第四章 实数（规律探索和无理数计算扩展）-苏科版八年级《数学》上册单元速记巧练（解析版）

第第页第四章实数规律探索典例1如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】观察数列可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，1、、，则前7排共有个数，在排列中是第个数，，表示的数正好是第10轮的最后一个，即表示的数是，前2014排共有个数，而，表示的数正好是第676369轮的第一个数，即表示的数是1，，与表示的两个数的积是，故选：B．跟踪训练1观察下列各式：①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用题中的等式可得规律为：＝，将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可．【详解】根据题意，第n个等式为＝∴＝＝故选择：C．典例2“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（

）个①若是的小数部分，则的值为；②若（其中为有理数），则；③，则④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先估算出，则，然后对进行分母有理化即可判断①；根据推出，正在由为有理数，得到方程组，解方程组即可得到答案；只需要根据，推出，即可判断③；证明，然后对原式裂项即可判断④．【详解】解：由题意得，∵，∴，∴，∴，故①错误；∵，∴，∴，∴，∴，∵为有理数，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，故④正确；故选B．跟踪训练2有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第101个数是．【答案】【分析】先通过观察分析得出这一列数的规律是，再根据这一列数的变化规律求解即可．【详解】解：第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是，第5个数是，第6个数是，……第n个数是，∴当时，∴第101个数是．故答案为：．无理数整数部分的有关计算典例3先阅读下面的解答过程，然后再解答：要对形如的式子化简，只要找到两个数、，使，，即，，那么便有．（1）用上述方法化简：=（2）若的整数部分为，小数部分为，则=【答案】//【分析】（1）根据题目提供的方法将原式化为即可；（2）将原式化为，进而得到，在根据算术平方根的定义以及不等式的性质估算的大小，确定的值，代入计算即可．【详解】解：（1），故答案为：；（1），∵，∴，∴的整数部分是，小数部分，∴，故答案为：．跟踪训练3阅读与思考阅读下面的文字，并完成相应的任务．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以减去它的整数部分就可以得到小数部分，于是我们需要先对这个数进行估值．因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．任务：已知a是的整数部分，b是的小数部分．(1)求a，b的值．(2)求的算术平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可解决；（2）把求得a，b的值代入计算即可．【详解】（1）解：因为，所以，所以，所以，；（2）解：由（1）得，，所以，所以的算术平方根是．典例4阅读下面的文字，解答问题．大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．(1)求出的整数部分和小数部分．(2)若其中是整数．且，请求出的相反数．(3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为(2)(3)1【分析】（1）先估算，得到的小数部分1，代入所求代数式计算即可；（2）先估算，得到的整数与小数部分，从而得到的结果，求出、的值，代入计算即可求得其相反数；（3）由，根据不等式的性质可得，，从而得到，的值，代入计算即可．【详解】（1）解：，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为3，小数部分为；（2）解：，的整数部分为2，小数部分为，，是整数，且，，，，相反数为；（3）解：，，，，，．跟踪训练4我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：(1)的小数部分是________，的小数部分是________．(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．(3)若，其中x是整数，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)11．【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴的整数部分为3，∴的小数部分为，∵，∴，∴即，∴的整数部分为1，∴的小数部分为，故答案为：，；（2）解：∵，a是的整数部分，∴a=9，∵，∴的整数部分为1，∵b是的小数部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整数，且，∴x=9，y=，∴1．观察分析下列按某一规律排列的数据：0，，，3，，……，那么第10个数据应该是．【答案】【分析】观察数据，得出规律：第n个式子为，即可求出第10个数据．【详解】解：观察数据，得出规律：0，，，，，……，第n个式子为，所以第10个数据应该是．故答案为：．2．观察：，即；，即；猜想：【答案】【分析】由，得，据此即可求解．【详解】解：由，得∴故答案为：3．小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则.【答案】57【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），令求出a与b的值，即可求得的值．【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数），，，则．故答案为：57．4．观察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______．(2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______．【答案】(1)，(2)（n为正整数），见解析【分析】（1）根据前3个等式反映的规律解答即可；（2）利用（1）的解答可得规律：，然后利用算术平方根的定义证明即可．【详解】（1）解：第1个等式为：；第2个等式为；第3个等式为：；所以猜想第4个等式为：；……，第9个等式为：，即；故答案为：，；（2）第个等式所反映的规律为：；证明：∵n为正整数，；∴（n为正整数）．5．阅读下列解题过程并解答问题：；；…(1)填空：______，_______．(2)利用上面隐含的规律计算：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；（2）归纳总结得到一般性规律，利用其规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．【详解】（1）解：，；故答案为：，；（2）由观察可知：，则：．6．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值．【答案】【分析】由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可．【详解】解：∵，，，∴∴．∵，x为的整数部分，y为的小数部分，∴，．∴．答：的值为．7．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：（1）的小数部分是，的整数部分是，求的值；（2）已知，其中是一个整数，，求．【答案】（l）1；（2）28．【分析】（1）先估算出和的大致范围，再求得a、b的值，然后代入计算即可；（2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后进行计算即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴∴∵∴∴原式．8．（1）如果的小数部分为