沪科版初中九年级数学上册21-2二次函数的图象和性质第四课时二次函数y-ax2+bx+c的图象和性质课件

第21章二次函数与反比例函数21.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质21.2二次函数的图象和性质基础过关全练知识点5二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.(一题多解)(2024安徽安庆宿松期中)若抛物线y=x2+bx+c经

过A(-2,6),B(8,6)两点,则抛物线的对称轴为

(

)A.直线x=5B.直线x=3C.直线x=1D.直线x=-1B解析解法一:∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-2,6),B(8,6)两点,

∴这两点关于抛物线的对称轴对称,∴抛物线的对称轴为直

线x=

=3,故选B.解法二:将(-2,6)、(8,6)代入函数表达式y=x2+bx+c,得

解得

所以函数表达式为y=x2-6x-10=(x-3)2-19,所以对称轴为直线x=3,故选B.方法归纳抛物线对称轴的确定当抛物线上两点的纵坐标相等时,如(x1,b),(x2,b),则该抛物线

的对称轴为直线x=

.2.(教材变式·P21T4)(2024安徽阜阳界首期中)将抛物线y=-2x2-4x先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是

(

)A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2-1

D.y=-2(x-1)2+1C解析∵y=-2x2-4x=-2(x2+2x+1-1)=-2(x+1)2+2,∴将抛物线y=

-2x2-4x先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物

线的解析式是y=-2(x-2+1)2+2-3,即y=-2(x-1)2-1.故选C.3.(2024安徽合肥四十八中期中)点(m,n)在二次函数y=-x2+3

的图象上,则m+n的最大值是(M9121002)(

)A.3B.2

C.

D.

C解析将(m,n)代入y=-x2+3,得n=-m2+3,∴m+n=-m2+m+3=-

+

,∵-1<0,∴m=

时,m+n的最大值为

,故选C.4.(配方法)(2023山东泰安中考)二次函数y=-x2-3x+4的最大值

是

.

解析y=-x2-3x+4=-

+

.∵a=-1<0,∴当x=-

时,y取得最大值,最大值为

.5.(新考向·开放性试题)(2023上海中考)一个二次函数y=ax2+

bx+c图象的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是

上升的,那么这个二次函数的表达式可以是

.(写出一个即可)y=-x2+1解析由题意得b=0,a<0,c>0,∴这个二次函数的表达式可以

是y=-x2+1.答案不唯一.6.(新独家原创)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=b2x2+2b2x+

c上,且x1<x2<-1,则(y1-y2)·(x1-x2)

0.(填“>”“<”或

“=”)(M9121002)<解析抛物线y=b2x2+2b2x+c的对称轴为直线x=-

=-1.因为b2>0,所以图象开口向上,由x1<x2<-1,得y1>y2,∴x1-x2<0,y1-y2>0,

∴(y1-y2)(x1-x2)<0.7.(新考向·开放性试题)(2024河南信阳平桥月考)我们知道研

究函数问题,一般先观察函数解析式,然后画出函数图象,再

通过观察函数图象总结函数的性质,最后利用函数模型解决

实际问题.已知二次函数y=

x2-6x+21,按照要求回答问题.(M9121002)(1)画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线,请按照以上

步骤在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象;x…024681012…y…

…(2)请观察你所画的函数图象,写出3条该函数的性质;(3)请你针对该函数再设计一个问题,并解答...

解析

(1)列表:x…024681012…y…21115351121…描点、连线,画出函数图象如图.

(2)①该函数图象开口方向向上;②顶点坐标是(6,3);③当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大.答案不唯一.(3)答案不唯一,如求当0<x≤8时,y的取值范围.解:由图象可知,当0<x≤8时,3≤y<21.知识点6二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系8.(2023贵州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,

则点P(a,b)所在的象限是(M9121002)(

)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D解析∵二次函数图象的开口向上,对称轴在y轴的右侧,

∴a>0,x=-

>0,∴b<0,∴P(a,b)在第四象限.故选D.9.(2023安徽蚌埠怀远期末)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象

与y轴正半轴相交,其顶点坐标为

,下列结论:①abc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的有

个.

3解析①∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴正半轴相

交,∴c>0,∵对称轴在y轴的右侧,∴b>0,∴abc<0,故①正确;②

∵抛物线的对称轴为x=

,∴x=-

=

,∴a+b=0,故②正确;③∵抛物线顶点的纵坐标为1,∴

=1,∴4ac-b2=4a,故③正确;④∵a+b=0,c>0,∴a+b+c>0,故④错误.故正确的是①②③.10.(2024安徽六安霍邱月考,6, )若抛物线y=x2-mx+m+3(m是常数)的顶点在x轴上,则m的值为

(

)A.-2B.6C.-2或6D.-6或2能力提升全练C解析抛物线y=x2-mx+m+3的顶点的纵坐标为

,∵顶点在x轴上,∴纵坐标为0,∴4(m+3)-m2=0,解得m=-2或m=6,故选C.11.(易错题)(2023四川乐山中考,9, )如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)、B(m,0),且1<m<2,有下列结论:①b<0;②a+b>0;③0<a<-c;④若点C

,D

在抛物线上,则y1>y2.其中,正确的结论有(M9121002)(

)B

A.4个B.3个C.2个

D.1个解析∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线的对称轴在y轴的

右侧,∴b<0,故①正确.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<

0.∵抛物线经过点A(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=b-a.∵当x=2时,y>

0,∴4a+2b+c>0,∴4a+2b+b-a>0,∴3a+3b>0,∴a+b>0,故②正

确.∵a-b+c=0,∴a+c=b.∵b<0,∴a+c<0,∴0<a<c,故③正确.∵

A(-1,0),B(m,0)且1<m<2,∴点C

到对称轴的距离比点D

到对称轴的距离近,∴y1<y2,故④错误.故选B.12.(新考法)(2023黑龙江牡丹江中考改编,18, )将抛物线y=x2+6x+9向下平移1个单位长度,再向右平移

个单

位长度后,得到的新抛物线经过原点.2或4解析本题将常规的求平移后的抛物线的表达式的问题,改

成平移后的抛物线过原点,求平移单位的问题,较新颖.抛物

线y=x2+6x+9=(x+3)2向下平移1个单位长度后,得到的抛物线

的表达式为y=(x+3)2-1.设抛物线向右平移h个单位长度后,得

到的新抛物线经过原点,则新抛物线的表达式为y=(x+3-h)2-

1.∵新抛物线经过原点,∴当x=0时,y=0,∴(3-h)2-1=0,解得h=2

或4.13.(安徽常考·双空题)(2021安徽中考改编,14, )设抛物线y=x2+(a+1)x+a,其中a为实数.(M9121002)(1)若抛物线经过点(-1,m),则m=

;(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位,所得抛物线顶

点的纵坐标的最大值是

.02解析

(1)将点(-1,m)代入抛物线表达式y=x2+(a+1)x+a,得(-1)2+(a+1)×(-1)+a=m,解得m=0.(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位可得抛物线y=x2

+(a+1)x+a+2,∴y=

-

(a-1)2+2,∴设抛物线顶点的纵坐标n=-

(a-1)2+2,∵-

<0,∴n的最大值为2.14.(2023山东东营中考改编,25, )如图,抛物线y=ax2+bx+c过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.(M9121002)(1)求抛物线的表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.解析

(1)当t=2时,BC=4,∴C点的坐标为(2,-4),由题意得,将(0,0),(10,0),(2,-4)代入y=ax2+bx+c,得

解得

∴抛物线的表达式为y=

x2-

x.(2)∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB,DA⊥x轴,CB⊥x轴,由

抛物线的对称性得AE=OB=t,∴AB=10-2t.当x=t时,点C的纵坐标为

t2-

t,∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2·

=-

t2+t+20=-

(t-1)2+

,∵-

<0,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为

.(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接

PQ,∵t=2,∴B(2,0),∴A(8,0).∵BC=4,∴C(2,-4).∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P.由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,∴PQ=CH,∵四边形ABCD是矩形,∴点P是AC的中点.∴P(5,-2),∴PQ=

OA,∵OA=8,∴CH=PQ=

OA=4,∴抛物线向右平移的距离是4个单位.

15.(新考向·新定义试题)已知关于x的函数y,当t≤x≤t+1时,

函数y的最大值为P,最小值为Q,令函数g=

,则称函数g为函数y的“关联函数”.(1)若y=x+1,t=0,求函数y的“关联函数”g的值;(2)若y=x2-2x+k.①当k=1,t≤0时,求函数y的“关联函数”g的最小值;②当函数y的“关联函数”g的值为

时,求t的值.素养探究全练解析

(1)∵y=x+1,t=0,∴当0≤x≤1时,P=1+1=2,Q=0+1=1,∴g=

=

.(2)①当k=1时,y=x2-2x+1=(x-1)2,当x>1时,y随x的增大而增大,当x≤1时,y随x的增大而减小,∵t≤0,∴t+1≤1,∴当x=t+1时,Q=(t+1-1)2=t2,当x=t时,P=(t-1)2,∴g=

=

=

=-t+

,∵t≤0,∴当t=0时,g有最小值,为

,∴函数y的“关联函数”g的最小值是

.②y=x2-2x+k=(x-1)2+k-1,∴对称轴是直线x=1,分三种情况:i.当t+1≤1,即t≤0时,y随x的增大而减小,在t≤x≤t+1中,P=t2-2t+k,Q=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,∴g=

=

=

,解得t=

(舍);ii.当t≥1时,y随x的增大而增大,在t≤x≤t+1中,Q=t2-2t+k,P=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,∴g=

=

=

,解得t=

(舍);iii.当t<1<t+1,即0<t<1时,Q=k-1,当x=t时,y=t2-2t+k,当x=t+1时,y=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,若t2+k-1>t2-2t+k,则t>

,P=t2+k-1,∴

<t<1,∴g=

=

=

,解得t=

(负值舍去);若t2+k-1<t2-2t+k,则t<

,P=t2-2t+k,∴0<t<

,∴g=

=

=

,解得t1=1+

(舍),t2=1-

.综上所述,t的值是

或1-

.专题解读方法一:分别判断两个函数表达式中所有参数的取

值范围,同一参数的取值范围相同,为正确选项.方法二:先由

一个函数图象确定参数的取值范围,进而判断另一个函数图

象的位置.1.(2024安徽合肥庐江期中)函数y=kx+k和函数y=-kx2+4x+4

(k是常数,且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是

(

)微专题在同一平面直角坐标系中判断函数图象A

A

B

C

D解析当k>0时,函数y=kx+k的图象过第一、二、三象限,函

数y=-kx2+4x+4的图象开口向下,∴B不符合题意.当k<0时,函

数y=