七年级上册数学培优讲义（含字母系数和绝对值方程）第七讲

含字母系数和绝对值方程含字母系数和绝对值方程内容基本要求略高要求较高要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系.列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察.画图等手段估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形.进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题版块一.含字母系数方程虽然在中考大纲中.对含字母系数方程并没有作任何要求.但是通过学习含字母系数方程可以帮助学生初步养成分类讨论的基本思想.因此也需要学生进行掌握和理解☞含字母系数方程有关概念当方程中的系数用字母表示时.这样的方程叫做含字母系数的方程.也叫含参数的方程．请说出下列关于的方程中的参数⑴；⑵【解题思路】因为以上方程均是关于的方程.所以是未知数.方程⑴中的参数有..方程⑵中的参数有..【题目答案】略【巩固练习】请说出下列关于的方程中的参数⑴；⑵；⑶【解题思路】略【题目答案】方程⑴中的参数有.方程⑵中的参数有..方程⑶中的参数有..☞分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式.所得结果仍是等式．若.则.．由等式的性质2.我们知道在等式两边同时除以某一个数时.必须确定此数不为0.若在不能确定的情况下.必须进行讨论请问下列关于的方程.再进行系数化为“”时.是否需要进行分类讨论⑴；⑵；⑶；⑷；⑸【解题思路】略【题目答案】⑴不需要；⑵需要；⑶不需要；⑷不需要；⑸需要【巩固练习】已知是有理数.在下面4个命题：①方程的解是．②方程的解是．③方程的解是．④方程的解是．中.结论正确的个数是（）A．B．C．D．【解题思路】略【题目答案】A☞分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式.方程的解由.的取值范围确定．⑴当时..原方程有唯一解；⑵当且时.解是任意数.原方程有无数解；⑶当且时.原方程无解．解关于的方程【解题思路】∵不能明确的值是否为.因此再求解过程中.必须进行分类讨论【题目答案】⑴若.则根据等式的性质②.方程两边同时除以.得.此时方程有唯一解⑵若时.就不能应用等式的基本性质②.根据方程的解的定义我们可以将任意数值代入原方程得左边.右边①如果.则左边右边.此时是方程的解②如果.则左边右边.此时不是是方程的解同理我们可以对取任意数值代入.∴当.时.方程的解为任意解当.时.方程无解【巩固练习】解关于的方程：【解题思路】分类讨论【题目答案】去分母.化简可得：.①当.为任意数时.；②当时..解为任意数；③当.时.方程无解．【巩固练习】解关于的方程：【解题思路】分类讨论【题目答案】方程可以化简为.得到.①当时.；②当时.将代入.得到．与已知矛盾.方程无解．综上所述.当时.；当时.方程无解．☞根据方程解的个数确定参数的数值关于的方程.分别求.为何值时.原方程：⑴有唯一解；⑵有无数多解；⑶无解．【解题思路】略【题目答案】方程可以转化为.⑴当.为任意值时.方程有唯一解；⑵当..方程有无数解；⑶当.时.无解．【巩固练习】已知关于的方程有无数多个解.那么.．【解题思路】略【题目答案】.即.故且.即.．【巩固练习】已知关于的方程无解.试求的值．【解题思路】略【题目答案】由题意得..即时方程无解．☞含字母参数的整数根问题为整数.关于的方程的解为正整数.求的值．【解题思路】整除问题【题目答案】由原方程得：.是正整数.所以只能是6的正约数.它们是1.2.3.6.所以为0.1.2.5．【巩固练习】若关于的方程的解为正整数.则的值为．【解题思路】略【题目答案】可以转化为.即：.为正整数.则8或．已知方程的解为整数.则整数的值为_____________【解题思路】分离常数法【题目答案】整理得：（分离常数法）.∵方程的解.均为整数.∴的值可以为.......∴整数的值为......已知是不为0的整数.并且关于的方程有整数解.则的值共有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．9个【解题思路】由原方程可知.．由于是不为0的整数且为整数.所以1..2..4.．【题目答案】C【巩固练习】已知为正整数.关于的方程的解为整数.求的最小值．【解题思路】略【题目答案】.由于为正整数.为整数.故的最小值为2．☞定解方程若.为定值.关于的一元一次方程.无论为何值时.它的解总是.求和的值．【解题思路】略【题目答案】因为该方程的解为.代入原方程可得到：.即①.又因为原方程的解不论取何值时都是.这说明方程①有无数多个解.即且.所以.．【巩固练习】如果.为定值.关于的方程.无论为何值.它的根总是.求.的值．【解题思路】略【题目答案】无论为何值为恒等式...即且.故.．☞同解方程若和是关于的同解方程.则的值是．【解题思路】略【题目答案】方程等号两边乘以得.故.则．已知关于的方程.和方程有相同的解.求这个相同的解．【解题思路】略【题目答案】由方程得到.由方程得到.所以.得到.代入得到．【巩固练习】已知关于的方程和方程有相同的解.求出方程的解．【解题思路】略【题目答案】把当常数.方程的解为.方程的解为.故.解得.所以．版块二.绝对值方程知识回顾：我们知道.化简绝对值时.必须要先明确的正负性.当的正负性不能明确的时候.必须要进行讨论.即解绝对值方程的基本思想就是去绝对值.而去绝对值的基本思想就是分类讨论.基本方法就是“零点分段法”.☞零点分段法零点分段法的基本步骤：①找绝对值零点②零点分段讨论③分段求解方程④检验方程的解为．【解题思路】零点分段法【题目答案】方程可化简为令.则当时.方程可化为.解得.检验符合∴当时.方程可化为.解得.检验符合∴综上所述.或【巩固练习】解方程【解题思路】零点分段法【题目答案】令.则当时.原方程可化简为：.检验符合.是方程的解．当时.原方程可化简为：.检验符合.是方程的解．综上所述和是方程的解．【巩固练习】解方程【解题思路】零点分段法【题目答案】令.则当.原方程化为.解得检验符合.是原方程的解当.原方程化为.解得检验不符合.不是原方程的解.舍去综上所述.是原方程的解解方程【解题思路】零点分段法【题目答案】令..则.当时.原方程可化简为：.检验符合.是原方程的解；当时.原方程可化简为：.此方程无解；当时.原方程可化简为：.检验符合.则是原方程的解；综上所述.原方程的解为：或．【巩固练习】解方程【解题思路】零点分段法【题目答案】令..则.当时.原方程化为.检验符合.∴是原方程的解当时.原方程化为.检验符合.∴是原方程的解当时.原方程化为.检验不符合.∴不是原方程的解综上所述.或是原方程的解☞绝对值的几何意义“零点分段法”是解决绝对值方程的基本方法.但有的时候采用“零点分段法”的过程非常繁琐和复杂.所以有些类型的绝对值方程.我们可以采用“绝对值的几何意义”来求解方程【解题思路】我们知道代表的含义是数轴上代表“”的点到原点的距离.而到原点距离等于1的点有两个.分别位于原点两侧.“”“”.∴【题目答案】【巩固练习】解方程：【解题思路】若将做为整体.根据绝对值的意义.原方程可化为或者.解得或（若将作为整体.则可理解为“”到“”的距离等于的点是多少）推荐第一种理解方式【题目答案】或【巩固练习】解方程【解题思路】原方程整理得：.即或者.所以原方程的解为或【题目答案】或解方程【解题思路】绝对值的几何意义【题目答案】设“”“”“”在数轴上分别用..来表示.则原方程可化为①如图,当点在点左侧时.设..则原方程可化为解得.∴②如图.当点在线段上时.由矛盾.③如图.当点在点右侧时.设..则原方程可变形为.解得.∴综上所述.原方程的解为或【巩固练习】解方程【解题思路】绝对值的几何意义【题目答案】设“”“”“”在数轴上分别用“”“”“”来表示.由题意得.原方程可变形如图.当点在点左侧时.设..则原方程可变形为.解得.与题意不符合如图.当点在线段上时（包含端点）..符合题意.∴如图.当点在点右侧时.设..则原方程可变形为.解得.与题意不符合综上所诉.原方程的解集为☞“隐含条件”（绝对值的非负性）形如型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知.求出的取值范围；②若的取值范围能够确定的正.负情况.则直接去掉绝对值③若的取值范围不能确定的正.负情况.则将原方程化为两个方程和；④分别解方程和；⑤将求得的解代入检验.舍去不合条件的解．解方程【解题思路】略【题目答案】依据绝对值的非负性可知.则.那么容易得到∴原方程可变形为.解得.检验不符合.舍∴原方程无解【巩固练习】解方程【解题思路】略【题目答案】依据绝对值的非负性可知.即．原绝对值方程可以转化为①.解得.经检验符合题意．②.解得.经检验符合题意．综上所述.和是方程的解．【巩固练习】解方程【解题思路】略【题目答案】易知.则由.得或.所以或．经检验知方程左右两边不等.故舍去．从而原方程的解为．课堂检测课堂检测解方程：【解题思路】略【题目答案】令与.则和若.则原方程可化为.解得.检验不符合