基础知识检测291向量概念-9

高一下学期数学基础知识检测（2）

考查知识点：苏教版必修第二册第一章

§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》、§9.3《向量基本定理及坐标表示》

一、单选题

1.已知向量2=（-3,4），则与£方向相反的单位向量是（）

.34、（34>（34、（34'

2.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）

（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；

-»—►

（3）若Mwb，则。Wb；

（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.0B.1C.2D.3

3.己知同=3,忖=4,则“卜+可=7”是响量不与5共线”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若万,5都是单位向量，则。=5；

③向量而与前相等.

则所有正确命题的序号是（）

A.①B.③

C.①③D.@@

5.下列关于向量的结论:

(1)若|a|=|B|,则a=石或&=—b；

(2)向量£与石平行，则Z与石的方向相同或相反；

(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

(4)若向量°与B同向，且,则a〉五.

其中正确的序号为()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)

6.在三角形ABC中，。是A3边的中点，点E在3C边上且BE=2EC,则而=

()

1—.2—•1--2—.

A.-AB——ACB.-AB+-AC

6363

1―.1—.1―.?—•

C.——AB+-ACD.——AB+-AC

6363

7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，

后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正

方形，如图所示.在“赵爽弦图''中，

A

若BC=a,BA=b,BE=3EF，则B尸二()/、

D.—a+—b

55

8.在□ABC中，点。在边上，点E在AC边上，且BZ）=LC£>,CE=—AE,

23

若AB=a，BC=b»则DE=（）

-2-

士+L3-1-

c.D.-a--b

412412

二、多选题

9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理

则被称为欧拉线定理.设点0、G、H分别是口43。的外心、重心、垂心，且M为的

中点，则（）

A-GA+GB+GC=6B.AB+AC^2HM-4MO

.网啊=|网

c.AH=3OMD

10.A4BC是边长为3的等边三角形,已知向量3、加满足品=3=AC=3a+h>

则下列结论中正确的有（）

A.Z为单位向量B.b//BCC.albD.(6a+h^±BC

11.下列命题不正确的是（）

A.单位向量都相等

B.若£与石是共线向量，B与2是共线向量，则Z与"是共线向量

c.忖+耳叩一耳，则£_1_3

D.若％与石是单位向量，则）=|力|

7F

12.已知是平面上夹角为§的两个单位向量，2在该平面上，且（£-c）<b-"）=0,

则下列结论中正确的有（）

rr

A..+q=1B.a-b-\

c.p|<75D.£+"的夹角是钝角

第II卷(非选择题)

三、填空题

13.向量Z=(T,3)，则与1同向的单位向量7=

14.在四边形4BCC中，若衣+而+函=。，且|福/T1的体，则△£©

的面积为.

15.设向量Z石不平行，向量/IZ+B与Z+2B平行，则实数/.=.

16.已知|，1=2,|5|=1，|a+2^|=V6,则cos位,石〉=.

四、解答题

17.已知单位向量q,02的夹角60°，向量万=4+02，b-e2-teetcR.

(1)若刃区，求/的值；

(2)若t=2,求向量乙5的夹角.

18.(1)己知平面向量£、h＞其中。=(君,一2),若恸=3及，且Z//B，求向量坂

的坐标表示；

(2)已知平面向量£、B满足时=2,忖=1,a与坂的夹角为g,且(a+九石)J.

(五一5)，求力的值.

-4-

高一下学期数学基础知识检测（2）

考查知识点：苏教版必修第二册第一章

§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》、§9.3《向量基本定理及坐标表示》

总分100分时间60分钟

参考答案与试题解析

【分析】

,计算一由即得.

【详解】

3_4

由题意同=正3）2+42=5,a

35，-5

故选：C.

2.B

【分析】

根据相等向量的有关概念判断.

【详解】

由相等向量的定义知（1）正确；

平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错;

方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错;

相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）

错，

所以正确答案只有一个.

故选：B.

3.A

【分析】

根据充分条件与必要条件的概念，由向量数量积运算法则，以及向量的线性运算法则，即可

得出结果.

【详解】

若向量万与B同向共线，由同=3,|可=4,可得k+同=7：

若向量6与B反向共线，由同=3,|可=4,可得k+同=1；

所以由“向量方与5共线”不能推出"忖+可=7"；

若卜+.=7,同=3,问=4,

-rr2rfa-h.

则r向r+A=49,所以小方=12,所以85＜。/＞=网彳=1,

因为向量方与5夹角为所以＜三力＞=0,即响量1与B共线；

所以由“K+闸=7”能推出“向量乙与5共线”；

因此，“K+可=7”是“向量1与b共线''的充分而不必要条件.

故选：A.

4.A

【分析】

根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，

-2-

可否定③.

【详解】

根据零向量的定义可知①正确；

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定

相等，故②错误；

向而与丽互为相反向量，故③错误・

故选：A.

【点睛】

本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.

5.D

【分析】

根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量£）都是零向量时，由向量工石平行得不出方向

相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确.

【详解】

（1）若|£|=|月|,由于的方向不清楚，故不能得出2=5或a=一6，故（1）不正确.

（2）由零向量与任何向量平行，当向量2与坂平行时，不能得出［与B的方向相同或相反，

故（2）不正确.

（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正

确.

（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.

故选:D.

6.A

【分析】

利用平面向量的减法进行计算可得答案.

【详解】

ED=BD-BE=--AB--BC=--AB--（AC-AB}=-AB--AC,

2323、>63

故选:A

7.B

【分析】

利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.

【详解】

f->-»f3TfT、73，3T

由题得BF=BC+CF=BC+^EA=BC+HEB+BAI=BF+BAI

ft3（3-—16T12ft16fl2f

即=2一巳8E+84,解得BF=吧8。+匕BA,即8尸=二4+*6,

414）25252525

故选：B

【点睛】

方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和

数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.

8.A

【分析】

利用平面向量加法、减法以及数乘运算即可求解.

【详解】

-4-

UUU1UUUUUUlfll

DE=DB+BA+AE

1—.―.3--

=——BC-AB+-AC

34

=--b-a+—(a+b)=-■-a+—b.

34、)412

故选：A

9.ABD

【分析】

向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由而=(否可得旃=］而，利用向量

23

的线性运算通+/=2戒=6就'=6(而■一百日)，再结合而=再必+而集合判

断选项B；利用屈=而一不存=2说7-2前=2丽故选项C不正确，利用外心的性

质可判断选项D,即可得正确选项.

【详解】

因为G是DABC的重心，。是□ABC的外心，”是□ABC的垂心，

--1—.

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以GO=-"G,

2

对于选项A：因为G是□ABC的重心，M为的中点，所以而=26必，

又因为骸+GC=2G而，所以9+3仁=而，即仄宙a:。，故选项A正确;

对于选项B：因为G是口A5c的重心，M为3C的中点，所以而=2臣0，

_________.1____2__

AM=3GM>因为GO=Q”G,所以HG=§〃0,

AB+AC=2AM=6GM=6

=6HM-47id=6HM-4（HM+Md）=2HM-4Md,^AB+AC^UfM-4MO,

故选项B正确；

对于选项C：AH=AG-HG=2GM-2Gd=2OM'故选项C不正确；

对于选项D：设点。是□ABC的外心，所以点。到三个顶点距离相等，即

|O4|=|OB|=|OC|,故选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】

--1—.—.2—■

关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件GO=「HG得"G=w”。，利用向量的线

23

性运算结合AG=2GM可得出向量间的关系.

10.ABD

【分析】

求出口可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出b，利用共线向量的基本定理可判

断B选项的正误；计算出£出，可判断C选项的正误；计算出（6Z+1）•胚，可判断D选

项的正误.综合可得出结论.

【详解】

对于A选项，...而=37，,a=gAB,则|d=g|A8=l,A选项正确；

-6-

对于B选项,.前=32+石=通+石,=前一通=配,.•％〃觉,B选项正确:

一一1—•■I,24

对于C选项，a/?=-A5-5C=-x32xcos—^0,所以［与坂不垂直，C选项错误；

对于D选项，（6£+可•配=（而+/）•（前一通）=恁2—通2=0,所以，

（6a+b^±BC,D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的

判断，考查推理能力，属于中等题.

11.AB

【分析】

根据向量的有关知识逐项判断即可.

【详解】

解：对A,D由单位向量的定义知：单位向量的模为1,方向是任意的，故A错误，D正确；

对B,当B时，£与之可以不共线，故B错误；

对D,忖+囚=归-0,即对角线相等，此时四边形为矩形，邻边垂直，故D正确.

故选：AB.

12.BC

【分析】

在平面上作出砺=7,丽=石，|。4|=|。即=1，ZAOB=y,作/W，则可得出。

点在以A5为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD.由向量加法和减法法则判断

AB.

【详解】

rr

如图，OA=a<OB=b<\O^=\OB\=1,NAOB=0,则|图|冲|=1,即a-b=\,

B正确；

反=",由c-c)<b-2)=0得8C，AC,点。在以AB直径的圆上(可以与A,8重

合).AB中点是M,

则忖+@=|2^7卜百，A错；

p|=\oc\的最大值为QM+Mq=#+g<3c正确；

Z+B与两同向‘由图,两与"的夹角不可能为钝角.D错误.

故选：BC.

【点睛】

思路点睛:本题考查向量的线性运算，考查向量数量积.解题关键是作出图形，作出OA=a'

OB=b^OC=c^确定。点轨迹，然后由向量的概念判断.本题也可以放到平面直角坐

标系中用坐标解决.

43

-8-

【分析】

a

根据与向量万同向的单位向量是F计算即可.

\a\

【详解】

•.•向量彳=(-4,3),

万小小(-4)2+32=5,

一(43、

...与万同向的单位向量4=，

\55yz

43

故答案为:

14.4若

【分析】

由向量的加减运算可得四边形ABC。为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD为边长为

4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值.

【详解】

在四边形ABC。中，AC+CB+CD=^,即为荏+而=。，即通=皮，

可得四边形ABC。为平行四边形，又|通|=|而|=|也|=4，

可得四边形ABC。为边长为4的菱形,

则△8CO的面积为正EMBC的面积，即为火x4?=46，

4

故答案为：4G.

1

15.一

2

【分析】

利用共线向量定理可求4的值.

【详解】

由于向量；与Z+2B平行且Z+M为非零向量（否则平行），

所以存在〃GR,使得痴+万=〃（。+2石），即（丸一〃"+（1-2〃）五=0,

_-/力-〃=022

因为向量a2不平行，所以二。，解得.

"r2

故答案为：p

1

16.——

4

【分析】

先把|G+〃|=遥转化为了+必行+0？=6，利用夹角公式求cos〈4,B〉

【详解】

:\a+2b|=>/6,.-.(«+2^=6,即+4-5+奶？=6，

-10-

4+4x2xlxcos^,/?y+4xl=6

一1

COS〈。/?〉=--

故答案为：-5.

【点睛】

求向量夹角通常用cos(£©=一,还要注意角的范围.

2TT

17.(1)Z=-1；(2)—.

3

【分析】

(1)根据题意，设a=kh＞又£最不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出f的值;

(2)根据题意，设向量乙方的夹角为6；由数量积的计算公式可得恸、口以及2%，又由

a-h

cos6=,即可求出结果.

【详解】

1UU1UU

(1)根据题意，向量a=e1+e2,b=e2—tex

若allb,设a-kb'

ITIT、

则有e[+e2]=k

则有〈,解可得r=-l；

\l=K

(2)根据题意，设向量第5的夹角为。;

若则

z=2,b=e0—2e],

内叫

2zir2ir2|UTiiir.ur2

所以

\h\=le2-2elj=e2-4e,•\e2cos60°4-4e