2023-2024学年江苏省苏州市高二下学期4月期中调研数学试题（解析版）

江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．展开式中的系数为（

）A．504 B．84 C． D．【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项公式，通过赋值法即可求得结果.【详解】对，其展开式的通项公式，令，故的系数为.故选：C.2．已知是函数的极值点，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．无数多个【答案】B【分析】求出函数的导数，计算，求出的值即可.【详解】，由是函数的极值点，则，即，解得.经检验，符合题意.故选：B.3．一只蚂蚁从点出发沿着水平面的网格线爬行到点，再由点沿着长方体的棱爬行至顶点处，则它可以爬行的不同最短路径条数有（

）A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【分析】先求到的最短路径条数，再求到处的最短路径条数，由分步计数原理求爬行的不同最短路径条数.【详解】从出发沿着水平面的网格线爬行到，需要走五段路，其中三纵二横，最短路径有条，由点沿着长方体的棱爬行至顶点处，点处出发有3条路径，爬过一条棱后又各有2条最短路径到处，最短路径有条，所以从到可以爬行的不同最短路径条数有条.故选：B.4．若随机变量满足，其中为常数，则（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】根据题意，求得，结合方差的公式，即可求解.【详解】因为随机变量满足，其中为常数，所以，所以.故选：A.5．如图，圆与直角三角形的两直角边相切，射线绕点由逆时针匀速旋转到的过程中，所扫过的圆内阴影部分而积关于时间的函数的大致图象为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察得出阴影部分面积的变换规律，结合瞬时变化率与曲线的陡峭程度的关系即可选出答案．【详解】当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦较长，S的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡峭，曲线就较陡峭.所以曲线开始由平缓变陡；到过程进行到一半时，截得的弦最大，曲线最陡峭；以后弦又渐渐变短，曲线由陡变平缓，4个图中只有D具有上述特点.故选：D.6．甲､乙两人进行围棋比赛，若其中一人连续赢两局，则比赛结束.已知每局比赛结果相互独立，且每局甲胜的概率为0.6(没有平局)，若比赛在第三局结束，则甲获胜的概率为（

）A．0.6 B．0.4 C．0.36 D．0.144【答案】A【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.【详解】“比赛在第三局结束”记为事件，“甲获胜”记为事件，则.故选：A7．记，，则（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，观察其规律，确定，由此可得结论.【详解】因为，所以，，，，，，，，，观察可得，所以，所以，故选：C.8．将1，2，3…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出符合条件的排法数，再由古典概型的概率公式求解即可.【详解】先排四个角上的偶数，可以排2,4,6,8，有种结果，再排其他四个空位，有种结果，所以基本事件总数为.若每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15，则先排左上角的数字，有种结果，假设左上角的数字排2，右下角只能排8，右上角可排4或者6，当右上角排4时，左下角只能是6；当右上角排6时，左下角只能是4，当四个角确定，其余位置的数字就确定，所以共有种结果，所以每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为.故选：C.二、多选题9．已知下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据排列数和组合数的计算公式，结合特殊值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：取，则，，显然，故A错误；对B：，故B正确；对C：，，，故C正确；对D：，故D正确；故选：BCD.10．函数定义域为，下列命题正确的是（

）A．对于任意正实数，函数在上是单调递减函数B．对于任意负实数，函数存在最小值C．存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立D．存在负实数，使得函数在上有两个零点【答案】BD【分析】求函数的导函数，判断导函数在时的正负，确定函数的单调性，判断A，在时，确定方程的解，并判断函数在解的两侧的单调性，由此确定函数的最值，判断B，结合函数的单调性及零点存在性定理判断D，在时，结合图象确定的零点，由此判断C.【详解】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，故A错误；对于，设，，则，所以在上单调递增，所以在上单调递增，当时，，所以存在，使，所以当时，，在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故B正确；因为当时，函数存在最小值，且，所以，当时，，此时，所以存在，使，当时，，当时，，此时函数在上有两个零点，故D正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故C错误；故选：BD.11．已知，且存在正整数，满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．展开式中所有项系数和为126D．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项【答案】AC【分析】先对等式两边求导，利用赋值法令，再利用错位相减法求和，进而求出的值可判断A；利用赋值法和可判断B和C；根据可知展开式共有7项，得到二项式系数最大的项为第四项，可判断D.【详解】，对上式两边同时求导得，令，有，令①，则，所以②，①-②得，解得，故A正确；对于B和C，，令，得，令，得，，故B错误，C正确；对于D，的展开式共7项，二项式系数为，最大的二项式系数为，所以二项式系数最大的项为第四项，故D错误.故选：AC.三、填空题12．用含的式子表示：．【答案】【分析】由排列数公式求解即可.【详解】因为，，所以.故答案为：.13．若则【答案】27【分析】由题意可得，可得•（﹣1）4，计算求得结果．【详解】,•（﹣1）4＝﹣8+35=27，故答案为27．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式的通项公式及展开式中某项的系数问题，属于基础题．14．已知函数的导函数为，点为函数上任意一点，则在点处函数的切线的一般式方程为，该切线在轴上截距之和的极大值为．【答案】【分析】根据题意，求得，利用导数的几何意义，求得切线方程，再求得坐标轴上的截距，得到，求得，得到函数的单调区间，进而求得极大值.【详解】由函数，可得，所以，解得，所以，则，所以在点处的切线方程为，即，令，可得；令，可得，设，可得，令，即，解得，当或时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，函数取得极大值，极大值为.故答案为：；.四、解答题15．在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于.(1)求的值；(2)若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为，可得出关于的方程，结合可求得的值；（2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可.【详解】（1）解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，整理可得，因为，解得.（2）解：的展开式通项为，令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得，由不等式组，解得.因为，所以，，因此，展开式中系数最大的项为.16．甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：(1)在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；(2)在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．【答案】(1)答案见解析(2)甲的得分的均值与方差分别为【分析】（1）根据题意一轮比赛中，甲得分的可能取值为，分别求解概率即可得分布列；（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可得结论.【详解】（1）一轮比赛中，甲得分的可能取值为，，则的概率分布列为：（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，，，，，所以甲的得分的均值为，甲的得分的方差为，甲的得分的均值与方差分别为.17．如图，是半圆的直径，为中点，，直线，点为上一动点（包括两点），与关于直线对称，记为垂足，为垂足．(1)记的长度为，线段长度为，试将表示为的函数，并判断其单调性；(2)记扇形的面积为，四边形面积为，求的值域．【答案】(1)在上单调递减(2)的值域为【分析】（1）由题意得，根据扇形弧长公式求得，再得长度为，从而得，利用导数判断其单调性；（2）根据扇形面积公式得，再得四边形面积为，从而得，求导确定单调性极值与最值即可的函数.【详解】（1）因，则由题意知，由题意可得，，圆半径为1，所以，又，所以，则恒成立，所以在上单调递减.（2）由题意可得，因为，所以四边形为矩形，于是，所以，其中，求导得，令得，即，则可得如下表格：极小值由表可知当时，，，所以的值域为.18．某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，．(1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？(2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第个车间生产的概率．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.【详解】（1）设事件分别表示取出的通讯器材是第个车间生产的，表示“取到的是优等品”.易知两两互斥，根据全概率公式，可得．所以从仓库中任取一个该通讯器材，取到优等品的概率是．（2）如果取到的通讯器材是优等品，它是第1个车间生产的概率为；如果取到的通讯器材是优等品，，它是第2个车间生产的概率为；.如果取到的通讯器材是优等品，，它是第3个车间生产的概率为.19．已知函数．(1)求函数的导函数；(2)求函数单调区间；(3)若函数有两个不同的极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在实数，使得，若存在，求实数的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)(2)答案见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据基本初等函数的导数以及导数的四则运算求解即可；（2）对求导，分，求解单调区间；（3）根据斜率公式，，利用构造函数法证得不存在实数的值符合题意.【详解】（1）（2）记，则①当时，因为，所以，所以在上单调递增；②当时，由，判别式知，在上单调递增；③当时，由，判别式定义域，可知当和时，，当时，，则在和上单调递增；在上单调递减，综上可知，当时，单调