专题02 一元二次方程实际应用（原卷版）（人教版）

专题02一元二次方程实际应用的四种考法应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为()【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为m分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了80%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为()A．m(1-x)2=80%mB．m(1+x)2=80%mC．m(1-x)2=20%mD．20%(1+x)2m=m【变式训练2】某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则根据题意可列出方程为()A．500(1+x)2=1820B．500+500(1+x)+500(1+x)2=1820【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加44%，这两年平均每年绿化面积的增长率为()例1.某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元.(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？例2.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包.(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元?【变式训练1】第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件.(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润.例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.(2)2022年老旧小区改造的平均费用约为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大应该增加几条生产线？【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽数比乙组2天加工的粽数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单.(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽？【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万.(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米.(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a-12)万元．求a的值.例．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0,2)、C(6,0)作矩形OABC，上AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒.(1)填空：OP=，OQ=（用含t的代数式表示）(2)设△OPQ的面积为S1，△BQC的面积为S2，当t为何值时，S1+S2的值为30.(3)求当t为何值时，△PQB为直角三角形.【变式训练1】等边△ABC，边长为6cm，点P从点C出发以1cm/s向点B运动，同时点Q以2cm/s向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，(1)求当△PBQ为直角三角形时的时间t；(2)△PBQ的面积能否为43，若存在求时间t，若不存在请说明理由.从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线CB的方向以每秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？【变式训练3】如图，在△ABC中，ÐB=90°,AB=6cm，BC=8cm点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒.(1)填空：BQ=______cm，PB=______cm；(用含t的代数式表示)；(2)当t为几秒时，PQ的长度等于4·2；(3)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由.1.如图1，在矩形ABCD中，AD<AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A-B-C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A-D-C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点(3,m),(n,m)，则n的值为.2．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元／件）3025销售价（元／件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？3．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘全部售完，店主共获利960元.(1)求樱桃的进价是每千克多少元？(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？4．某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6月份该旅行社“跟团游”的销售额为60万元，“定制游”的销售额为20万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费用少0.1万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4倍，订单按一人一单计算.(1)求“定制游”的单数为多少？(2)由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别比上月对应订单数多3a%和a%，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多a%和2a%，这样预计7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的7a%还多40万元，且a>50，求a的值.5．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A点平均每人采样720份，B点平均每人采样700份.(1)求A、B两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B点抽调部分医护人员到A点经调查发现，B点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B点抽调了多少名医护人员到A点？6．2