沪科版初中九年级数学上册22-3相似三角形的性质基础过关练课件

第22章相似形22.3相似三角形的性质1.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶1,则△ABC与△DEF对应

的角平分线之比为

(

)A.1∶3B.3∶1C.9∶1D.1∶9基础过关全练知识点1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角

平分线的比都等于相似比B解析∵△ABC∽△DEF,相似比为3∶1,∴△ABC与△DEF

对应的角平分线之比为3∶1.故选B.2.(2024安徽滁州明光期中)若两个相似三角形对应中线的比

为

,则它们对应边上的高之比为(M9122006)(

)A.

B.

C.

D.

B解析因为两个相似三角形对应高的比与对应中线的比相

等,都等于相似比,所以它们对应边上的高之比为

.故选B.3.(教材变式·P91T10)(跨学科·物理)(2024河南郑州期末)如

图,小明自制了一个小孔成像装置,其中直筒的长度为15cm.

他准备了一支长为20cm的蜡烛,想要得到高度为5cm的像,

蜡烛应放在距离直筒多远的地方(M9122006)(

)A.60cmB.50cmC.40cm

D.30cm

A解析如图,过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长EO交CD于点F,

由题意得EF⊥CD,OF=15cm,AB∥CD,∴∠OAB=∠ODC,∠

OBA=∠OCD,∴△OAB∽△ODC,∴

=

,∴

=

,解得OE=60cm,∴蜡烛应放在距离直筒60cm远的地方,故选A.

4.(新独家原创)如图,点D,E分别在△ABC的边AB和AC上,∠

AED=∠ABC,AF平分∠BAC,交DE于点G,交BC于点F.若AD

=2,AC=4,则AG∶AF=

.(M9122006)1∶2解析∵∠AED=∠ABC,∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△

ACB.又AF平分∠BAC,∴AG∶AF=AD∶AC=2∶4=1∶2.5.如图,AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且

=

=

,∠B=∠B'.求

的值.(M9122006)

解析∵

=

,∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'.∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,∴

=

=

.知识点2相似三角形周长的比等于相似比6.(2023重庆中考)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这

两个三角形对应边的比是

(

)A.1∶2B.1∶4C.1∶8

D.1∶16B解析∵两个相似三角形周长的比为1∶4,∴这两个三角形

对应边的比为1∶4.故选B.7.(一题多解)(2022江苏连云港中考)△ABC的三边长分别为

2,3,4,另有一个与它相似的△DEF,其最长边为12,则△DEF的

周长是(M9122006)(

)A.54B.36C.27D.21C解析解法一:设△ABC中长为2的边对应△DEF中的边是x,

长为3的边对应的边是y,∵△ABC∽△DEF,∴

=

=

,∴x=6,y=9,∴△DEF的周长是27.解法二:∵△ABC∽△DEF,相似比为

=

,∴

=

,∴

=

,∴

=27.故选C.8.(2024安徽省清华附中合肥学校月考)已知△ABC∽△A'B'

C',AB=2,A'B'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长之比为

.1∶3解析∵△ABC∽△A'B'C',AB=2,A'B'=6,∴△ABC与△A'B'C'的周长之比为2∶6=1∶3.9.(新考法)如图,已知矩形ABCD的边AD=8,将矩形ABCD折

叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,折痕与边BC交于点O.

(M9122006)(1)求证:△OCP∽△PDA;(2)若OB=5,求△OCP与△PDA的周长之比.

解析本题利用折叠考查相似三角形的判定和性质,比较新

颖.(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°,由折叠可知∠APO=∠B=90°,∴∠

APD+∠CPO=90°.∵∠APD+∠DAP=90°,∴∠DAP=∠CPO,

又∵∠C=∠D=90°,∴△OCP∽△PDA.(2)在矩形ABCD中,BC=AD=8,∠C=90°,由折叠可知PO=BO,∵OB=5,∴OC=BC-OB=3,OP=OB=5,∴CP=

=4,∵△OCP∽△PDA,∴△OCP与△PDA的周长之比为CP∶

AD=4∶8=1∶2.知识点3相似三角形面积的比等于相似比的平方10.(2024安徽淮南谢家集期末)如果△ABC∽△DEF,其面积

比为9∶16,那么它们的周长比为(M9122006)(

)A.4∶3B.1∶3C.9∶16D.3∶4D解析∵△ABC∽△DEF,其面积比为9∶16,∴相似比为3∶

4,∴它们的周长比为3∶4,故选D.11.(2024安徽合肥滨湖寿春中学月考)两个相似三角形的相

似比为1∶2,较小的三角形的面积为4,则较大三角形的面积

为(M9122006)(

)A.2B.8C.16D.1C解析∵两个相似三角形的相似比为1∶2,∴两个相似三角

形的面积比为1∶4,∵较小三角形的面积为4,∴较大三角形

的面积为16.故选C.12.(2023江苏南通中考)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的

中点,连接DE,则

=

.(M9122006)

解析∵D,E分别是AB,AC的中点,∴

=

=

,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

.13.(教材变式·P91T8)(2024安徽淮北期中)如图,在▱ABCD

中,

=

,BD与MC相交于点O,则

∶

=

.(M9122006)4∶9解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴△MOD

∽△COB,∵

=

,∴S△MOD∶S△COB=

=

.14.(2024安徽合肥四十二中期中)如图,AM平分∠BAD,作BF

∥AD交AM于点F,点C在BF的延长线上,CF=BF,DC的延长

线交AM于点E.(M9122006)(1)求证:AB=BF;(2)若AB=1,AD=4,求

∶

的值.

解析

(1)证明:∵AM平分∠BAD,∴∠BAM=∠DAM,∵BF∥AD,∴∠BFA=∠DAM,∴∠

BAM=∠BFA,∴AB=BF.(2)∵AB=1,∴AB=BF=CF=1,∵BC∥AD,∴△CEF∽△DEA,

∴

=

=

.能力提升全练15.(2024安徽合肥月考,4, )如图所示,△ABC中,DE∥BC,若AD∶DB=1∶2,则下列结论中正确的是

(

)A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

D解析∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵AD∶DB=1∶2,∴

AD∶AB=1∶3,∴两相似三角形的相似比为1∶3,∵两个相

似三角形的周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平

方,∴D正确.故选D.16.(2024安徽淮北期中,10, )如图,BE是△ABC的中线,点D在BC上且满足CD=2BD,连接AD,与BE交于点F,则

的值为(M9122006)(

)A.

B.

C.4D.

C解析如图,过点E作EG∥BC交AD于G,∴△AGE∽△ADC,

∵BE是△ABC的中线,∴AE=EC,∴

=

=

=

,∴CD=2GE,AD=2AG,∵CD=2BD,∴BD=GE,∵GE∥BC,∴∠EGF=∠BDF,∵∠BFD=∠E-

FG,∴△BDF≌△EGF(AAS),∴DF=GF,∴AG=2GF,设S△GEF=

m,则S△AGE=2m,∴S△AEF=3m,∵

=

=

,∴S△ACD=8m,∵CD=2BD,∴S△ABD=4m,∴S△ABC=12m,∴

=

=4.故选C.17.(2024安徽淮南谢家集期末,12, )如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在

网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则

的值等于

.(M9122006)

解析∵

=

=

,

=

=

,

=

=

,∴

=

=

=

,∴△ABC∽△DEF,∴

=

=

.18.(2023辽宁中考,17, )如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作BE∥AC,交DA的延长线于点

E,连接OE,交AB于点F,则四边形BCOF的面积与△AEF的面

积的比值为

.(M9122006)

解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC,

∵AE∥BC,BE∥AC,∴四边形AEBC是平行四边形,∴AC=

BE,∴BE=2OA,∵OA∥BE,∴△OAF∽△EBF,且相似比为

,∴

=

=

,∴

=4

,∵

=

=2,∴

=2

,同理

=2

,

=

,设

=x,则

=4x,

=2x,

=2x,

=

=

+

=x+2x=3x,S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF=3x+2x=5x,∴

=

=

.19.(2023山东日照中考,16, )如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在对角线BD上,过点P作MN⊥BD,交边AD,BC于

点M,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列

结论:①EM=EN;②四边形MBND的面积不变;③当AM∶MD

=1∶2时,S△MPE=

;④BM+MN+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号是

.

②③④解析①当点N与点C重合时,可知EM≠EN,故①错误;②如图,延长ME交BC于点H,∵MN⊥BD,∴∠MPD=90°,∴

∠PMD+∠PDM=90°,∵ME⊥AD,∴∠EMD=90°,∴∠EMP+∠PMD=90°,∴∠

EMP=∠PDM,∵∠MHN=∠A=90°,∴△MHN∽△DAB,∴

=

,易得BD=10,MH=6,∴

=

,解得MN=

,∴S四边形MBND=

×10×

=

,故四边形MBND的面积不变,故②正确;③当AM∶MD=1∶2时,易证△DME∽△DAB,∴

=

,即

=

,解得ME=4,易证△MPE∽△DAB,∴

=

,即

=

,解得S△MPE=

,故③正确;④如图,过点D作MN的平行线,过点M作ND的平行线,两线交

于点F,连接BF,则四边形MNDF为平行四边形,∴MF=ND,则BM+MN+ND=BM+

+MF,又BM+MF≥BF,故当B、M、F三点共线时,BM+MF最小,最小值为BF的长,易知BD⊥DF,DF=MN=

,∴BF=

=

,∴BM+MN+ND的最小值为

+

=20,故④正确.故正确结论的序号是②③④.20.(方程思想)(2024安徽亳州蒙城期中,22, )如图1,CE、BF是△ABC的两条高,CE、BF相交于D.(M9122006)(1)请直接写出图1中与△ABF相似的三角形;(2)如图2,连接EF,若∠A=60°,EF=5,求BC的长;(3)若∠ABC=45°,CF=6,AF=4,求△AEF的面积.

图1

图2解析

(1)△ACE,△DBE,△DCF都与△ABF相似.(2)∵BF⊥AC,∴∠BFA=90°.在Rt△ABF中,∠A=60°,∴∠ABF=30°,∴

=

.同理

=

,∴

=

.又∵∠A=∠A,∴△AEF∽△ACB,∴

=

=

,∵EF=5,∴CB=10.(3)∵△ACE∽△ABF,∴

=

.∵CF=6,AF=4,∴AC=10,∴

=

,∴AB·AE=40.设AB=x,则AE=

(AB>AE),在Rt△ABF中,BF2=AB2-AF2=x2-16,在Rt△BCF中,BC2=BF2+CF2=x2-16+36=x2+20,∵∠ABC=45°,∴△

EBC为等腰直角三角形,∴BE=CE,在Rt△EBC中,BC2=BE2+

CE2,CE2=

(x2+20),在Rt△AEC中,AE2+EC2=AC2,即

+

(x2+20)=102,∵x>0,∴x1=2

,x2=4

,∵AB>AE,∴x=4

,∴AB=4

,AE=

,BF=12,∴S△ABC=

BF·AC=60,∵