中学高三12月高考适应性月考卷（五）数学（理）试卷

中学高三12月高考适应性月考卷（五）数学（理）试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题（共12题，共60分）

史+2=1

1、已知椭圆C：43的右焦点为尸，过点尸的两条互相垂直的直线4,4,4与椭圆c相交于点幺,

B,4与椭圆c相交于点C,D,则下列叙述不正确的是（）

A,存在直线4,4使得回+IS值为7

48

B,存在直线4,4使得⑷+3值为了

0.四边形/"CD的面积存在最大值，且最大值为6

576

D.四边形Z3CD的面积存在最小值，且最小值为49

【考点】

【答案】D

【解析】当直线4,4一个斜率为零一个斜率不存在时，可得ZR即为长轴，8为通径，则

则A是正确的；

当直线4,4的斜率都存在时，不妨令直线《的斜率为上亿=°）,由题意知4的直线方程为

X2/

-+-

43

a

收T

消去j得：（3+4炉）/-8以+4炉-12=。设月（中斗）

联立方程了

+_既_4/T2

当），由韦达定理知：七~一3+破/~-3+4^,所以

网=所|丁司=悭，同理印=兼?特别地当口时，I如印子

\AB\+\CD\=—

即।17,则B正确

_\AB[\CD\

由于dB,CD,所以皿2

'12（1+炉）[42（1+切、

■+2*12=

3+姬33?+434+25必+设=

又'八J

288

Se6

e

当★不存在或#=o,SC»g=—6A.,故^IBCDL49」，综上所述c选项正确，

排除ABC选项，故选D.

2、已知半径为5的球。被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4,则分别以两截面为上下底的

圆台的侧面积为（）

A.7v,2/rB.35及sr

C.7缶或35岳D.（7a+*,或（35岳可开

【考点】

【答案】c

【解析】分类讨论：

（D当两截面圆在球心的同侧时，如下图，则为大截面圆的直径，CD为小截面圆的直径，梯形

dBDC为圆台的轴截面，由题意知，0°i=3,空=匕则圆台的高为002=1,AC=y/2,所以圆

%=3831+6兀）后=7031

台的侧面积为

(2)当两截面圆在球心的异侧时，如下图，则4R为大截面圆的直径，CD为小截面圆的直径，梯形

为圆台的轴截面，由题意知，°°\=300亡4则圆台的高为马4=7,AC=5^2,所以

圆台的侧面积为综上所述，故选c.

3、如图，函数/(X)的图象为折线4BC,则不等式/卜)之的解集是(

)

A.曰唳H』C.曰I.

【考点】

【答案】B

【解析】如下图，由需满足函数/(x)的图象不在函数J图象的下方,

令虱x)=w;所以/(x)=(x+l”x

则g(x)=X/在(Yb-1］上单调递减，在(-L+8)上单调递增，

且当为＜0时，g(x)〈O,晨0)=0,晨1)=8,

,、—x+2e>x€[—101»

/W=(31J

而由图可知函数-初+如xe(O»2],则=

由题意可知，不等式的解集为卜3,1],故选B.

4,已知函数/（%）=科+8=,若〃2x-l）2/（x）,则X的取值范围为（）

A（TM⑹朋c.（T]JM

【考点】

【答案】A

【解析】由，（x）=J'+8皿，知，^）为£上的偶函数，

且当xA。时，/卜）=-一最之17沁占0小）为增函数

故占/（X）等价于不等式|2x-l怛回,

|-00,-u[V+00）

解得X的取值范围为I3」

故选A.

5、规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的

三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，

称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的a=891,则输出的"为（）

fWI

/输？n/

［结'束）

A.2B.30.4D.5

【考点】

【答案】C

【解析】由题意知：输入的煤=891,则程序运行如下：

当存=1时，腑=981,£=189,a=792,

当〃=2时，m=972,£=279,a=693,

当泮=3时，加=963,£=369,a=594,

当肛=4时，m=954,£=459,a=495,

此时程序结束，输出"=4,故选c.

6、若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱

正视图侧视图

俯视图

A.2B,26c.3D.2-^2

【考点】

【答案】B

【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A-BCD,三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对

角线AC即为三棱锥最长的棱，且/C=2e,故选B.

7、已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过点尸且倾斜角为5的直线交曲线C于4,8两点，则弦血

的中点到」轴的距离为（）

161385

A.3B,3c,3D,3

【考点】

【答案】D

［解析］由题意知过点尸（L0）的直线方程为y=<3（x-l）

y=6（x-i）,

联立方程/=44消去J得：3x2-10x4-3=0

设/■巧，乃）,则覆巧行,

._55

所以弦4E的中点的横坐标为2-3,故到」轴的距离为

故选D.

8、在等差数列｛编中，若与+，+%=3,则数列｛%｝的前15项的和为（）

A.15B.25C.35D.45

【考点】

【答案】A

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,首项为4,

则：％+，+%=招+2亚=3%=3

v=^-^i-xl5=15«.=15

故2r，故选A.

9、为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从4名男教师和5名女教师中,选取3人,组成创文明志愿者

小组,若男、女至少各有一人，则不同的选法共有

A.140种B.70种

C.35种D.84种

【考点】

【答案】B

【解析】分两类：

（1）2男1女，有吟、=30种

1

C4

种

有

女

2男2

所以共有.C5+C4,恁=70种，

故选B.

10、为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与

日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）

—日均最离气意

一日均最低气濯

A.各月的平均最高气温都不高于25度B.七月的平均温差比一月的平均温差小

C.平均最高气温低于20度的月份有5个D.六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度

【考点】

【答案】C

【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，

选项C的说法是错误的.

故选C.

=l-i1+i

11、复数z-l+i1-J,则复数z的虚部是()

A.-2B.-2iC,2D.i

【考点】

【答案】A

1T_]+i_(l-ij(1+»_^4i

【解析】由题意可得：％1(l+；)(l-i)2

则复数N的虚部是-2.

故选A.

12、已知集合rx-9iJ,集合3斗eZ|(x-3)(x-10)M0},则仙3=()

A.0B[3,5)D(9,1O]C,{X4,10}DR

【考点】

【答案】c

【解析】求解分式不等式可得："UY'S)"%+8),

为=(」。｝

求解二次不等式可得:3,4,5,&7,8,9

所以"C3={3，％10},故选配

二、填空题(共4题，共20分)

13、在A45C中，D为WC上一点，且4D=2,DC=\,2D为N4HC的角平分线，则&43c面积的

最大值为.

【考点】

【答案】3

【解析】如图，由于BD为WC的角平分线，且3=2,CD=1,

AB^AD=2

由角平分线定理知：BC~DC~,

令3C=附，AB=2m,由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：1(用＜3,

4«2+«2-959

cosZABC=

在A45C中，由余弦定理知:2x2fflxm4痴'，

所以:

Sj%=-2mmsin乙LSC=m2V1-cos2ZldLBC

2

14：=X（MT）（9*），TM-1+9-M

=m~1T

当且仅当=即附=、氐时取等号,

所以AdSC面积的最大值为3.

14、在。5c中，AB=4,4C=6,点。为A45C外接圆的圆心，则/。03=.

【考点】

【答案】-10

【解析】如图，由。是A4RC外接圆的圆心，取4R的中点M,取dC的中点N,连接。M,ON,所

以

AOCB=AO（2S-/C）=2OAB-2d-2c=（S+W）AB-（^+布）•

15、已知凡为数列｛4｝的前程项和，■=1，当时，％1+1=4，则/=.

【考点】

【答案】128

【解析】由.=1,且*1+1=4,所以&+l=4i,两式做差可得：4+1=24

所以｛4｝是以首项为1,公比为2的等比数列，

则/=2A】，所以％=2?=128

16、若x,J满足约束条件则z=3x-4j的最小值为.

【考点】

【答案】T

3zz

y——x————

【解析】由题意可知，线性区域是如图的阴影部分，由.44,则4为直线的截距，由图可知，当

三、解答题(共6题，共30分)

17、已知抛物线C的方程为)’=取，以抛物线C的焦点尸为极点，以X轴在点万右侧部分为极轴建立极

坐标系.

(1)求抛物线c的极坐标方程；

-L+-L

⑵P,。是曲线c上的两个点，若用，尸Q,求网尸。1的最大值.

【考点】

4,小2+万

p-------{p>0)-------

【答案】(D1-COS&.(2)4

【解析】试题分析：

(1)结合抛物线的直角坐标方程转化为极坐标方程可得抛物线C的极坐标方程是

P=

2+/

-L+-L

⑵结合(1)中的结论和三角函数的性质可得忸下I尸的最大值为~4~

试题解析:

(1)由抛物线的定义得：4+pcose

aP=\4qS>0)

即：1-COS&

(2)由(1)得：

1」1,1+1-皿(呜)_2+2皿._2+一曲]”

西+质|=彳+a=—二

<2+^2

4,

伊=把J_+_!_2+拒

当且仅当一4时等号成立，故忸尸1尸的最大值为4.

以已知函数〃加等也

(1)求/卜)的单调区间；

(2)若强(x+lH^G+D+x+Z-b2'"。在-2'*°)上恒成立，求正整数万的最小直

【考点】

【答案】(1)/日)的单调递增区间为(-L°),单调递减区间为(°,+8).(2)1.

【解析】试题分析：

—^―l-/n(x+l)

⑴由题意求导可得',«，据此可得/(X)的单调递增区间为(一匕°),单调递

减区间为(°,+8)

后上+2)口心+1)+1]r_i,+j

(2)由题意可得在L2J上恒成立即可.构造函数

W)—(x+2)l>(x+l)+l]

一"1,结合函数的性质和⑴中的结论可得正整数k的最小值为1.

试题解析：

1

(1)函数/(x)的定义域为(—L+8)，'(x)=--

由于/,(。)=<^=-1-1-加6+1)在(_1,+8)上是减函数,

所以当Tvx＜。时，，'(x)＞°；当x＞。时，/'卜)＜。

所以/㈤的单调递增区间为(i°),单调递减区间为(°,+8).

(2)由WMX+1)+2/4X+1)+X+2-痴?卬4。在「了+8)上恒成立,

公口心+口

(/2)1)+r.i,+j

整理得：在L2J上恒成立即可.

(x+2)[比(X+l)+l[(X+2)^/B(X+1)+1]

枪)=

产1

令

当”＞一1时,

/卜)＜皿吵1=〃触

一一1+C0

在L2

侍。上恒成立,

由(1)知/(X)的单调递增区间为(-L°),单调递减区间为(°,+8)

所以有〃x)*«=/(。)=1,即Mx)＜/(x)《l恒成立,

所以正整数k的最小值为1.

3

—5"^5~=4々＞6＞0)—

19、椭圆C：〃状的离心率为2,过其右焦点尸与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相

交于点M,।12.

(D求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左顶点为4,右顶点为3,点尸是椭圆上的动点，且点尸与点4,3不重合，直线

以与直线x=3相交于点S,直线网与直线x=3相交于点7,求证：以线段改为直径的圆恒过定点.

【考点】

三+2=1

【答案】（1）41.（2）证明见解析.

【解析】试题分析:

三+为=1

（1）由题意可得a=2,6=1,则椭圆c的标准方程为41

（A3）f-修焉］臂斓，则以

⑵由题意可得5（支5支），结合题意可得圆的方程为

线段ST为直径的圆恒过定点

试题解析：

I

因为g=—=lAfFl

(D解：。2,又।2,联立解得：a=Zb=l,

立+力=1

所以椭圆c的标准方程为41

（2）证明：设直线AP的斜率为k,则直线AP的方程为了=*（'+2）,

联立*=3得5（支5斤）

设%,%）,代入椭圆的方程有:4=K,工垃）

整理得了；=1（片_4）1

,故XT4

F=

又升+2,/-23,〃分别为直线PA,PB的斜率）,

j>=—（x-2）

所以直线PB的方程为：•

联立X=3得I—4",

卜—3"停一副福焉

所以以ST为直径的圆的方程为:

x=3土也

令)=0,解得:2,

3土半。

所以以线段ST为直径的圆恒过定点I2/

20、如图，在三棱柱疑C—44G中，AB1AC,顶点4在底面4BC上的射影恰为4C的中点M,

AB=AC=2,4=3.

⑴证明：疑,明；

(2)若点尸为4G的中点，求二面角尸一公一4的余弦值.

【考点】

【答案】⑴证明见解析；(2)9

【解析】试题分析：

(D由题意结合几何关系可得依平面44CG,结合面面垂直的性质有加,cq

(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角尸一公一4的余弦值是

试题解析：

(D证明：因为顶点4在底面4HC上的射影恰为AC的中点M,

所以4M，平面加,,又心仁平面NBC,所以4W4B,

又因为用_L/C,而4Mu平面4/CC】/Cu平面44C0且4MC/C=M

所以451平面4/CC],又因为C0U平面44CC1,

所以期，用.

(2)解：如图所示，以M为原点，建立空间直角坐标系M一彬，

则M(&0.0).3(2-L0),/(0.-L0).4(&。，2&),

.(2»0,2阕,C(0>L0),Ci(a2,2阕,P(l,L2&)

于曰疝=(20,0),扇=(0,L2闾

求得平面国的一个法向量为"=(0'4—&),

由方=伍。,°),方=(L22闾，求得平面痴的一个法向量

,一一、|麻•司105s

为加(―)，则—>=而=皿=丁，

5后

所以二面角尸一43一4的余弦值为9.

21、随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通

安全、道路建设等诸多方面.在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此，

合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年,

根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示.

机动车保有量G）

235

230

225

220

215

210

205

200

195

190

185

180

175

170

165

（X）

°I2345“年份代码

（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；

（2）建立机动车保有量J关于年份代码X的回归方程；

（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量.

附注：回归直线方程£=&+G中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

【考点】

【答案】（1）答案见解析；（2）£=15.6x+1514（3）245万辆.

【解析】试题分析：

（1）结合所给的数据绘制散点图即可；

（2）结合所给的数据计算可得回归方程为£=15.6x4-151.4

（3）结合线性回归方程的预测作用可得2017年该市机动车保有量是2