人教版(新教材)高中物理选择性必修一学案：2 4 单摆

人教版（新教材）高中物理选择性必修第一册PAGEPAGE1第4节单摆核心素养物理观念科学思维科学探究1.知道单摆的概念，了解单摆运动的特点。2.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会利用单摆周期公式测定重力加速度。通过实验探究单摆的周期与摆长的关系。知识点一单摆、单摆的回复力1.单摆(1)用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线长度相比也可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。(2)单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。2.单摆的回复力(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供的，如图所示。(2)在最大偏角很小的条件下，sinθ≈eq\f(x,l)，其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移。单摆的回复力F＝－eq\f(mg,l)x，令k＝eq\f(mg,l)，则F＝－kx。(3)在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。〖思考判断〗(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。(×)(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。(√)(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。(×)(4)单摆是一个理想化的模型。(√)回复力和向心力都是按效果命名的，一定要清楚它们的来源。回复力是沿振动方向上的合力，而不是物体受到的合力。在选项图所示的装置中，可视为单摆的是〖提*示〗A知识点二单摆的周期〖观图助学〗如图所示：(1)单摆振动的周期和振幅无关——单摆的等时性把悬挂在同一高度的两个相同的单摆的摆球拉到不同高度同时释放，使其做简谐运动。现象：摆球完成一次全振动所用时间相同。(2)单摆的周期与摆球质量无关摆长相同，将质量不同的摆球拉到同一高度同时释放，使其做简谐运动。现象：两摆球振动是同步的。(3)单摆振动的周期和摆长有关摆长不同，将质量相同的摆球拉到同一高度同时释放使其做简谐运动。现象：摆长较长的摆球完成一次全振动所用时间较长。1.探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关。②振幅较小时周期与振幅无关。③摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小。

2.周期公式(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。(2)公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。〖思考判断〗(1)摆球的质量越大，周期越大。(×)(2)单摆的振幅越小，周期越小。(×)(3)单摆的摆长越长，周期越大。(√)1.单摆周期公式是谁得出的？〖提*示〗伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式为T＝2πeq\r(\f(l,g))，并发明了带摆的计时仪器。2.什么叫秒摆？〖提*示〗周期为2s的单摆，叫作秒摆。振幅较小时，周期与振幅无关。核心要点单摆及单摆的回复力〖观察探究〗如图所示(1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？〖提*示〗(1)回复力不是合外力。单摆的运动可看做是变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力。(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。〖探究归纳〗1.受力规律(1)摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动，做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分量的合力提供。(2)摆球以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，回复力由摆球重力的切向分力提供(或者说是由摆球所受合外力沿圆弧切向分力提供)。2.运动规律单摆的运动既有圆周运动，又有简谐运动(摆角很小的情况下)(1)单摆振动的平衡位置：回复力F为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动的向心力。(2)单摆振动的最大位移处，向心力(F′－G1)为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力。〖试题案例〗〖例1〗图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中()A.摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零C.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大D.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大〖解析〗摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零；在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大。〖答案〗D方法凝炼单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力。摆球所受的合外力在摆线方向的分力提供摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力。因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)。〖针对训练1〗关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是()A.摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B.摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C.摆球受的回复力最大时，摆线中的张力比摆球的重力大D.摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向〖解析〗摆球只受重力和摆线的张力作用，回复力和向心力都是按作用效果命名的力，受力分析不予考虑，A错误；摆球在最大位移处受的回复力最大，向心力为0，此时摆线中的张力与重力沿摆线方向的分力大小相等(即摆线张力小于重力)，回复力在平衡位置处(摆球最低点)为0，此时小球速度最大，由F向＝eq\f(mv2,l)知此时向心力最大，加速度为向心加速度，方向指向圆心，B正确，C、D错误。〖答案〗B核心要点对单摆的周期公式的理解及应用〖观察探究〗下列三种情况单摆的等效摆长l等效＝lsinα做垂直纸面的小角度摆动l等效＝lsinα＋l垂直纸面摆动l等效＝l纸面内摆动左侧：l等效＝l右侧：l等效＝eq\f(2,3)l纸面内摆动T＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(2l,3g))〖探究归纳〗1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。2.对周期公式的理解由公式T＝2πeq\r(\f(l,g))知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。(1)摆长l①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l＝L＋eq\f(d,2)，L为摆线长，d为摆球直径。②等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长。其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。(2)重力加速度g若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝eq\f(GM,R2)，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值。不同地点g的取值不同。特别提醒(1)摆长l并不等于绳长，而是等于摆球球心(质量均匀)到摆动圆弧的圆心的距离。(2)公式中的g不一定等于9.8m/s2，尤其是单摆在复合场中或斜面上摆动时，g值往往因情境而异。〖试题案例〗〖例2〗如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动)()A.让小球在纸面内振动，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))B.让小球垂直纸面振动，周期T＝2πeq\r(\f(3l,2g))C.让小球在纸面内振动，周期T＝2πeq\r(\f(3l,2g))D.让小球垂直纸面振动，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))〖解析〗让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))；让小球垂直纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)l＋l))，周期T′＝2πeq\r(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)＋1))l,g))。〖答案〗A方法凝炼单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))是在单摆做简谐运动的条件下才适用的，改变单摆的摆长能改变单摆的周期，同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同，单摆的周期与振幅、摆球的质量无关，另外根据周期公式的变形g＝eq\f(4π2l,T2)还可以测重力加速度。〖针对训练2〗(多选)如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则()A.如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B.如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C.无论两球质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D.无论两球质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧〖解析〗单摆做简谐运动的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))与摆球的质量无关，因此两单摆周期相同。碰后经过eq\f(1,2)T都将回到最低点再次发生碰撞，下一次碰撞一定发生在平衡位置，不可能在平衡位置左侧或右侧，故C、D正确。〖答案〗CD

1.(对单摆模型的理解)(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想条件是()A.摆线质量不计B.摆线长度不伸缩C.摆球的直径比摆线长度小得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动〖解析〗单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D错误。〖答案〗ABC2.(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是()A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大〖解析〗由题图读出t1时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误；t3时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确；t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确。〖答案〗CD3.(对单摆周期公式的理解)把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动()A.变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长B.变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长C.变快了，要使它恢复准确，应增加摆长D.变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长〖解析〗把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g变小，则周期T＝2πeq\r(\f(l,g))＞T0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了。要使它恢复准确，应缩短摆长，B项正确。〖答案〗B4.(单摆周期公式的应用)如图所示是两个单摆在同一地点的振动图像。(1)甲、乙两个