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文档简介
第4节
■垠步通科溟,课前自主学习,基稳才能楼高
一、单摆
组成要求
细线摆线看成是不可伸长,且没有质量的细线
小球摆球看成是没有太小只有质量的质点
单摆是理想化模型:忽略在摆动过程中所受到的阻力,实验中尽量选择质量大、体积
小的小球和尽量细不可伸长的线。
二、单摆的回复力
1.回复力的提供:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
2.回复力的特点:在偏角很小时,单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,
方向范指向平衡位置.即尸=-爷0
3.单摆的运动规律:单摆在偏角很小时做简谐运动,其振动图像遵循正弦函数规律。
三、单摆的周期
1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法:控制变量法。
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球的质量公。
②振幅较小时,周期与振幅无关。
③摆长越长,周期越长;摆长越短,周期越短。
2.定量探究单摆的周期与摆长的关系
⑴周期的测量:用停表测出单摆M30—50)次全振动的时间t,利用7=引■算它的周
期。
(2)摆长的测量:用刻度尺测出细线长度儿用游标卡尺测出小球直径D,利用1=1。
+弃出摆长。
(3)数据处理:改变摆长.测量不同摆长及对应周朗.作出T-1、。/或图像,得
出结论。
3.周期公式
(1)公式的提出:周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式:即7与摆长,的二次方根成正比,与重力加速度g的二次方根
成反比。
4.周期公式的应用
由单摆周期公式可得g=竽,只要测出单摆的摆长,和周期?就可算出当地的重力加
速度。
1.自主思考——判一判
(1)制作单摆的细线弹性越大越好。(X)
(2)制作单摆的细线越短越好。(义)
(3)制作单摆的摆球越大越好。(X)
⑷单摆的周期与摆球的质量有关,质量越大,周期越小。(X)
(5)单摆的回复力等于摆球所受合力。(X)
2.合作探究——议一议
(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的,那么是否摆球的质量
越大,回复力越大,单摆摆动得越快,周期越小?
提示:不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外,还与摆球的质量有关,即
所以摆球质量增大后,加速度并不增大,其周期由7=2,与摆球的质量无关。
(2)多多观察,写出生活中你能遇到哪些单摆模型。
提示:坐钟、牛顿摆、秋千等。
字翔5霞if扁昌初课堂讲练设计,举一能通类题
考点一对单摆回复力及运动特征的理解
0通知识I
1.单摆的回复力
图11-4-1
(1)单摆受力:如图1L4-1所示,受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源:细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源:重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin。提供了使摆球振动的回复力。
2.单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时,sin吟又回复力F=mgsin0,所以单摆的回复力为F=心x(式
中x表示摆球偏离平衡位置的位移,,表示单摆的摆长,负号表示回复力尸与位移x的方向
相反),由此知回复力符合尸=-我,单摆做简谐运动。
0通题组I
1.下列有关单摆运动过程中的受力,说法正确的是()
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆经过平衡位置时合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
解析:选B单摆运动是在一段圆弧上运动,因此单摆运动过程不仅有回复力,而且有
向心力,即单摆的合外力不仅要提供回复力,而且要提供向心力,故选项A错误;单摆的
回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力,而不是摆线拉力的分力,故选项B正确,D错误;
单摆经过平衡位置时,回复力为零,向心力最大,故其合外力不为零,所以选项C错误。
2.一单摆做小角度摆动,其振动图像如图U-4-2所示,以下说法正确的是()
图11-4-2
A.心时刻摆球速度最大,摆球的回复力最大
B.友时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小
C.友时刻摆球速度为零,摆球的回复力最小
D.覆时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大
解析:选D在心时刻和友时刻摆球的位移最大,回复力最大,速度为零,A、C均错
误;在友时刻和右时刻摆球在平衡位置,速度最大,悬线拉力最大,回复力为零,故B错
误,D正确。
考点二”对单摆周期公式的理解
切1知识|
1.摆长/
(1)实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度,即1=L
/为摆线长,"为摆球直径。
(2)等效摆长。
图11-4-3(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的,所以甲摆的摆长为7-sina,
这就是等效摆长,其周期T=2n
图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,与甲摆等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙等
效。
图11-4-3
2.重力加速度g
若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态,g由单摆所处的空间位置决定,即
式中A为物体到地心的距离,〃为地球的质量,g随所在位置的高度的变化而变化。另外,
在不同星球上〃和"也是变化的,所以g也不同,g=9.8m/s,只是在地球表面附近时的取
值。
立通方法
[典例]有一单摆,其摆长7=1.02m,已知单摆做简谐运动,单摆振动30次用的时
间力=60.8s,试求:
(1)当地的重力加速度是多大?
(2)如果揩这个单摆改为秒摆,摆长应怎样改变?改变多少?
[思路点拨]
(1)单摆的周期7与2的关系:7=*
(2)秒摆的周期为2so
[解析](1)当单摆做简谐运动时,其周期公式
4jr27f6082
由此可知g=F,只要求出7值代入即可。因为T=-=^-s=2.027s,所以g=4^TT-7
111JU1
4x3.142xl.02,2,2
2
=---2027---皿〃=9.79m/so
(2)秒摆的周期是2s,设其摆长为7o,由于在同一地点重力加速度是不变的,根据单
摆的振动规律有:(=*,
”.二代122xl.02
故有:7o="p-=20272m=0.993mo
所以其摆长要缩短A/=/-1o=LO2m-0.993m=0.027mo
[答案](1)9.79m/s?(2)缩短0.027m
计算单摆的周期的两种方法
计算单摆的周期有两种方法,一是依据二是根据T.第一种方法利用
了单摆的周期公式,计算的关键是正确确定摆长。第二种方法利用了粗测周期的一种方法,
周期的大小虽然不取决于方和可但利用该种方法计算周期,会受到时间力和振动次数〃测
量的准确性的影响。
旗题组
1.甲、乙两个单摆摆长相等,将两个单摆的摆球由平衡位置拉开,使摆角a甲>。乙(a甲、
az都小于5。),在同一地点由静止开始同时释放,贝版)
A.甲先到达平衡位置B.乙先到达平衡位置
C.甲、乙同时到达平衡位置D.无法判断
解析:选C由单摆的周期公式可知周期7与1、g有关,与质量、摆动
的幅度无关,当在同一地点释放时,周期只与摆长有关,故同时释放,同时到达平衡位置。
2.一个单摆,在第一个行星上的周期为北,在第二个行星上的周期为&若这两个行
星的质量之比为肠:弱=4:1,半径之比用:是=2:1,贝(|()
A.北:。=1:1B.71:2=4:1
C.R:2=2:1D.刀:2=1:2
解析:选A单摆的周期公式为同一单摆即有隼方,又据万有引力定律
Mm-GMmu笈.屈父/4X1“
侬=%,有3=不,因此7t3c故刀:就后=\/荻1=1:1,故A正确。
3.一个单摆的摆长为1,在其悬点。的正下方0.191处有一钉子户(如图11-4-4所示),
现将摆球向左拉开到4使摆线偏角,<5。,放手后使其摆动,摆动到6的过程中摆角也小
于5。,求出单摆的振动周期。
图11-4-4
解析:释放后摆球到达右边最高点5处,由机械能守恒可知5和4等高,则摆球始终
做简谐运动。单摆做简谐运动的摆长有所变化,它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
小球在左边的周期为
小球在右边的周期为2=2九
北Ti
则整个单摆的周期为7=3+三
0通知识I
1.实验原理
单摆在偏角很小(小于5。)时的摆动,可以看成是简谐运动。其固有周期为
由此可得名=竽。据此,只要测出摆长,和周期4即可计算出当地的重力加速度值。
2.实验器材
摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等。
3.实验步骤
(1)做单摆:将线的一端穿过小球的小孔,并打一比孔大的结。然后把线的上端用铁夹
固定于铁架台上,在平街位置处做上标记。
(2)测摆长:用毫米刻度尺测出摆线长度/线,用游标卡尺测量出摆球的直径4则单摆
d
的摆长/=/线+,
(3)测周期:将单摆从平衡位置拉开一个小于5。的角,然后释放摆球,当单摆振动稳
定后,过最低位置时开始用秒表计时,测量〃次(一般取30—50次)全振动的时间人则周
期
(4)变摆长:将单摆的摆长变短(或变长),重复实验三次,测出相应的摆长/和周期To
4.数据处理
(1)平均值法:每改变一次摆长,将相应的1和7代入公式中求出g值,最后求出g的
平均值。
设计如下所示实验表格
重力加速度重力加速度g的
实验次数摆长〃m周期T/s
g/(m-s-2)平均值/(m・s-z)
1g+4+刍
83
2
3
⑵图像法:由得/=菅],作出涔,图像,即以『为纵轴,以1为横轴。
其斜率A=?,由图像的斜率即可求出重力加速度g°
T2/s2
Ol/m
图11-4-5
5.误差分析
(1)系统误差:主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定,摆球是否
可看做质点,球、线是否符合要求,摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪
段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题,就可以使系统误差减小到远小于偶然误差
而达到忽略不计的程度。
(2)偶然误差:主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此,要注意测准时间(周期)。
要从摆球通过平衡位置开始计时,并采用倒计时计数的方法,即4,3,2,1,0,1,2,…在数
“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差,应进行
多次测量后取平均值。
6.注意事项
(1)选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线,长度一般在1m左右,小球应选用密度
较大的金属球,直径应较小,最好不超过2cm。
(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上,应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线
下滑、摆长改变的现象。
(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°。可通过估算振幅的办法掌握。
(4)摆球振动时,要使之保持在同一个竖直平面内,不要形成圆锥摆。
(5)计算单摆的振动次数时,应从摆球通过最低位置时开始计时,为便于计时,可在摆
球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数,且在
数“零”的同时按下秒表,开始计时计数。
0通方法
[典例]在做“用单摆测定重力加速度”的实验时,用摆长,和周期7计算重力加速
度的公式是g=o若已知摆球直径为2.00c叫让刻度尺的零点对准摆线的悬点,摆
线竖直下垂,如图11-4-6所示,则单摆摆长是________mo若测定了40次全振动的时间为
75.2s,单摆摆动周期是________o
为了提高测量精度,需多次改变/值,并测得相应的7值。现将测得的六组数据标示
在以,为横坐标,以/为纵坐标的坐标系上,即图11-4-7中用“•”表示的点,贝U:
图11-4-7
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是o
(2)试根据图中给出的数据点作出7和1的关系图线,根据图线可求出g=
m/s2o(结果取两位有效数字)
[思路点拨]
(1)摆长等于摆线的长度与小球半径之和。
(2)用直线连接各点时要使不在直线上的点均匀分布在直线两侧,离线较远的点舍弃不
用。
4元2
(3)九1图线的斜率A与g的关系:k=
go
R4n27一
[解析]由T=2TT\可知g=7-。由图可知:摆长1=(88.50-1.00)cm=87.50cm
t
=0.8750mo7=-=1.88so
(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5。。
(2)把在一条直线上的点连在一起,误差较大的点平均分布在直线的两侧,则直线斜率
k=%。由¥=驾,可得g=9.8m/s2(9.9m/s?也正确)。
ZXJ.ZX1K
[答案]见解析
0通题组
1.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中:
(1)用游标卡尺测定摆球的直径,测量结果如图11-4-8所示,则该摆球的直径为
________cmo
(2)小组成员在实验过程中有如下说法,其中正确的是o(填选项前的字母)
A.把单摆从平衡位置拉开30°的摆角,并在释放摆球的同时开始计时
B.测量摆球通过最低点100次的时间力则单摆周期襦
C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长,代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值
偏大
D.选择密度较小的摆球,测得的重力加速度值误差较小
解析:⑴主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数,0.9cm+7X,mm=0.97cm,
不需要估读。
(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5。,并从平衡位置计时,故A错误;
若第一次过平衡位置计为“0”则周期7=看,若第一次过平衡位置计为“1”,则周期7=彘,
ou21y.u
B错误;由?=27^,|得€=竽,其中/为摆长,即悬线长加摆球半径,若为悬线长加摆
球直径,由公式知g偏大,故C正确;为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对
误差,应选密度较大体积较小的摆球,故D错误。
答案:(1)0.97(2)C
2.用单摆测定重力加速度的实验装置如图11-4-9所示。
(1)(多选)组装单摆时,应在下列器材中选用(选填选项前的字母)。
A.长度为1m左右的细线
B.长度为30cm左右的细线
C.直径为1.8cm的塑料球
D.直径为1.8cm的铁球
(2)测出悬点。到小球球心的距离(摆长)2及单摆完成Z?次全振动所用的时间t,则重
力加速度无=(用2、仄方表示)。
(3)下表是某同学记录的3组实验数据,并做了部分计算处理。
组次123
摆长Z/cm80.0090.00100.00
50次全振动时间t/s90.095.5100.5
振动周期T/s1.801.91
重力加速度g!(m-s-2)9.749.73
2
请计算出第3组实验中的7=s,g=m/so
(4)用多组实验数据作出图像,也可以求出重力加速度已知三位同学作出的f-L
图线的示意图如图1L4-10中的a、b、c所示,其中a和6平行,b和c都过原点,图线6
对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线瓦下列分析正确的是(选
填选项前的字母)。
图11-4-10
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线6对应的g值
解析:(1)组装单摆时,应选用1m左右的细线,摆球应选择体积小、密度大的球,选
项A、D正确。
(2)单摆的振动周期7=5
ggR,=4n2Z4nnL
根据T=2TT\I%得g=7-=―厂。
/o
(3)7;=—=2.01So
ggL/=4nL.2
根据7=2TFA/3得g=7-29.76m/so
(4)根据7=2口^|,得/=空/,即当2=0时,7=0。
出现图线a的原因是计算摆长时过短,可能是误将悬点。到小球上端的距离记为摆长,
选项A错误;对于图线c,其斜率A变小了,根据A=],可能是7变小了或/变大了。选
4n24n2
项B中误将49次全振动记为50次,贝!]周期7变小,选项B正确;由覆7=A得g=~^,则k
变小,重力加速度g变大,选项C错误。
答案:⑴AD⑵竺^Tt岩nL(3)2.019.76(4)B
课后层级训练,步步提升能力
一、基础题畲熟
1.在如图所示的装置中,可视为单摆的是()
解析:选A单摆是由不可伸长的细线和金属小球组成的,其悬点应在摆球摆动过程中
固定不变,故只有A项正确。
2.在月球上周期相等的弹簧振子和单摆,把它们放到地球上后,弹簧振子的周期为71,
单摆的周期为&则石和石的关系为()
A.71>冗B.T=T2
C.£<£D.无法确定
解析:选A弹簧振子的周期由振动系统本身决定,与重力加速度无关,故北=7月,
对单摆来说,由可知,其周期与单摆所处位置的重力加速度g有关,因gQg月,
故尔7月,所以刀>&A正确,B,C、D均错误。
3.如图1所示,光滑糟的半径A远大于小球运动的弧长,今有两个小球(视为质点)同
时由静止释放,其中甲球开始时离槽最低点。远些,则它们第一次相遇的地点在()
甲
乙
图1
A.。点B.。点偏左
C.。点偏右D.无法确定,因为两小球质量关系未定
解析:选A由于半径火远大于运动的弧长,所以小球做简谐运动,其周期都为T=
与位移的大小无关,故同时到达。点,A正确。
4.如图2是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像,以向右的方向作为摆球偏离平衡位移
的正方向,从方=0时刻起,当甲第一次到达右方最大位移处时,乙在平衡位置的()
A.左方,向右运动B,左方,向左运动
C.右方,向右运动D.右方,向左运动
解析:选D甲第一次到达右方最大位移处时,t=1.5s,此时乙的位移为正值,且正
在减小,故乙此时在平衡位置右侧,且向左运动,D正确。
5.(多选)在用单摆测重力加速度的实验中,测得单摆偏角小于5。,实验中某学生所
测g值偏大,其原因可能是()
A.实验室离海平面太高
B.摆球太重
C.测出〃次全振动时间为t,误作为5+1)次全振动时间进行计算
D.以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算
解析:选CD由单摆的周期公式g值偏大,可能是周期算小了或是摆长算
长了,选c、Do
二、能力题⑥通
6.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下,某同学应用单摆原
理测量窗的上沿到房顶的高度,先将线的下端系上一个小球,发现当小球静止时,细线恰
好与窗子上沿接触且保持竖直,他打开窗子,让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动,如图3
所示,从小球第1次通过图中的6点开始计脚,第21次通
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