第06讲 实际问题与一元二次方程-2024年新九年级数学暑假提升讲义（人教版 学习新知）

第06讲实际问题与一元二次方程（2个知识点+8个考点+易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.会分析实际问题中蕴含的数量关系,找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题,并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答2.经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用3.体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识知识点1：列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法题型1：增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)题型2：面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.题型3：数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.题型4：利润（销售）问题利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数题型6：传播问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环

．传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．考点1：增长率问题【例1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？【变式1-1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）为了让学生养成热爱读书的习惯，陕西某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2021年该学校用于购买图书的费用为3000元，2023年用于购买图书的费用是3630元，求该校用于买书的资金的年平均增长率.【变式1-2】（2024·河南南阳·模拟预测）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底，全市用户数累计达到8.72万户．(1)求全市用户数的年平均增长率．(2)按照这个增长率，预计2023年底全市用户数累计达到多少万户？【变式1-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求该种植户每年投资的增长率；(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材．考点2：面积问题【例2】如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？【变式2-1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为．(1)填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；(2)当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？【变式2-2】．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．

(1)养鸡场面积__________（用含x的代数式表示）；(2)当鸡场面积为时，求边的长；(3)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．【变式2-3】．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域．

(1)求正方形区域的边长；(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积，求小道的宽度．考点3：数字问题【例3】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【变式3-1】（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？【变式3-2】（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．【变式3-3】．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．考点4：利润（销售）问题【例4】（23-24九年级上·云南楚雄·期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/，销售价格不高于14元/，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格x（元/）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数解析式．(2)当猕猴桃的销售价格定为多少元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？【变式4-1】．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．【变式4-2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）第届亚运会于月日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？【变式4-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）某水果店以每千克2元的价格购进某种水果，然后以每千克4元的价格出售，每天可销售100千克．经市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为了保证每天至少售出260千克该种水果，水果店店主决定降价销售．(1)若将该种水果每千克的售价降价x元，则每天的销售量是千克（用含x的代数式表示）；(2)若销售这种水果要想每天盈利300元，则应将每千克的售价降低多少元？考点5：传播问题【例5】（23-24九年级上·天津·阶段练习）某校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都进行一场比赛），共要比赛45场．求有多少个队参加比赛？【变式5-1】．（23-24九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛．(1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛?(2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．【变式5-2】．（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？【变式5-3】．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？考点6：行程问题【例6】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）【变式6-1】.（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）(1)当时，求关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【变式6-2】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【变式6-3】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．考点7：动态几何问题【例7】（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在直角中，，，，现有动点从点出发，沿射线运动，速度为，动点从点A出发，沿线段运动，速度为，到点时停止运动，它们同时出发，设运动时间为秒.

(1)当时，求的面积.(2)多少秒时，的面积为？【变式7-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．（1）当秒时，线段__．（2）当__秒时，的面积是24．【变式7-2】．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．(1)运动几秒时，点P，Q相距？(2)的面积能等于吗？为什么？【变式7-3】．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为．(1)当点落到边上时，求的值；(2)求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值．考点8：规律探究问题【例8】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则(

)．

A．9 B．10 C．11 D．12【变式8-1】．（23-24九年级上·湖南常德·期中）观察思考结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个．【变式8-2】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图是用棋子摆成的图案

根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图形中有__________颗棋子，第个图形中有__________颗棋子；(2)请求出第几个图形中棋子是274颗．【变式8-3】（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．(1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛；(2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种；(3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．易错点1：建立方程模型时，分类讨论不全面导致错误【例9】.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后．

（1）求出△PBQ的面积；

（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值；

（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．AABCDPQ易错点2：忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求【例10】如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度.一、单选题1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（

）A．25 B．36 C．25或36 D．或2．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（

）A． B．C． D．4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（

）A． B．C． D．5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（

）A． B． C． D．6．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是(

)A． B．或 C． D．或二、填空题7．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），另三边用80m长的篱笆围一个面积为的矩形场地，则矩形的长是，宽是．8．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程．9．（23-24九年级上·江西上饶·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是．三、解答题10．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．(1)求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；(2)经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）等腰直角中，，动点从点出发，沿向移动．过点作平行于的直线与分别交于．当的面积等于时，求的长．12．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．

第06讲实际问题与一元二次方程（2个知识点+8个考点+易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.会分析实际问题中蕴含的数量关系,找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题,并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答2.经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用3.体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识知识点1：列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法题型1：增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)题型2：面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.题型3：数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.题型4：利润（销售）问题利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数题型6：传播问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环

．传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．考点1：增长率问题【例1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．设平均每次降价的百分率是，药价从每盒元下调经过两次降价后的价格可表示为元，由此可列方程并求解验证，即得答案．【详解】解：设平均每次降价的百分率是，则，解得，（舍去），答：平均每次降价的百分率是．【变式1-1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）为了让学生养成热爱读书的习惯，陕西某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2021年该学校用于购买图书的费用为3000元，2023年用于购买图书的费用是3630元，求该校用于买书的资金的年平均增长率.【答案】【分析】设年该校用于买书资金的年平均增长率为，根据年买书资金年买书资金建立方程，解方程即可得．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．【详解】解：设年该校用于买书资金的年平均增长率为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：该校用于买书的资金的年平均增长率为．【变式1-2】（2024·河南南阳·模拟预测）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底，全市用户数累计达到8.72万户．(1)求全市用户数的年平均增长率．(2)按照这个增长率，预计2023年底全市用户数累计达到多少万户？【答案】(1)(2)万户【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设全市用户数年平均增长率为，根据该市2020年底用户的数量及计划到2022年底全市用户数累计达到8.72万户，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2023年底全市用户累计数量年底全市用户累计数量加上三年所增长的用户累，即可求出结论．【详解】（1）解：设全市用户数的年平均增长率为x，根据题意得，整理得，解得（不合题意，舍去）答：全市用户数的年平均增长率为；（2）解：（万户）答：预计年底全市用户数累计达到万户．【变式1-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求该种植户每年投资的增长率；(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材．【答案】(1)(2)67.5万元【分析】主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中为共增长了几年，为第一年的原始数据，是增长率．（1）设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为．根据题意2017年种植投资为万元，2018年种植投资为万元．根据题意得方程求解；（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．【详解】（1）解：设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为，则2017年种植投资为万元，2018年种植投资为万元，根题意得：，解得：（舍去）或．该种植户每年投资的增长率为；（2）解：2019年该种植户投资额为：（万元）．答：预测2019年该种植户投资67.5万元种植中药材．考点2：面积问题【例2】如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？【答案】1米【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设道路应修宽，根据花田面积为，建立方程，解方程结合题意取舍的值，即可求解．【详解】解：设道路应修宽，根据题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），答：道路应修宽．【变式2-1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为．(1)填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；(2)当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？【答案】(1)(2)米【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据题意：砌段墙用料为米．（2）设矩形花园的长为米，则其段墙用料为米，依题意列方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意：的长为，因为入口不用砌墙，所以砌段墙用料为米，∴段墙用料为故答案为：．（2）由题意：，，，，∵墙最长可利用，∴，答：面积为时，墙的长为米．【变式2-2】．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．

(1)养鸡场面积__________（用含x的代数式表示）；(2)当鸡场面积为时，求边的长；(3)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．【答案】(1)(2)(3)不能实现，理由见解析【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．（1）先求出的长，根据长方形的面积求解即可；（2）根据鸡场面积为，列一元二次方程并求解，即得答案；（3）根据鸡场面积为，列一元二次方程并求解，即可判断答案．【详解】（1），，；故答案为：．（2）由题意得，解得，，又，舍去，边的长为；（3）不能实现，理由如下：令，化简得，，该方程无实数解，不能实现．【变式2-3】．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域．

(1)求正方形区域的边长；(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积，求小道的宽度．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．【详解】（1）解：设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为，依题意得，，整理得：，∴，解得：（舍去），∴正方形区域的边长为；（2）解：设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形，依题意得，，整理得，，∴，解得：（舍去），∴小道的宽度为．考点3：数字问题【例3】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【解析】设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，当x＝4时12-x＝8；当x＝8时12-x＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．【变式3-1】（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？【答案】(1)(2)这两个正整数分别是4和5【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可；（2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可．【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3，∴较大的数是4，∴它们的平方之和为；（2）设较小的整数是，则较大的整数是，由题可得：，方程可化为：，把方程左边因式分解，得：，解得：，（舍去），答：这两个正整数分别是4和5．【变式3-2】（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．【答案】原来的两位数为26．【分析】设原来的两位数十位上的数字为，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设原来的两位数的十位数字为，，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），，答：原来的两位数为26．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式3-3】．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】4【分析】设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值．【详解】解：设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，根据题意得：，得，解得，(不合题意舍去)，故这个最小数是4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点4：利润（销售）问题【例4】（23-24九年级上·云南楚雄·期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/，销售价格不高于14元/，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格x（元/）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数解析式．(2)当猕猴桃的销售价格定为多少元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？【答案】(1)(2)元/【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用．（1）设与的函数解析式为，根据图中数据，利用待定系数法，即可求出与的函数解析式；（2）利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.【详解】（1）解：设与的函数解析式为，将代入得:，解得：，∴与的函数解析式为；（2）根据题意得：，整理得：，解得：，又∵销售价格不高于元/，∴．答：当销售单价定为元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为元．【变式4-1】．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．【答案】每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．设每个粽子的定价为元时，由于每天的利润为800元，根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可．【详解】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得，解得，，售价不能超过进价的2倍，．即，，答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【变式4-2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）第届亚运会于月日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？【答案】元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件售价应定为元，根据题意，可列得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．【详解】解：设每件售价应定为元，根据题意，得，整理得，，解这个方程，得，，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，不合题意，舍去，∴，答：每件售价应定为元．【变式4-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）某水果店以每千克2元的价格购进某种水果，然后以每千克4元的价格出售，每天可销售100千克．经市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为了保证每天至少售出260千克该种水果，水果店店主决定降价销售．(1)若将该种水果每千克的售价降价x元，则每天的销售量是千克（用含x的代数式表示）；(2)若销售这种水果要想每天盈利300元，则应将每千克的售价降低多少元？【答案】(1)(2)1元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．注意：（1）问审题不清，如没有找到降价的金额和水果销售量之间的关系，导致出错；第（2）问忽视题设中每天至少售出260千克这个限制条件，导致出错．（1）设水果店将每千克的售价降低元，根据每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，列出代数式即可；（2）利用总利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每天至少售出260千克，即可求解．【详解】（1）解：设水果店将每千克的售价降低元，所以每天可售出(千克)．（2）解：根据题意，得，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意．答：水果店需将每千克的售价降低1元．考点5：传播问题【例5】（23-24九年级上·天津·阶段练习）某校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都进行一场比赛），共要比赛45场．求有多少个队参加比赛？【答案】10个队【分析】设这次有个队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数场，依此等量关系列出方程求解即可．【详解】解：设这次有个队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：，解得：，（不合题意舍去），∴这次有10个队参加比赛．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．【变式5-1】．（23-24九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛．(1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛?(2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．【答案】(1)有8支队参加比赛(2)每个正方形的边长为米【分析】本题考查了一元二次方程的应用，算术平方根的意义；（1）设有支队参加比赛，根据采用单循环赛制，共安排了28场比赛列方程求解即可；（2）先求出每个正方形的面积，再根据算术平方根的意义求出每个正方形的边长．【详解】（1）解：设有支队参加比赛，由题意得：，解得：，（舍去），答：有8支队参加比赛；（2）每个正方形的面积是平方米，则每个正方形的边长为米．【变式5-2】．（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算．【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人，列方程得：，解得：，（舍去），答：每轮传染巾平均一个人传染了个人．【变式5-3】．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？【答案】(1)7(2)512【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出；（2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数．【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，或(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）(人．答：第三轮感染后，患流感的共有512人．考点6：行程问题【例6】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少(2)小球滚动约用了秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，答：小球的滚动速度平均每秒减少．（2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为，由题意得：，整理得：，解得：或，当时，，不符题意，舍去，，答：小球滚动约用了秒．【变式6-1】.（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）(1)当时，求关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由见解析【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，，解得，∴关于t的函数关系式为；（2）解：对于球来说，，小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，由小明在4s时第一次追上球可得，，解得，即图中a的值为；（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，，，则，，第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，，第三次踢后，变化规律为，，，则，，第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，，又开始下一个循环，故第四次踢球所需时间为，经过24米，故第五次踢球所需时间为，经过48米，故第六次踢球所需时间为，经过24米，故第七次踢球所需时间为，经过48米，∵，，∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，故答案为：7【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．【变式6-2】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480米(2)70分钟【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，由题意得：，解得：，经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，则，答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：小明从地到地锻炼共用70分钟．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．【变式6-3】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为，依据题意列方程得，，，，经检验，是原式方程的解．．小红的速度为，小明的速度为．故答案为：；．（2）解：小明的速度为，小明从A地道B地需要的时间为：．小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，．设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要时间为：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．考点7：动态几何问题【例7】（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在直角中，，，，现有动点从点出发，沿射线运动，速度为，动点从点A出发，沿线段运动，速度为，到点时停止运动，它们同时出发，设运动时间为秒.

(1)当时，求的面积.(2)多少秒时，的面积为？【答案】(1)(2)或6或7秒时，的面积为【分析】（1）根据题意表示出、直接求解即可得到答案；（2）分，两类讨论列出方程求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，，，∴；（2）解：当时，，解得：，，不符合题意，舍去，当时，，解得：，，综上：或6或7秒时，的面积为；【点睛】本题考查三角形动点问题及一元二次方程的应用，解题的关键化动为静表示出相应的线段结合三角形面积公式求解．【变式7-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．（1）当秒时，线段__．（2）当__秒时，的面积是24．【答案】202或3/3或2【分析】（1）当秒时，根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解．（2）设运动时间为秒，则，，根据的面积是24列出方程，求解即可．【详解】解：（1）∵当秒时，，根据勾股定理得．故答案为：20．（2）设运动时间为秒，此时，，，∵的面积是24，∴，整理得，，解得：，∴当秒或3秒时，的面积是24．故答案为：2或3．【点睛】本题主要考查勾股定理、列代数式、一元二次方程的应用，根据题意找准数量关系，列出方程是解题关键．【变式7-2】．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．(1)运动几秒时，点P，Q相距？(2)的面积能等于吗？为什么？【答案】(1)运动秒或秒时，点P，Q相距(2)的面积不能等于．理由见解析【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用：（1）设运动时间为，则，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；（2）根据三角形面积公式建立方程，看方程是否有解即可得到结论．【详解】（1）解：设运动时间为，则，则．∵在中，，，∴，即：．解得：，．∴运动秒或秒时，点P，Q相距．（2）解：的面积不能等于．理由如下：当的面积等于时，则，∴，即：．∵．∴方程无实数解．∴的面积不能等于．【变式7-3】．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为．(1)当点落到边上时，求的值；(2)求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）当点落到边上时，则点与点重合，从而有，即可求出得值；（）分当时，当时，当时情况讨论即可求解；（）当时（）时，（）时（）时，（），讨论即可求解；此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．【详解】（1）当点落到边上时，则点与点重合，∴，∴；（2）当时，如图，，当时，如图，，当时，如图，，综上可知：；（3）如图，，（）时，即，整理得：，解得：（舍去），，（），即，无解，如图，当，延长交于点，（）时，即，解得：，，以上解均不符合题意，（），即，整理得：，解得：（舍去），，综上可知：或．考点8：规律探究问题【例8】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则(

)．

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可．【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆，第2个图形中一共有个圆，第3个图形中一共有个圆，第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆；可得第n个图形中圆的个数是；，解得（舍），，故选：C．【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程．【变式8-1】．（23-24九年级上·湖南常德·期中）观察思考结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个．【答案】7或10【分析】本题考查了规律探索，一元二次方程的应用，利用枚举法，确定“★”的规律；再确定“◎”的规律，根据题意，列出方程解答即可．【详解】根据题意，得第1个图案中的个数为：1；第2个图案中的个数为：；第3个图案中的个数为：；…，所以第n个图案中的个数为：．第1个图案中的个数为：；第2个图案中的个数为：；第3个图案中的个数为：；…，所以第n个图案中的个数为：．由题知，，解得或，故答案为：7或10．【变式8-2】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图是用棋子摆成的图案

根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图形中有__________颗棋子，第个图形中有__________颗棋子；(2)请求出第几个图形中棋子是274颗．【答案】(1)22，(2)第16个图形中的棋子是274个【分析】（1）观察图形发现图形规律，然后利用规律写出第4个和第个图形的棋子数即可；（2）令，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：观察图形可得：第1个图形有：颗棋子，第2个图形有：颗棋子，第3个图形有：颗棋子，第4个图形有：颗棋子，第个图形有：颗棋子，故答案为：22，；（2）解：令，解得：或（不符合题意，舍去），第16个图形中的棋子是274个．【点睛】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是观察图形得到第个图形有：颗棋子，理解题意，正确得出一元二次方程．【变式8-3】（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．(1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛；(2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种；(3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．【答案】(1)15，(2)30，(3)七，不存在，见详解【分析】本题考查了一元二次方程的应用、判别式的意义、多边形的对角线的条数：（1）结合图中的数学模型，得6支足球队进行单循环比赛，即，根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则，即可作答．（2）中途经过4个车站，共6个站往返行车，再根据以上规律即可得结论．（3）先设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形，根据，解出即可作答．再设存在有33条对角线的凸多边形为边形，根据，解出即可作答．【详解】（1）解：依题意，6支足球队进行单循环比赛，即（场），∵学校有n支足球队进行单循环比赛，∴（场）则该校一共要安排场比赛；（2）解：中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为：（种）．故答案为：30；（3）解：依题意，设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形，得∴则（舍去）∴一个凸多边形共有14条对角线，它是七边形；不存在有33条对角线的凸多边形：设存在有33条对角线的凸多边形为边形，且为正整数，得则∵不是整数，∴不是整数所以不存在33条对角线的凸多边形．易错点1：建立方程模型时，分类讨论不全面导致错误【例9】.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后．

（1）求出△PBQ的面积；

（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值；

（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．AABCDPQ【答案】（1）；（2）或；（3）不存在．【解析】（1）根据题意可得，，则有；令，解得：，；令，方程无解．【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．易错点2：忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求【例10】如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度.【分析】要求盒子的高度也就是求减去的四个角的边长.根据关系式“铁皮总面积—四个正方形角围成矩形的面积=盒子的底面积”列方程.【答案】设盒子的高度为.得到方程：解方程组，得（舍去）所以盒子的高度为10厘米.一、单选题1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（

）A．25 B．36 C．25或36 D．或【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意得：，整理得：，解得：或，当时，，此时这个两位数为，当时，，此时这个两位数为，综上所述，这个两位数为25或36，故选：C．2．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：依题意，得：．故选：C．3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设从前年到今年平均增长率都为x，则去年的产量为千克，则今年的产量为千克，据此列出方程即可．【详解】解：设从前年到今年平均增长率都为x，由题意得，，故选：C．4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，由参赛队伍有支，知每只参赛队伍参加场比赛，根据题意可列出方程，解题关键是熟练掌握单循环制的特点：若参赛队伍有支，则比赛总场数为场，对于双循环制，若参赛队伍有支，则比赛总场数为场．【详解】解：设参赛队伍有支，则每只队伍参加场比赛，根据题意得：，故选：．5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由每一轮传染中平均每人传染了人，可以得到第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，结合已知的总感染人数即可列出一元二次方程，本题考查了根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是：根据题意找出等量关系．【详解】解：有一人患了流感，每一轮传染中平均每人传染了人，第一轮传染中有人被传