专题04 二次函数实际应用（解析版）（人教版）

专题04二次函数实际应用的四种考法例．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=(售价－成本)×月销量，三者有如下数据：售价x（元/件）40月销量y（件）月销售总利润W（元）4800(1)试求y关于x的函数关系式(x的取值范围不必写出(2)玩具的成本为______元，当玩具售价x=______元时，月销售总利润有最大值______元；(3)由于原材料下降，从本月起，该玩具成本下降m元/件(0<m<10)，且物价局规定该玩具售价最高不得超过55元/件．若月销量y与售价x仍满足（1）中的关系，预计本月总利润W最高为5400元，请你求出m的值.【答案】(1)y=-3x+300【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；（2）根据销售利润的关系式求解即可；（3）根据题意列出二次函数，在根据二次函数的性质求解即可；【详解】（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，则，解得∴y关于x的函数解析式为y=-3x+300；（2）设成本为n元，由题意可得:(30-n)×210=2100，解得n=20（元则W=(x-20)y=(x-20)(-3x+300)=-3x2+360x-6000∵-3<0，则W有最大值，（3）由题意得W=(-3x+300)(x-20+m)=-3x2+(-3m+360)x-300m-6000，函数图象的对称轴为m+60.由题意得x≤55且-m+60≥55，∴当x=55时，最大利润W=(-3×55+300)(55-20+m)=5400，解得m=5.【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键.【变式训练1】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？(4)若物价部门规定每箱售价不得高于55元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？【答案】(1)y=-3x+240(2)w=-3x2+360x-9600(3)当每箱苹果销售价为60元时，可获得最大利润，为1200元(4)每箱苹果销售价为55元时，可获最大利润【分析】（1）销售价x（元/箱）时，则每天减小3(x-50)箱，根据平均每天销售量等于原平均每天销售数量减去每天减小的箱数，列出平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）根据销售利润=销售量×（售价﹣进价列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）根据二次函数的最值求得最大利润；（4）根据自变量x取值范围和函数增减性可得出答案.【详解】（1）解：根据题意得，售价为x元/箱，则提高了(x-50)元，销售量减少了3(x-50)箱，\y=90-3x-50)=90-3x+150=-3x+240.（2）由（1）得销售量为(-3x+240)箱，x-40-3x+240)=-3x2+240x+120x-9600=-3x2+360x-9600.（3）由（2）知w=-3x2+360x-9600=-3x2-120x+602-602)-9600=-32+3´3600-9600=-3(x-60)2+1200，:当x=60时，w有最大值1200.答：当每箱苹果销售价为60元时，可获得最大利润，为1200元.则抛物线开口向下，对称轴为直线x=60，∴当x<60时，y随x增大而增大，∴当x=55时，w有最大值.答：每箱苹果销售价为55元时，可获最大利润.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值也就是说二次函数的最值不一定在时取得.【变式训练2】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价.(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元.【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是(x-4)元，根据题意列出分式方程，解方程即可；（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：根据二次函数的性质可得出答案.【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是(x-4)元，根据题意可得答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，整理得：w=-100m2+6600m-100800，根据二次函数的性质得出：当m=-=33时，利润最大，答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元.【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键.【变式训练3】某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为10元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示：销售单价x（元/千克）202530销售量y（千克）302520商品B的成本为3元/千克，销售单价为6元/千克，但是每天供货总量只有40千克，且当天都能销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动．即买1千克商品A，免费送1千克商品B.(1)求销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式；(2)设两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元）与x的函数表达式；(3)当商品A销售单价定为多少元时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少总利润=两种商品的销售总额-两种商品的成本）【答案】(1)y=-x+45(3)当商品A的定价为30.5元时，总利润最大，最大利润是330.25元【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式；（2）利用总利润=两种商品的销售总额-两种商品的成本，即可找出w与x之间的函数表达；（3）利用二次函数的性质，即可解决最值问题.【详解】（1）解：设销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式为y=kx+b，解得：∴销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式为y=-x+45；（2）解：根据题意得：w=x(-x+45)-10(-x+45)+640-(-x+45)-3×40，即w=-x2+61x-600；（3）解：∵w=-x2+61x-600，∴w=-(x-30.5)2+330.25，∴当x=30.5时，w取得最大值，最大值为330.25，∴当商品A销售单价定为30.5元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是330.25元.【点睛】本题考查了一次函数以及二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的相关性质.例．如右图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段OA上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是()B.D.【答案】C【分析】分类讨论0≤t<2,2≤t≤4时，S与t之间的函数关系式式即可求解.【详解】解：①当0≤t＜2时，如图所示：可知：S=S△DCE=②当2≤t≤4时，如图所示：此时，S=S△DCE-S△EFG:EG=EF=t-(-t+4)=2t-4显然只有C选项符合题意，故选：C【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S与t之间的函数关系式是解题关键.【变式训练1】如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x(s)时，△APQ的面积是y(cm2)，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是()【答案】A【分析】分别讨论点Q在AD,CD,CB上运动的情况即可求解.【详解】解：①当点Q在AD上运动时，即0≤x≤1：②当点Q在CD上运动时，即1＜x≤3：③当点Q在CB上运动时，即3＜x≤4：综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意，故选：A.【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路.【变式训练2】如图1，在矩形ABCD（AD>AB）中，动点Q从点D出发，沿D→A以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，到达点A后停止运动，动点P从点B出发，沿B→A以与点Q同样的速度做匀速运动，到达点A后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动，设点Q的运动时间为x秒，△CPQ的面积是y，其中y关于x的函数图像如图2所示，则m-n的值是()【答案】C【分析】设AD=a,AB=b，分0≤x≤b和x＞b，结合矩形的性质，表示三角形的面积，构造函数，结合图像，确定m，n的值计算即可.【详解】解：设AD=a,AB=b，根据图像，得当x=0时，y取得最大值5，此时y=ab=5，当x＞b时，P停止运动，故选：C.【点睛】本题考查了数形结合思想，二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值，一次函数的性质是解题的关键.长度/秒的速度运动，当点D与点B重合时，整个运动停止．以AD为一边向上作正方形ADEF，若设运动时间为x秒(0<x≤8)，正方形ADEF与△ABC重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系B.D.【答案】D【分析】根据题目所给条件，分当0≤x≤4时和当4<x≤8时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案.【详解】解；当0≤x≤4时，正方形ADEF与△ABC重合部分的面积为正方形ADEF的面积，∴y=x2，∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；当4<x≤8时，设DE与BC相交于M，EF与BC相交于N，,此时正方形ADEF与△ABC重合部分的面积为正方形ADEF的面积减去三角形EMN的面积，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8，:DM=DB=FN=FC=8-x，:EM=EN=x-(8-x)=2x-8，∴y=S正方形ADEF-S△MNE=x2-2x-8)2=x2-2x2+16x-32=-x2+16x-32，∵-1<0，∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，故选：D.【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向是解题的关键.例．一座拱桥的示意图如图1所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：(1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式.(2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了1米，求此时水面的宽度.(3)【问题3】已知一艘货船的高为2米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？x2+4 (3)1.84米【分析】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为(0,4)，可设抛物线的函数表达式为y=ax2+4，再将B点的坐标(8,0)代入即可求解；（2）根据题（1）的结果，令y=1求出x的两个值，从而可得水面上升1m后的水面宽度；（3）将x=1.6代入，得出y的值，进而减去货船的高度，即可求解.【详解】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴，建立的平面直角坐标系如下：根据所建立的平面直角坐标系可知，B点的坐标为(8,0)，抛物线的顶点坐标为(0,4)因此设抛物线的函数表达式为y=ax2+4，解得：则所求的抛物线的函数表达式为x2+4；∵一艘货船的高为2米，【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键.【变式训练1】如图①,是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC=9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA=3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1.(1)求抛物线的表达式；(2)如图②,为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA,PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；的值总大于等于9．求b的取值范围.(2)点P的坐标为(0,6)【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+k，将C(0,9)，A(3,0)代入即可求解；（3）分0<b≤5和b>5两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解.【详解】（1）解：:抛物线的对称轴与y轴重合，:设抛物线的解析式为y=ax2+k，:OC=9，OA=3，:C(0,9)，A(3,0)，将C(0,9)，A(3,0)代入y=ax2+k，得：2解得:抛物线的解析式为y=一x2+9；（2）解：:抛物线的解析式为y=一x2+9，点B到对称轴的距离是1，:B(1,8)，作点B关于y轴的对称点B’，:当B’，B，A共线时，拉杆PA,PB长度之和最短，l8l8解得，,,:点P的坐标为(0,6)，位置如下图所示：:抛物线开口向下，解得b≥,:≤b≤5；:b>5；:b的取值范围为b≥.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论.【变式训练2】．某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G、M在AD上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/m2．已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本）x2+1(2)每个B型活动板房的成本为3725元【分析】（1）根据题意得出E(0,1),D(2,0)，设该抛物线的函数表达式为y=kx2+1，利用待定系数法求解（2）根据题意得出继而求出矩形FGMN的面积，列式求解即可.【详解】（1）∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m，∴OH=AB=3m，∴OE=EH-OH=4-3=1m，设该抛物线的函数表达式为y=kx2+1，把D(2,0)代入，得0=4k+1，解得∴该抛物线的函数表达式为x2+1；当x=1时，y=-×1+1=所以，每个B型活动板房的成本为3725元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.【变式训练3】随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿CD，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿EF（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，CDⅡEFⅡy轴求这两根竹竿之间的水平距离DF.x+1；米【分析】（1）用待定系数法求出和式关系式即可；（2）结合（1）令y=3，求出x的值，可得D，E的横坐标，即可得到答案.【详解】（1）解：由题意知，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(6,2)，解得，∴y与x之间的函数关系式为x+1；（2）解：由题意知，点C、D的纵坐标均为3，解得x=3或x=4，∴这两根竹竿之间的水平距离DF为1米.【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式.例．小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为(0,1)的点P处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线I，其最高点的坐标为(4,5)．弹跳球落到倾斜角为45。的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线Ⅱ,且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线Ⅰ的.(1)求抛物线I的解析式；(2)若斜面被坐标平面截得的截图与x轴的交点M的坐标为(7,0)，求抛物线Ⅱ的对称轴.x2+2x+1【分析】（1）设抛物线I的解析式为y=a(x-h1)2+k1(a≠0)，由题意得，该抛物线的顶点坐标是(4,5)，抛物线经过点P(0,1)，待定系数法求解析式即可求解.（2）由题意，设MN解析式为y=x+b，将点(7,0)代入，得出解析式为y=x-7，联立抛物线I的解析式得出反弹点的坐标为(8,1)，依题意，设抛物线II的解析式为2+2，将代入抛物线Ⅱ的解析式，即可求解.【详解】（1）解：设抛物线I的解析式为y=a(x-h1)2+k1(a≠0).由题意得，该抛物线的顶点坐标是(4,5)，:y=a(x-4)2+5(a≠0).:该抛物线经过点P(0,1)，:1=a(0-4)2+5解之，得a=-（2）由题意，设MN解析式为y=x+b，将点(7,0)代入，0=7+b，解得：b=-7,∴y=x-7解之，得x1=-4(舍去)，x2=8:反弹点的坐标为(8,1).由题意，设抛物线II的解析式为将(8,1)代入抛物线Ⅱ的解析式，得h=10(舍去)或h=6即抛物线Ⅱ的对称轴为直线x=6【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键.【变式训练1】2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4,12)，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，(1)点A的坐标；(2)该抛物线的函数表达式；(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长.【答案】(1)(0,4)米【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论.【详解】（1）解：:OA=4米，且点A在y轴正半轴，:A(0,4).（2）:抛物线最高点B的坐标为(4,12)，:设抛物线的解析式为：y=a(x-4)2+12，2+12=4，解得a=-.:抛物线的解析式为：y=-2+12.在Rt△CDE中CD=2.5米，:CE=1.5米，DE=2米．:点D的纵坐标为-1.5，令2+12=-1.5，解得，x=4+3，:D在对称轴右侧，:D(4+3·3，-1.5)．:OC=4+3·3-2=(2+3·3)米， :OC的长约为(2+33)米.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键.【变式训练2】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.(1)求点P的坐标和a的值.(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.【答案】(1)P(0,2.8)，a=-0.4，(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近【分析】（1）在一次函数上y=-0.4x+2.8，令x=0，可求得P(0,2.8)，再代入y=a(x-1)2+3.2即可求得a（2）由题意可知OC=5m，令y=0，分别求得-0.4x+2.8=0，-0.4(x-1)2+3.2=0，即可求得落地点到O点的距离，即可判断谁更近.【详解】（1）解：在一次函数y=-0.4x+2.8，∴P(0,2.8)，将P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2中，可得：a+3.2=2.8，解得：a=-0.4；选择扣球，则令y=0，即：-0.4x+2.8=0，解得：x=7，即：落地点距离点O距离为7m，∴落地点到C点的距离为7-5=2m，选择吊球，则令y=0，即：-0.4(x-1)2+3.2=0，解得：x=±2+1（负值舍去即：落地点距离点O距离为(2+1)m，∴落地点到C点的距离为5-(2-1)=(4-2∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键.【变式训练3】实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m实心球距出手点的水平距离为x（m如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式.(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分.(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.08(x-5)2+3.8．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“＞ℽℼ<ℽℼ=ℽ).【答案】(1)y=-0.1(x-4)2+3.4；(2)不能得满分；(3)<【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+3.4，将(0,1.8)代入解得a即可；（2）令-0.1(x-4)2+3.4=0，解得x，与12.4m比较即可；（3）令-0.08(x-5)2+3.8=0，解得x，根据（2）所得即可比较d1与d2.【详解】（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为(4,3.4)，设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+3.4，将(0,1.8)代入y=a(x-4)2+3.4，得16a+3.4=1.8，解得a=-0.1.∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为y=-0.1(x-4)2+3.4；令-0.12+3.4=0，解得x=4+负值已舍去∴实心球出手点与着陆点的水平距离为∴小军第一次投掷实心球不能得满分.（3）∵-0.08(x-5)2+3.8=0，<d2．故答案为：<.【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.【变式训练4】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：s/m…921……4.854.8…(1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，s=______m；(2)求h关于s的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功，已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度.【答案】(1)30【分析】（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入(12,4.8)可求出参数，由此可解答；（3）根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的s，再代入求出h，比较即可.【详解】（1）解：由表格可知，s=9时和s=21时，h相等，s=12时，s=18时，h相等，抛物线关于s=15对称，当s=0时，h=0，:s=30时，h=0，故答案为：30.（2）由（1）知，抛物线关于s=15对称，设h=a(s-15)2+5，把(12,4.8)代入上述解析式，+5=4.8，解得a=-（3）若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为v◆m/s，且ts时，足球位于守门员正上方，则有15t=28-，解得t=代入上述解析式可得，h=-=1.8，解得或v=85.:此过程守门员的最小速度为m/s.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义.1．如图①,在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC=x，PE+PB=y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为则正方形ABCD的边长为() 【分析】如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，即ED=2·5，即可求解.【详解】解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，根据点的对称性，PB=PD，则y=PE+PB=PD+PE=DE为最小，故ED=2，设正方形的边长为a，则AE=，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2，解得：a=4（负值已舍去故选：C.【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键.2．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为()A．200(1+x)2=1000C．200(1+x)3=1000D．200+200(1+x)+20【答案】D【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×(1+增长率)=三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000，把相应数值代入即可求解.【详解】解：二月份的营业额为200×(1+x)，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，为200×(1+x)×(1+x)，则列出的方程是200+200(1+x)+200(1+x)2=1000.故选D.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和.3．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程()A．43903.89(1+x)=53109.85B．43903.89(1+x)2=53109.85【答案】B【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解.【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.4．为满足市场需求，某超市在2023年元旦来临前夕，购进一种品牌礼盒，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，物价管理部门限定：这种礼盒的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售礼盒多少盒？【答案】(1)y=-20x+1600(2)当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元(3)440盒【分析】（1）根据题意即可求解；（2）根据利润=销售量×(售价-进价)即可求解；（3）根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）解：由题意得：y=700-20(x-45)=-20x+1600（2）解：P=(x-40)(-20x+1600)=-20(x-60)2+8000x≥45,-20＜0:x=60时，Pmax=8000即：当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P最大，最大利润是8000元.（3）解：令-20(x-60)2+8000=6000抛物线P=-20(x-60)2+8000开口向下∴当50≤x≤70时，每天获得的利润不低于6000元∴当50≤x≤58时，每天获得的利润不低于6000元在y=-20x+1600中，-20＜0∴y随x的增大而减小故当x=58时，ymin=-20×58+1600=440即超市每天至少销售粽440盒.【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用．根据题意建立函数模型是解题关键.5．某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞L1与两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放