2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型八 圆的综合题 （含答案）

2024内蒙古中考数学二轮专项训练题型八圆的综合题类型一与圆的基本性质有关的证明与计算1.如图，AB为⊙O的直径，弦CE，CF分别与AB交于点D，点G，连接AF与CE交于点H，若AD＝AE，点F是eq\o(BE,\s\up8(︵))的中点．(1)求证：点G为FC的中点；(2)若tanF＝eq\f(4,3)，求eq\f(HD,CD)的值．第1题图2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，∠CAB＝eq\f(1,2)∠CAD，点F在AC的延长线上且CF＝BC，连接DF.(1)求证：DE＝BE＋CB；(2)若AD＝10，S△CDF＝20，求BE的长．第2题图3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是eq\o(AE,\s\up8(︵))的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．(1)求证：四边形CDMF为平行四边形；(2)当CD＝eq\f(2,5)AB时，求sin∠ACF的值．第3题图创新题4.如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点(不与A，B重合)，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交eq\o(ACB,\s\up8(︵))，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．(1)移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；(2)当θ<45°时，求证：BH·AH＝DH·FH；(3)当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．第4题图

类型二与切线有关的证明与计算1.如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别与AC和BC交于点D和点E，过点D的直线GF与⊙O相切，且与BC交于点F，与BA的延长线交于点G.(1)求证：GF⊥BC；(2)连接GE，若⊙O的半径为2，求sin∠EGF的值．第1题图2.如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且eq\o(BF,\s\up8(︵))＝2eq\o(BE,\s\up8(︵))，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.(1)求证：∠COB＝∠A；(2)若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．第2题图3.如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，过点B作EF⊥CD交CD于点E，交⊙O于点F，连接OF、CF.(1)求证：FC平分∠OFE；(2)若tan∠A＝eq\f(1,2)，⊙O的半径为3，求DE的长．第3题图4.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))上一点，且AC＝CD，连接AD交BC于点E，过点C作CF∥AD交BA的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠F＝30°，AD＝6，求CF的长．第4题图5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接BO并延长至点E，使BE交AC于点D，且AE＝DE，连接OC，且OC⊥BE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，OD＝2，求AC的长．第5题图6.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，点O是AB上一点，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O与BC交于点D，交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥BC交BC于点G，连接FD，且FD＝2FG.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BE＝1，求BC的长．第6题图7.(2021烟台)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)请按如下要求完成尺规作图．(不写作法，保留作图痕迹)①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M.(2)在(1)的条件下，求证：BC是⊙O的切线；(3)若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．第7题图8.如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D,OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB,CA＝CB.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若FC∥OA,CD＝6，求图中阴影部分面积．第8题图参考答案类型一与圆的基本性质有关的证明与计算1.(1)证明：∵点F是eq\o(BE,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\o(BF,\s\up8(︵))，∴∠EAF＝∠BAF＝∠C.∵AE＝AD，∴AH⊥ED，∴∠AHD＝90°.∵∠ADH＝∠CDG，∴∠CGD＝∠AHD＝90°，∴AB⊥CF.∵AB为⊙O的直径，∴点G为FC的中点；(2)解：如解图，连接DF，第1题解图由(1)知AB⊥CF，G是CF的中点，∴DF＝CD.设CD＝a，则DF＝a，在Rt△CHF中，tan∠AFC＝eq\f(CH,FH)＝eq\f(4,3)，设CH＝4x，FH＝3x，则DH＝4x－a，在Rt△DHF中，DH2＋FH2＝DF2，∴(4x－a)2＋(3x)2＝a2，解得x1＝0(舍去)，x2＝eq\f(8a,25)，∴a＝eq\f(25,8)x，∴eq\f(HD,CD)＝eq\f(4x－\f(25,8)x,\f(25,8)x)＝eq\f(7,25).2.(1)证明：如解图，在DE上截取KE＝BE，连接CK，∵∠CAB＝eq\f(1,2)∠CAD，∠CAB＝∠CDB，∠CAD＝∠DBC，∴∠DBC＝2∠CDB.∵KE＝BE，AC⊥BD，∴CK＝CB，∴∠CKB＝∠CBK＝2∠CDB.∵∠CKB＝∠CDB＋∠DCK，∴∠CDB＝∠DCK，∴DK＝CK，∴DE＝KE＋DK＝BE＋CK，∴DE＝BE＋CB；第2题解图(2)解：如解图，过点K作KR⊥CD于点R，过点F作FH⊥DC交DC的延长线于点H，由(1)可知，DK＝CK，∴DR＝CR.∵CF＝CB，DK＝CK＝CB，∴DK＝CF＝CB＝CK.∵∠KRD＝∠FHC＝90°，∠DCE＝∠FCH，∴∠CDE＝∠CFH，∴△DRK≌△FHC(AAS)，∴FH＝DR.设FH＝DR＝CR＝x，则CD＝2x，∵S△CDF＝eq\f(1,2)CD·FH＝20，∴eq\f(1,2)×2x×x＝20，解得x＝2eq\r(5)(负值已舍去)，∴FH＝DR＝CR＝2eq\r(5)，CD＝4eq\r(5).∵∠CAB＝∠CDB，∠CAD＝2∠CAB，∴∠CAD＝2∠CDB.∵∠DCA＝90°－∠CDB，∠CAD＋∠ADC＋∠DCA＝180°，∴∠ADC＝90°－∠CDB，∴∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD＝10.∵DE2＝AD2－AE2，DE2＝CD2－CE2，∴AD2－AE2＝CD2－CE2，∴100－AE2＝80－(10－AE)2，解得AE＝6，∴CE＝4，∴DE＝eq\r(AD2－AE2)＝8.∵∠EDC＝∠EAB，∴tan∠EDC＝tan∠EAB，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(BE,AE)，即eq\f(4,8)＝eq\f(BE,6)，解得BE＝3.3.(1)证明：如解图，连接DF，EF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴∠FAD＋∠FDA＝90°，∠FMD＋∠FDM＝90°.∵F是eq\o(AE,\s\up8(︵))的中点，∴∠ADF＝∠FDM，∴∠FAD＝∠FMD.∵OA＝OF，∴∠FAD＝∠AFC，∴∠AFC＝∠FMD，∴FC∥MD.∵CF、AD是⊙O的直径，∴∠FAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，∴CD∥FM，∴四边形CDMF是平行四边形；第3题解图(2)解：易知四边形ACDF是矩形，∴CD＝AF＝MF＝EF.由CD＝eq\f(2,5)AB＝eq\f(2,5)(2CD＋BM)，可得CD＝2BM，∵BM∥CD，∴△BEM∽△CED，∴eq\f(BE,CE)＝eq\f(BM,CD)，即eq\f(BE,CE)＝eq\f(1,2)，设BM＝a，则BF＝3a，EF＝2a，在Rt△BEF中，BE＝eq\r(BF2－EF2)＝eq\r(9a2－4a2)＝eq\r(5)a，∴CE＝2BE＝2eq\r(5)a，在Rt△CEF中，FC＝eq\r(EF2＋CE2)＝eq\r(4a2＋20a2)＝2eq\r(6)a，∴在Rt△CAF中，sin∠ACF＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(2a,2\r(6)a)＝eq\f(\r(6),6).4.(1)解：当点H、O重合时，如解图，第4题解图∵DH⊥AB，AC＝CD，∴CO＝eq\f(1,2)AD＝AC.∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°.∴θ＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴sinθ＝sin30°＝eq\f(1,2)；(2)证明：当θ＜45°时，点H在线段AB上，∵DH⊥AB，∴∠DAH＋∠ADH＝90°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＋∠DAH＝90°，∴∠CBA＝∠ADH，∴tan∠CBA＝tan∠ADH，即eq\f(FH,BH)＝eq\f(AH,DH)，∴BH·AH＝DH·FH；(3)解：当θ＝45°时，∠AOC＝2θ＝2×45°＝90°，∴leq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(1,4)πd＝eq\f(1,4)π×8＝2π，圆锥的母线长为4，设底面半径为r，则2πr＝2π，解得r＝1，圆锥高＝eq\r(42－12)＝eq\r(15)，∴该圆锥的底面半径为1，高为eq\r(15).类型二与切线有关的证明与计算1.(1)证明：如解图，连接OD，∵GF与⊙O相切于点D，OD为⊙O半径，∴OD⊥GF.∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝60°，∴∠DOA＝∠B，∴OD∥BC，∴GF⊥BC；第1题解图(2)解：如解图，连接OE，∵⊙O的半径为2，∴AB＝BC＝AC＝4.由(1)可得AD＝AO＝2，∴CD＝AC－AD＝2.∵GF⊥BC，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝eq\f(1,2)CD＝1，∴BF＝BC－CF＝3.∵∠B＝60°，∴GF＝BF·tan60°＝3eq\r(3)，同理，△OEB为等边三角形，∴BE＝OB＝2，∴EF＝1，∴GE＝eq\r(GF2＋EF2)＝eq\r(（3\r(3)）2＋12)＝2eq\r(7)，∴sin∠EGF＝eq\f(EF,GE)＝eq\f(1,2\r(7))＝eq\f(\r(7),14).2.(1)证明：如解图，取eq\o(BF,\s\up8(︵))的中点M，连接OM、OF.∵eq\o(BF,\s\up8(︵))＝2eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(MF,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴∠COB＝eq\f(1,2)∠BOF.又∵∠A＝eq\f(1,2)∠BOF，∴∠COB＝∠A；(2)解：如解图，连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD.由(1)知∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴eq\f(OB,BC)＝eq\f(AB,BD)，∴BD＝eq\f(BC·AB,OB)＝eq\f(4×6,3)＝8，∴在Rt△ABD中，AD＝eq\r(62＋82)＝10.∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D＝∠D，∴△BFD∽△ABD，∴eq\f(FD,BD)＝eq\f(BD,AD)，∴FD＝eq\f(BD2,AD)＝eq\f(82,10)＝eq\f(32,5).第2题解图3.(1)证明：如解图，连接OC，第3题解图∵OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF.∵CD为⊙O的切线，OC为⊙O的半径，∴OC⊥CD.又∵FE⊥CD，∴OC∥EF，∴∠OCF＝∠CFE，∴∠OFC＝∠CFE，∴FC平分∠OFE；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan∠A＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2)，则AC＝2BC，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2，∴BC2＋(2BC)2＝62，解得BC＝eq\f(6\r(5),5)(负值已舍去)，∵DC是⊙O的切线，∴∠OCB＋∠BCD＝90°.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠OCA＝90°.又∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∴∠BCD＝∠A.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴tan∠BCD＝eq\f(BE,CE)＝eq\f(1,2)，则CE＝2BE，在Rt△BCE中，BE2＋CE2＝BC2，∴BE2＋(2BE)2＝(eq\f(6\r(5),5))2，解得BE＝eq\f(6,5)(负值已舍去)，则CE＝eq\f(12,5)，由(1)知BE∥OC，∴△DEB∽△DCO，∴eq\f(DE,CD)＝eq\f(BE,OC)，即eq\f(DE,\f(12,5)＋DE)＝eq\f(\f(6,5),3)，解得DE＝eq\f(8,5).4.(1)证明：如解图，连接OC，∵AC＝CD，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∵OC是⊙O的半径，∴OC⊥AD.∵CF∥AD，∴OC⊥CF.∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；第4题解图(2)解：如解图，设AD与OC相交于点G，∵AD＝6，∴AG＝eq\f(1,2)AD＝3.∵∠F＝30°，∴∠AOC＝60°，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝30°，∴∠F＝∠ABC，∴CF＝BC.∵CF∥AD，∴∠GAO＝∠F＝30°.在Rt△AOG中，cos∠GAO＝eq\f(AG,AO)，即cos30°＝eq\f(3,AO)，解得AO＝2eq\r(3)，∴AB＝2AO＝4eq\r(3).∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴在Rt△ACB中，cos∠ABC＝eq\f(BC,AB)，即cos30°＝eq\f(BC,4\r(3))，解得BC＝6，∴CF＝6.5.(1)证明：如解图，连接AO，∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA.∵AO＝CO，∴∠OCA＝∠OAC.∵OC⊥BE，∴∠COE＝90°，∴∠OCA＋∠ODC＝90°.∵∠ODC＝∠EDA，∴∠OAC＋∠EAD＝90°，即∠OAE＝90°.∵AO是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；第5题解图(2)解：设AE＝DE＝x，则OE＝x＋2，在Rt△OAE中，OA2＋AE2＝OE2，即62＋x2＝(x＋2)2，解得x＝8，即DE＝8.在Rt△ODC中，CD＝eq\r(OC2＋OD2)＝2eq\r(10).如解图，过点E作EF⊥AC于点F，∵∠COD＝∠DFE＝90°，∠ODC＝∠FDE，∴△OCD∽△FED，∴eq\f(OD,FD)＝eq\f(CD,ED)，即eq\f(2,FD)＝eq\f(2\r(10),8)，∴FD＝eq\f(4\r(10),5).∵AE＝DE，EF⊥AC，∴△ADE为等腰三角形，AD＝2FD＝eq\f(8\r(10),5)，∴AC＝AD＋DC＝eq\f(8\r(10),5)＋2eq\r(10)＝eq\f(18\r(10),5).6.(1)证明：如解图，连接OD，OF，∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝45°.∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠A＝45°.∵FG⊥BC，∴∠FGC＝∠FGD＝90°，∴∠GFC＝15°.∵FD＝2FG，∴sin∠FDG＝eq\f(FG,FD)＝eq\f(1,2)，∴∠FDG＝30°，∠DFG＝60°，∴∠OFD＝180°－∠OFA－∠DFG－∠GFC＝60°.∵OD＝OF，∴△ODF是等边三角形，∴∠ODF＝60°，∴∠ODC＝∠ODF＋∠FDG＝90°，即OD⊥BC.∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；第6题解图(2)解：如解图，连接ED，由(1)知∠AOF＝90°，∠DOF＝60°，∴∠BOD＝30°.在Rt△BOD中，设BD＝x，则OB＝2x，OD＝OE＝2x－1，∵tan∠BOD＝eq\f(BD,OD)，∴eq\f(x,2x－1)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝2＋eq\r(3)，经检验，x＝2＋eq\r(3)是分式方程的解，且符合题意．∴BD＝2＋eq\r(3)，OD＝3＋2eq\r(3).由(1)知，△ODF是等边三角形，∴DF＝OD＝3＋2eq\r(3).∵在△DFC中，∠FDG＝30°，∠C＝75°，∴∠DFC＝180°－30°－75°＝75°，∴∠DFC＝∠