![2018年高考数学一轮复习 40 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理_第1页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/3B/16/wKhkGGaQevKANhmMAAGx8uDyLXs122.jpg)
![2018年高考数学一轮复习 40 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理_第2页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/3B/16/wKhkGGaQevKANhmMAAGx8uDyLXs1222.jpg)
![2018年高考数学一轮复习 40 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理_第3页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/3B/16/wKhkGGaQevKANhmMAAGx8uDyLXs1223.jpg)
![2018年高考数学一轮复习 40 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理_第4页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/3B/16/wKhkGGaQevKANhmMAAGx8uDyLXs1224.jpg)
![2018年高考数学一轮复习 40 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理_第5页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/3B/16/wKhkGGaQevKANhmMAAGx8uDyLXs1225.jpg)
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文档简介
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专题40空间点、直线、平面之间的位置关系
考情解读
1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理;
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
重点知识梳理
1.平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理2的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.空间中两直线的位置关系
(1)位置关系的分类
f[平行
共面直线朝一
<[相父
,异面直线:不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,6是两条异面直线,经过空间任一点。作直线a'//a,b'//b,把a,与〃
所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与6所成的角(或夹角).
②范围:(o,-y.
(3)平行公理和等角定理
①平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
②等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
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卜高频考点突破,
高频考点一平面基本性质的应用
例1、如图所示,正方体Aff加口中,E、尸分别是48和皿的中点.求证:
②CE、4尺的三线共点.
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【解析】证明(1)如图,连接即,CDi,AiB.
••氏尸分别是居、出h的中点,疑i.
又ARHDiC,LEFHCDi,
.出C、爪尸四点共面.
⑵•:EFHCDi,EF<CDi,
,⑫与必相交,
设交点为P,如图所示.
贝I」由PWOS,CffU平面4S0D,得尸€平面4BOD.
同理尸€平面疝
又平面715CDn平面ADDiAi=DAf
...尸€直线以4,国、DF、D4三线共点.
【感悟提升】(1)证明线共面或点共面的常用方法
①直接法,证明直线平行或相交,从而证明线共面.
②纳入平面法,先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
③辅助平面法,先证明有关的点、线确定平面。,再证明其余元素确定平面£,最后证明平
面a,£重合.
(2)证明点共线问题的常用方法
①基本性质法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些
点都在这两个平面的交线上.
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②纳入直线法,选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
【变式探究】如图,平面^5即1平面/灰/,四边形/戚与四边形/戊力都是直角梯形,ABAD
=NFAB=90°,BC//ADS.BC=^AD,BE〃AF且BE=%F,G、〃分别为用、网的中点.
(1)证明:四边形加用是平行四边形;
(2)C、D、F、£四点是否共面?为什么?
【解析】⑴证明由已知尸G=G4FH=HDf
可得GH^^AD.
又EC统加,
J四边形BSG为平行四边形.
(2)解G是刚的中点,..金£统尸G,
.•.四边形9G为平行四边形,
由(1)知MS,.,.KF与次共面.
又DEFH,:.C、口、尸、E四点共面.
高频考点二判断空间两直线的位置关系
例2、(1)若直线,和入是异面直线,Z在平面a内,心在平面£内,/是平面a与平面£
的交线,则下列命题正确的是()
A.1与h,心都不相交
B.1与h,B都相交
C./至多与,,心中的一条相交
D.7至少与心中的一条相交
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(2)如图,在正方体46切-46C"中,M,"分别是6G,勿的中点,则下列判断错误的是()
A.MN与CG垂直
B.就与/C垂直
C.MN与BD平行
D.例V与4区平行
(3)在图中,G、从欣〃分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,
则表示直线GH、脉是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)
【解析】⑴若,与%A都不相交,则lllh,/J1///2,这与A和A异面矛盾,至少与%—中
的一条相交.
⑵连接SC,BiDi,则点Af是SC的中点,是ABiGDi的中位线,
,.•CCil5iDi,/ClBiDi,BDHBiDi,
:.MNYCCi,MN1AC,MNllBD.
又..N151与BiDi相交,
.,.MN与/由1不平行,故选D.
(3)图①中,直线GH〃MN;
图②中,G、H、"三点共面,但脆面筋以
因此直线GH与仞V异面;
图③中,连接切,GM//HN,因此阳与廨共面;
图④中,G、M、”共面,但照面的
因此GH与腑异面.
所以图②④中GH与"V异面.
【感悟提升】(1)异面直线的判定方法
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①反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格
的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
②定理:平面外一点/与平面内一点6的连线和平面内不经过点6的直线是异面直线.
(2)点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为
主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
【变式探究】⑴如图,在正方体抽切一中,M,“分别是8G,切的中点,则下列判
断错误的是()
A.HV与CG垂直B.的V与47垂直
C.JZV与初平行D.研与4A平行
(2)a,b,。表示不同的直线,〃表示平面,给出四个命题:①若a〃〃,b//M,则a〃方或a,
6相交或a,6异面;②若bu肱a//b,贝!Ja〃朋③若a_Lc,6_Lc,则a〃6;④若a_L弘b
LM,则@〃6.其中正确的为()
A.①④B.②③C.③④D.①②
【答案】(1)0(2)A
【解析】(1)如图,连接
在的中,MN//BD,故C正确;
平面/比2〃七平面J.CGLBD,
J.MNLCa,故A正确;
':ACLBD,MN//BD,:.MNLAC,故B正确;
;4氏与初异面,MN//BD,
;.初与4名不可能平行,故选项D错误.
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⑵对于①,当洲M,时,则a与2平行、相交或异面,①为真命题.②中,bcMfallb,则或
②为假命题.命题③中,a与》相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,命题④为真命题,
所以①,④为真命题.
高频考点三求两条异面直线所成的角
例3、(1)如图所示,在正三棱柱A6C—4区G中,,是AC的中点,M:AB=^i:1,则异面直
线/区与劭所成的角为.
【答案】600
【解析】取4G的中点£,连接氐反ED,AE,
在RtzX/6遂中,即为所求,
设26=1,贝!|44=4,4用=4,6必=手
故//反£=60°.
⑵空间四边形四切中,肥=①且N6与切所成的角为30°,E、F分别为BC、加的中点,
求必与四所成角的大小.
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【解析】如图,取4c的中点G,连接EG、尸G,则EG献%B,尸G%CD,
由H8=CD知EG=FG,
.•.NG£W(或它的补角)为班与48所成的角,NEGW(或它的补角为与⑵所成的角.
•.•45与CD所成的角为30%
.,.Z5GF=3/或150°.
由EG=FG知△班G为等股三角形,
当NEGF=300时,NG£W=75。;
当乙EGF=1500时,AGEF=IS0.
故町与居所成的角为15域75°.
【感悟提升】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:利用图
中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三个步骤
①作:通过作平行线,得到相交直线的夹角.
②证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角.
③求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求
出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
【变式探究】如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱4式》—4为G〃中,44=2/6
=2,则异面直线46与4〃所成角的余弦值为()
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【答案】D
【解析】连接8G,易证因〃/几
则/小笫即为异面直线46与所成的角.
连接4G,由48=1,44=2,
贝|40=丑AB=BQ=y[5,
在△儿园中,由余弦定理得
5+5-24
cos/A1BC1■—产
2X45X455
真题感悟
11.[2016高考新课标1卷】平面a过正方体力比的顶点A,a〃平面CBM,al平
面ABCD=m,al平面ABRA^n,则m、〃所成角的正弦值为
,s/3A/2*/、s/3.1
(A)—(B)—(C)—(D)-
2233
【答案】A
【解析】如图,设平面CHN1n平面ABCD=m',平面CBQifl平面=k,因为平面CBR,
所以那IIm\nlln',贝J加/所成的角等于加所成的角.过R作口间BQ,交AD的延长线于点E,连
接CE,则CE为“.连接4B,过B,作用及"43,交AAX的延长线于点招,则与耳为“,连接BD,则
BDllCE,B^HK,,则M,川所成的角即为4瓦3。所成的角,为60。,故渤/所成角的正弦值为坐,
选A.
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2.12016高考新课标1卷】(本小题满分为12分)如图,在以4B,C,D,E,尸为顶点的五面体中,
面ABEF为正方形,A22FD,ZAFD=90,且二面角。/尸£与二面角己册户都是60.
(I)证明:平面/颇_L平面切叨C;
(II)求二面角E-BPA的余弦值.
A
【答案】(I)见解析(II)--匚
19
【解析】
(I)由已知可得加AF工相,所以加_L平面EFDC.
又AFu平面ABEF,故平面ABEFJ"平面EFDC.
(11)过。作DGJ.EF,垂足为G,由(I)知QGJ.平面@
以G为坐标原点,砺的方向为x轴正方向,|而|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-个.
由(I)知/烟为二面角。一"一芯的平面角,故。7芯=西,则归n=2,|。6|=3,可得/(134,0),
5(-3.4,0),E(-3,0t0),D(0,0,@.
由已知,AB//EF,所以A5〃平面ERDC.
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又平面ABCD平面EFE>C=OC,故AB〃CD,CD//EF.
由5E〃AF,可得BE,平面跳DC,所以NCEF为二面角C—BE—尸的平面角,
NCEF=6。.从而可得。(一2,0,6).
所以EC=(l,0,出),EB=(0,4,0),/0=卜3,—4,6),Z8=(T,0,0).
设冷=(x,y,z)是平面的法向量,则
nEC=0口n_[x+Wz=0
5--,即,)
nEB=O[4y=0
所以可取狸=(3,0,3).
mAC=Q
设洲是平面/8的法向量,贝R__,
mAB—0
同理可取洲=(0,第,4).则8sgffr)=JJ=_"^.
\/|n||M|19
故二面角E-BC-A的余弦值为一噜
3.[2016高考新课标2理数】如图,菱形A3CD的对角线AC与交于点。,
AB=5,AC=6,点瓦厂分别在A£>,C£>上,AE=CF=~,EF交BD于点H.将ADEF
沿E7折到AD'EF位置,OD'=M.
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(I)证明:平面ABCD;
(II)求二面角5—O'A—C的正弦值.
【答案】(I)详见解析;(II)——.
25
【解析】
(I)由已知得.仞=8,又由=得包=乌,故NC#昉.
ADCD
因此EF±HD,从而EF±DfH.由K5=5,KC=6得0。=30=^AB1-AO1=4.
由斑叶NC得吧=丝=士.所以Off=l,D'H=DH=3.
DOAD4
于是。巨2+。笈2=32+[2=]0=。,02,
故D'H_L0H.
又。H_L即,而。HClEF=H,
所以PrH_L平面.458.
(II)如图,以H为坐标原点,"F的方向为了轴正方向,建立空间直角坐标系〃-孙z,
则H(0,0,0),A(-3,-l,0),5(0,-5,0),C(3,-l,0),O'(0,0,3),AB=(3,-4,0),
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m-AB=0
AC=(6,0,0),A£>'=(3』,3).设帆=(%,%,zj是平面ABD'的法向量,则<
m-ADr=0
,3再-4yi=0
即<所以可取利=(4,3,—5).设〃=(%,%,Z2)是平面AC。'的法向量,
3%+%+3zi=0
n-AC=06X=0/、
则1,即17-,所以可取〃=(0,—3,1).于是
n-AD'=0+y寸3z=p
mn-14S
ccxmn>=:T—7=——=-------s--in<m,n因此二面角B—D'A—C
\in\\n\V50xV102525
p=十/古B2y/95
1的Vl正弦值是-----
25
1.12015高考四川,理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,
在正方体中,设的中点为GH的中点为N
(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(2)证明:直线MN//平面3QH
(3)求二面角A-EG-M的余弦值.
272
(2)详见解析.(3)
3
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【解析】(1)点F、G、H的位置如图所示.
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(2)连结BD,设。为BD的中点.
因为M、N分别是BC、GH的中点,
所以0M7/CD,且。拉=白8,
2
NHHCDf且NH=、CD,
2
HNH,OM=NHf
所以M瓯是平行四边形,
从而
又平面ADH,OHu平面DDE,
所以MM〃平面ADH.
(3)连结AC,过M作MP_LAC于P.
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在正方形A5CE>—EEGH中,AC//EG,
所以MPLEG.
过P作PKLEG于K,连结KM,
所以EG,平面PKM,
从而KM_LEG.
所以ZPKM是二面角A-EG-M的平面角.
设AD=2,则CM=1,PK=2,
在及CW中,PM^CMsin45=—.
2
在RfKMP中,KM=y/PK2+PM2=.
2
所以cosZPKM=丝=述.
KM3
即二面角A-EG-M的余弦值为逑.
3
(另外,也可利用空间坐标系求解)
2.12015高考湖北,理19】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.如图,在阳马尸-4JCD中,
侧棱即,底面ABCD,且PD=CD,过棱尸C的中点E,作EFLPB交PB于点F,连接
DE,DF,BD,BE.
(I)证明:依,平面。跳\试判断四面体D3防是否为鳖腌,若是,写出其每个面的直角
(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(II)若面DEF与面ABCZ)所成二面角的大小为百,求变的值.
3BC
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p.
V2
【答案】(I)详见解析;(II)—.
2
【解析】(解法1)(1)因为即,底面盘⑦,所以如•*■欧
由底面知CD为长方形,有3CJ_CD,而即nCD=D,
所以BC_L平面尸CD.而DEu平面PCD,所以BCA.DE.
又因为即=如,点E是改的中点,所以DE_LPC.
而汽7n3C=C,所以DE_L平面级C.而国u平面即C,所以留_LDE.
又PBiEF,DECiEF=E,所以231.平面DW.
由D&_L平面PBCfPBL平面DEF,可知四面体BDEP的四个面都是直角三角形,
即四面体即即其四个面的直角分别为8EB,NDE"N即3,ND的.
(II)如图1,在面尸BC内,延长BC与EE交于点G,则OG是平面。即与平面ABCO
的交线.由(I)知,总,平面。所,所以PB'ZX?.
故/BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,
设尸£>=DC=1,BC=A,有Jl+万,
在RtAuW中,由。尸_LP3,得NDPF=NFDB=—,
3
贝Utan工=tan/DPF==J1+%=6,解得4=^/^.
3PD
所以型=_L=".
BCA2
故当面。瓦与面ABCD所成二面角的大小为工时,—=^.
3BC2
(解法2)
(I)如图2,以。为原点,射线分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
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设PD=£>C=1,3C=/l,则”Q(/。B2C,尸B,点E是尸C
的中点,
所以£(0,;,;),DE=(O,1,1),
于是PBDE=O,即依
又已知EF_LPB,而DEEF=E,所以PB_L平面。跖.
因尸C=(O,1,-1),DEPC=O,则£>E_LPC,所以£®_L平面P3C.
由DE_L平面尸3C,P3_L平面£>£F,可知四面体的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF是一个鳖膈,其四个面的直角分别为ZDEB,Z.DEF,Z.EFB,ZDFB.
(II)由P£>_L平面A3。,所以DP=(O,。,1)是平面ABCD的一个法向量;
由(I)知,尸3,平面DEF,所以BP=(-尢-1,1)是平面£>跖的一个法向量.
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为-,
3
BP,DP]_j_
则cos—=
3\BP\-\DP\VA2+22
解得,S所以ff=:=李
DCy/2
故当面。瓦与面ABCD所成二面角的大小为三时,
3~BC~^2
3.12015高考广东,理18】如图2,三角形产℃所在的平面与长方形A3CD所在的平面垂
直,PD=PC=4,AB=6,3c=3.点E是CD边的中点,点/、G分别在线段AB、BC
上,且AF=2阳,CG=2GB.
(1)证明:PE-LFG.
(2)求二面角P-0的正切值;
(3)求直线E4与直线FG所成角的余弦值.
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p
【解析】(D证明:;尸D=PC且点£为8的中点,
PELDC,又平面卫DC!_平面715cD,且平面PDCf)平面45CD=CD,PSu平面RDC,
理J■平面HBCD,又FGu平面HBCD,
.,.PELFGy
(2)解:由⑴知PE_L平面ABCD,.\PEXAD,
又:CD_LAD且PEClCD=E,
,ADJ_平面PDC,
又;PDu平面PDC,;.AD_LPD,
又YADLCD,ZPDC为二面角P-AD-C的平面角,
在RtZkPDE中,由勾股定理可得:
PEWPD2-DE2=742-32=V7,
PGVr
/.tanZPDC=DG=3;
(3)如下图所示,连接AC,
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AF=”B,CG=2GBgp—=—=2,
FBGB
:.ACHFGf
乙P/C为直线产/与直线和所成角或其补角,
在AP/C中,PA=^PD2+AD2=5,/C=J/Q'+OZ/=3回
5,(3邛429君
P41A-AC1-PC'
由余弦定理可得8smC=…
2x5x3造一25
直线产/与直线EG所成角的余弦值为喳.
L(2014•辽宁卷)已知如〃表示两条不同直线,。表示平面.下列说法正确的是()
A.若加〃a,n//a,贝|加〃77
B.若/_1_a,nua,则ml.n
C.若/_La,m_Ln,贝!Jn//a
D.若/〃a,m_Ln,贝U/?_L。
【答案】B
【解析】由题可知,若勿〃n//a,则勿与〃平行、相交或异面,所以A错误;若忆L。,
nda,则m,Ln,故B正确;若ml_a,m_Ln,则n//。或T?Ua,故C错误.若m//a,mLn,
则〃〃。或。或〃与d相交,故D错误.
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2.(2014•福建卷)在平面四边形46(力中,AB=BD^CD=\,ABLBD,CD1BD.胳AABD沿BD
折起,使得平面4初,平面腼,如图1-5所示.
⑴求证:ABLCD-,
(2)若〃为力。中点,求直线力〃与平面血%所成角的正弦值.
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【解析】解:⑴证明::,平面池。1平面BCD,平面TISDC平面SCDuRD,儿Su平面ABD,AB1BD,:.AB\.
平面SCO.
又ODu平面BCD,:.AB]_CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE1即.
由⑴知AB1平面BCD,BSu平面BCD,BDu平面BCD,.•.居1AE,AB1BD.
以B为坐标原点,分别以防,通威的方向为x轴,J轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系。口图所示).
依题意,得即,0,0),1,0),50,1,0),邢,0,1),«\>i
贝1,0),加(0,i,3,疝=(0,1,-1).
设平面A/8C的法向量n=(xo,w,a),
JCO+州=0,
则%+畀=0,
取m=l,得平面MBC的一个法向量。=(1,-1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为Q,
\n-Ab\_J,x/6
贝“而d=|cos〈n,Aby|
肝@13■
即直线闻与平面MBC所成角的正弦值为坐
3.(2014•新课标全国卷H)直三棱柱/8G/出G中,/鸵4=90°,M,"分别是4瓜,4G
的中点,BC=CA=CQ,则砌与AV所成角的余弦值为()
A±R2叵立
105102
【答案】C
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【解析】如图,E为的中点.由于M,N分别是小历,4C1的中点,故AWVB1C1且故
的糠即,所以四边形M的为平行四边形,所以加统所以直线⑷V,NE所成的角即为直线
期所成的角.设BE,则员仁县山邛,所以MB=乎二圾疝=但有
4.(2014•四川卷)三棱锥/-8切及其侧视图、俯视图如图1-4所示.设〃,“分别为线
段/〃,的中点,尸为线段充上的点,豆MNLNP.
(1)证明:户是线段功的中点;
(2)求二面角A-NP-〃的余弦值.
图1-4
【解析】解:⑴如图所示,取物的中点。,连接A。,CO.
由侧视图及俯视图知,△板,△及力为正三角形,
所以Z〃_L微OCLBD.
因为/。,%t平面/OC,且/on〃c=o,
所以〃?_L平面AOC.
又因为“t平面所以应LL/C
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取8。的中点〃,连接阳PH.
又M,N,〃分别为线段AB,8。的中点,所以的〃物,NH//AO,
因为所以施L薇
因为的忆L2,所以死L被
因为阳Mt平面旦NHCNP=N,所以即_L平面阕R
又因为如u平面阕P,所以BMHP.
又OCLBD,小t平面BCD,OCu平面BCD,所以HP//OC.
因为〃为方。的中点,所以尸为理的中点.
(2)方法一:如图所示,作N214C于连接
由(1)知,NPflAC,所以N01NP.
因为MN1NP,所以NMA9为二面角4-NP-M的一个平面角.
由(1)知,AABDfAB⑵为边长为2的正三角形,所以4。=。(=/一
由俯视图可知,/。1平面BCD.
因为OCu平面BCD,所以401Og因此在等腰直角ZUOC中,AC=\l6.
作BR1/C于五
因为在ZU5C中,AB=BCf所以五为月C的中点、,
所以密Ap-(舒=挚
因为在平面/8C内,NQLAC,BRLAC,
所以M〃阮
又因为“为48的中点,所以0为4?的中点,
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b,,BRA/10
所以阀=2=芋.
同理,可得掰=乎.
故△仞阳为等腰三角形,
所以在等腰△〃惚中,
mBD
~2~J10
cos/加=拓=丽=§-
故二面角A-NP-〃的余弦值是坐.
方法二:由俯视图及Q)可知,平面BCD.
因为OC,OSu平面BCD,所以4010C,AO]_OB.
又。ClOB,所以直线。1,OB,OC两两垂直.
如图所示,以。为坐标原点,以OB,OC,QA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O
则他0,圆5(1,0,0),C(Q,®0),5-1,0,。).
因为M,N分别为线段㈤,AB的中点,
又由(1)知,P为线段BC的中点,
于是48=(1,0,一木),BC=(—1,小,
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/曰阿A5=0,
由;I火CRC-0即
<(xi,yi/zi)•(1f0,—=0,
L(JCI,yi,2i)(-1,S,0)=0,
Xi—?\/^zi=0f
从而,
LXi+Syi=0.
取zi=l,贝iJxi=S,yi=l,所以m=(S,1,1).
设平面MW的一个法向量m=(期,yi>玲,由,
‘得.
[mlNP,、[也•即=0,
取0=1>则以=1,工2=0>所以m=(0>1,1).
771•Z?2(、
设二面角力■顺■〃的大小为9,贝!Jcose=IIaII=
_VTo
一5,
故二面角上晒〃的余弦值是处.
押题专练
1.在下列命题中,不是公理的是()
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
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D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A
【解析】选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.
2.已知直线a和平面a,B,aC8=1,afta,闻£,且a在a,£内的射影分别为直线6
和c,则直线6和c的位置关系是()
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
【答案】D
【解析】依题意,直线6和。的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.
3.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平
面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是()
A.①B.①④C.②③D.③④
【答案】B
【解析】显然命题①正确一
由于三棱柱的三条平行棱不共面,②错.
命题③中,两个平面重合或相交,③错.
三条直线两两相交,可确定1个或3个平面,则命题④正确.
4.a,b,。是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()
A.若直线石,6异面,b,c异面,则乃,c异面
B.若直线a6相交,b,c相交,贝劣。相交
C.若a〃6,则a,6与c所成的角相等
D.若a_L6,bl.c,则a〃c
【答案】C
【解析】若直线a,6异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,6相交,b,c
相交,则4c相交、平行或异面;若a_L8,bLc,则小c相交、平行或异面;由异面直线
所成的角的定义知C正确.故选C.
5.已知正方体力比9—48K〃中,E,尸分别为胡,制的中点,那么异面直线/£与〃/所成角
的余弦值为()
4325
A-5B,5C-30-7
【答案】B
【解析】连接陇则/£〃所,
/"的?为异面直线/£与以尸所成的角.
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设正方体棱长为a,
则DiD=a,DF—2a,D\F=?a,
6.如图所示,平面a,£,丫两两相交,a,b,。为三条交线,且乃〃6,则3与c,b与c
的位置关系是
【答案】a//b//c
【解析】Va//b,aua,M.a,:,b//a.
又•:bu8,。G£=c,b//c.a//b//c.
7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面。上,旦AB〃CD,则直线瓦1与正方体
的六个面所在的平面相交的平面个数为.
【答案】4
【解析】〃与正方体左、右两侧面均平行.所以与第相交的侧面有4个.
8.在正方体力及力一48K〃中,E,尸分别为棱S的中点,则在空间中与三条直线4几
EF,切都相交的直线有条.
【答案】无数
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【解析】方法一在EF上任意取一点M,直线4田1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个
交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点M而直线孙与这3条异面直线都
有交点.如图所示.
方法二在/江h上任取一点P,过点P与章戋EF作一个平面a,因CD与平面a不平行,所以它们相交,
设它们交于点Q,连接PO,则PQ与EF必然相交,即P。为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直
线与三条直线AiDx,EF,CD都相交.
9.如图,空间四边形力区力中,E、F、G分别在/从BC、CD上,且满足力£:EB=CF:FB=2:1,
CG:0=3:1,过£、F、G的平面交49于点〃
⑴求/〃:HD-,
(2)求证:EH、FG、初三线共点.
AFCF
【解析】⑴解V—=—=2,C.EF//AC,
DDrD
...厮〃平面/①,而厮U平面皮谢
平面EFGHC平面ACgGH,
:.EF//GH,J.AC//GH.
/”
3
一
物
切
厂
1>1
且3-4-
...加掰.•.四边形明如为梯形.
令EHCFG=P,则户e掰而龙仁平面ABD,
又PGFG,河z平面宽9,
平面ABDH平面BCD=BD,
:.PGBD.:.EH、FG、必三
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