABE=3.(2)如图,过点A作AF⊥BE于点F.∵AB=BC,∠ABF=∠BCE,∠AFB=∠BEC=90°,∴

△ABF≌△BCE,∴AF=BE.在Rt△BCE中,∵tan∠CBE=

,∴设BE=3a,CE=a,由勾股定理,得BC2=BE2+CE2=(3a)2+a2=10a2.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AB=2

,∴BC2=(2

)2=20,即10a2=20,解得a=

(负值已舍去),则BE=AF=3

.∴S△ABE=

BE·AF=

×3

×3

=9.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(2024安徽合肥肥西期末,15,★☆☆)计算:cos30°·tan60°-cos245°+tan45°.

解析原式=

×

-

+1=

-

+1=1+1=2.对应目标编号M912300216.[教材变式·P136T8](新独家原创,★☆☆)已知在△ABC中,AC=13,BC=7,

cosA=

.求线段AB的长.

解析分两种情况讨论:①当△ABC为锐角三角形时,过点C作CD⊥AB于点D,如

图1,∵AC=13,cosA=

,∴AD=12,∴CD=

=

=5,∴BD=

=

=2

,∴AB=AD+BD=12+2

.②当△ABC为钝角三角形时,过点C作CD⊥AB于点D,如图2,同理可求得AD=12,BD=2

,∴AB=AD-BD=12-2

.综上所述,AB的长为12+2

或12-2

.

对应目标编号M9123004四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.(2024安徽合肥长丰期末,20,★☆☆)如图,点A、B分别为地球

仪的南、北极点,直线AB与放置地球仪的平面交于点D,所成的角度约为67°,半

径OC所在的直线与放置平面垂直,垂足为点E.DE=15cm,AD=14cm.求半径OA

的长.(精确到0.1cm,参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)

跨学科地理对应目标编号M9123005解析在Rt△ODE中,DE=15cm,∠ODE=67°,∵cos∠ODE=

,∴OD=

≈

≈38.46(cm),∴OA=OD-AD=38.46-14≈24.5(cm).答:半径OA的长约为24.5cm.18.(★☆☆)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足60°≤α≤75°.现有一架5m长的梯子.

(1)当梯子底端距离墙面2m时,人能否安全地使用这架梯子?(2)若人站在梯子上,伸出手臂,最高可以够到梯子顶端上方25cm处的物体,使用

这架梯子能安全够到墙上距离地面5m处的物体吗?(参考数据:sin75°≈0.97,

cos75°≈0.26,tan75°≈3.73,sin23.6°≈0.40,cos66.4°≈0.40,tan21.8°≈0.40)

对应目标编号M9123005解析如图所示:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,cosα=

=

=0.4,∴α≈66.4°,∵60°<66.4°<75°,∴此时人能够安全地使用这架梯子.(2)∵60°≤α≤75°,∴当α=75°时,这架梯子可以安全攀上的墙的高度最大,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinα=

,∴AC=AB·sinα=5×sin75°≈5×0.97=4.85(m),∴使用这架梯子最高可以够到墙上4.85+0.25=5.1m处的物体,∴这架梯子能安全够到墙上距离地面5m处的物体.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.(★★☆)国内最高的辐条式摩天轮是“芜湖之

眼”,它矗立在芜湖市弋江区长江南路和峨山东路交会处的松鼠小镇,某校数学

兴趣小组把“测量芜湖之眼的高度”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,

并利用课余时间进行测量.新考向项目式学习试题课题测量芜湖之眼的高度测量工具测角仪,皮尺等测量方案如图,在点C处放置高为1m的测角仪CD,此时测得芜湖之眼顶端B的仰角为45°,再沿CA方向走44m到达点E处,此时测得芜湖之眼顶端B的仰角为56°说明:点A,B,C,D,E,F在同

一平面内,点A,C,E在同一

水平线上请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求芜湖之眼AB的高度.(结果保留整数,

参考数据:tan56°≈1.5)

解析如图,延长DF交AB于点G,由题意得,DF=CE=44m,DC=FE=GA=1m,∠DGB=90°,设FG=xm,则DG=DF+FG=(x+44)m,在Rt△BFG中,∠BFG=56°,∴BG=FG·tan56°≈1.5x(m),在Rt△DBG中,

∠BDG=45°,∴tan45°=

=1,∴BG=DG,∴1.5x=x+44,解得x=88,∴BG=1.5x=132(m),∴AB=BG+AG=133(m),∴芜湖之眼AB的高度约为133m.20.(★★☆)阅读理解:如图,在直角三角形中由锐角三

角函数的定义我们容易得到以下结论:①

⇒sinA=cosB;②

=

·

=

=tanA;③

⇒tanA·tanB=1.牛刀小试:(1)已知∠A+∠B=90°,且sinA=

,则cosB=

;新考向阅读理解试题(2)已知∠A为锐角,且tanA=4,求

的值;(3)试求出tan1°·tan2°·tan3°·tan4°·tan86°·tan87°·tan88°·tan89°的值.

解析

(1)

.(2)

=tanA=4,得sinA=4cosA,∴

=

=-13.(3)原式=(tan1°·tan89°)·(tan2°·tan88°)·(tan3°·tan87°)·(tan4°·tan86°)=1.六、(本题满分12分)21.(2022浙江绍兴中考,20,★★☆)圭表(如图①)

是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直

立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的,与标杆垂直的长尺

(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长

度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图②是一个根据某

市地理位置设计的圭表平面示意图,表AC垂直于圭BC,已知该市冬至正午太阳

高度角(即∠ABC)为37°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°,圭面上冬至线与

夏至线之间的距离(即DB的长)为4米.

对应目标编号M9123005(1)求∠BAD的度数;(2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米).

参考数据:sin37°≈

,cos37°≈

,tan37°≈

,tan84°≈

情境题中华优秀传统文化解析

(1)∵∠ADC=84°,∠ABC=37°,∴∠BAD=∠ADC-∠ABC=47°.(2)在Rt△ABC中,tan37°=

,∴BC=

.在Rt△ADC中,DC=

,∵BD=4米,∴BC-DC=

-

=BD=4,∴

AC-

AC≈4,∴AC≈3.3(米).

答:表AC的长约为3.3米.七、(本题满分12分)22.[教材变式·P123T6]

(2024安徽合肥期末,21,★★☆)

小宇学习三角函数时,遇到一个这样的问题:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°,

求tan22.5°的值.小宇同学通过查找资料,获得了以下解题思路.请仔细阅读,并完

成探究.思路:先画出几何图形(如图①),22.5°角虽然不是特殊角,但22.5°是45°的一半,于

是在CB上截取CD=CA,再连接AD,构造出等腰△ABD(如图②).探究1:按照上面的解题思路,得到tan22.5°的值为

;探究2:如图③,仿照上述方法,求tan15°的值;探究3:如图④,小宇发现家中的电瓶车在夜晚开启大灯时,大灯A照亮地面的宽度

为BC,光线的边缘与地面的夹角分别为∠ABD=15°,∠ACD=22.5°,大灯距离地面

的高度AD为1.2m,求照明宽度BC的长.(精确到0.1m,参考数据:

≈1.41,

≈1.73)新考向实践探究试题④解析探究1:

-1.详解:∵△ADB为等腰三角形,∴设AC=CD=a,则AD=BD=

a,∴tan22.5°=

=

=

=

-1.探究2:如图1,作AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,∴AD=BD,∴∠BAD=∠B=15°,∴∠ADC=30°,设AC=m,∴AD=BD=2m,CD=

m,∴BC=BD+CD=2m+

m=(2+

)m,∴tan15°=

=

=

=2-

.探究3:如图2,在Rt△