高中数学选择性必修一课件：模块综合试卷(人教版)

模块综合试卷(时间：120分钟

满分：150分)1.直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为√解析因为直线y＝2x－3的斜率为2，12345678910111213141516一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)171819202122又直线l过点(－3,0)，2.已知椭圆的中心在原点，离心率e＝

且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为√解析抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，∴椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，∴c＝1，123456789101112131415161718192021223.已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为A.(x－1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2C.(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4√12345678910111213141516171819202122解析圆心在y＝x上，设圆心坐标为(a，a)，∵圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，∴圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，12345678910111213141516171819202122∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为√123456789101112131415161718192021225.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为√12345678910111213141516171819202122解析根据题意，知点P在圆C上，12345678910111213141516171819202122又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.√12345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516171819202122因为AB的中点坐标为(2，－1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则当△PA1C的面积最小时，DP等于√12345678910111213141516171819202122解析根据题意，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DP＝x(0≤x≤5)，故可得P(0,2，x)，A1(0,0,5)，C(1，2,0)，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122当且仅当x＝1时，△PA1C的面积最小.故满足题意时，DP＝1.12345678910111213141516171819202122当且仅当x＝1时，△PA1C的面积最小.故满足题意时，DP＝1.123456789101112131415161718192021228.如图，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为√12345678910111213141516171819202122解析根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos120°，123456789101112131415161718192021229.若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值可能是A.－13 B.13C.15 D.18√12345678910111213141516二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)171819202122√解析圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心C(1，－2)，半径r＝5，若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则圆心C(1，－2)到直线l的距离d<3，如图.12345678910111213141516171819202122∴－13<c<17.√12345678910111213141516171819202122√由|PF1|>|PF2|，知△PF1F2不可能为等边三角形，故D正确.1234567891011121314151617181920212211.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为A.|BF|＝3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2＝6x√12345678910111213141516171819202122√√解析由题意，得以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，且∠ABD＝90°，由抛物线定义，可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，12345678910111213141516171819202122∴|BF|＝6.又焦点F到准线的距离为p＝|BF|sin30°＝3，则抛物线方程为y2＝6x，则BCD正确，A错误.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点.则A.CD⊥ANB.BD⊥PCC.PB⊥平面ANMDD.BD与平面ANMD所成的角为30°√12345678910111213141516171819202122√解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，12345678910111213141516171819202122设平面ANMD的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516171819202122令x＝1，得n＝(1,0，－1).∴BD与平面ANMD所成的角为30°，∴D正确.x－2y＋2＝0解析根据题意，设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0(C≠4)，12345678910111213141516三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.直线l到其平行直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是_____________.171819202122解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.123456789101112131415161718192021222∴p＝2.∴M为AB的中点.过点B作BP⊥准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.1234567891011121314151617181920212215.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是________.1234567891011121314151617181920212230°解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，12345678910111213141516171819202122设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.123456789101112131415161718192021222±1即弦长|AB|的最小值为2.12345678910111213141516171819202122设弦AB的中点为N，1234567891011121314151617181920212217.(10分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).证明：(1)对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；12345678910111213141516171819202122四、解答题(本题共6小题，共70分)证明显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，故直线经过定点M(2，－2).证明过P作直线的垂线段PQ(图略)，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0，12345678910111213141516171819202122(1)求椭圆C的标准方程；12345678910111213141516171819202122∵焦点F的坐标为(1,0)，∴c＝1.12345678910111213141516171819202122解设A(x1，y1)，B(x2，y2).12345678910111213141516171819202122得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，1234567891011121314151617181920212219.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点.(1)求证：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；12345678910111213141516171819202122证明∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB.∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.12345678910111213141516171819202122∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，∴点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形.12345678910111213141516171819202122(2)若F为线段BC的中点，求平面AEF与平面EFD夹角的余弦值.12345678910111213141516171819202122解如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连接DF，令PA＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，D(0,2,0)，设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，12345678910111213141516171819202122设平面DEF的法向量为n＝(a，b，c)，1234567891011121314151617181920212220.(12分)已知过原点O的动直线l与圆C：(x＋1)2＋y2＝4交于A，B两点.12345678910111213141516171819202122解设圆心C到直线l的距离为d，12345678910111213141516171819202122当l的斜率不存在时，d＝1，不符合题意.(2)x轴上是否存在定点M(x0，0)，使得当l变动时，总有直线MA，MB的斜率之和为0？，若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由.12345678910111213141516171819202122解存在定点M，且x0＝3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2.当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC＝∠BMC，k1＋k2＝0，符合题意；当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，代入圆C的方程，整理得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，12345678910111213141516171819202122当2x0－6＝0，即x0＝3时，有k1＋k2＝0，∴存在定点M(3,0)符合题意，即x0＝3.1234567891011121314151617181920212221.(12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足

(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②).12345678910111213141516171819202122(1)求证：A1D⊥平面BCED；证明由已知可得AE＝2，AD＝1，∠A＝60°.12345678910111213141516171819202122故AD2＋DE2＝AE2，∴A1D⊥DE，BD⊥DE.∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角.又二面角A1－DE－B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.∵DE∩DB＝D，且DE，DB⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516171819202122解存在.由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED，以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，过P作PH∥DE交BD于点H，设PB＝2a(0≤2a≤3)，12345678910111213141516171819202122∵DE⊥平面A1BD，∵直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，12345678910111213141516171819202122(1)求椭圆C的方程；12345678910111213141516171819202122∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，a＝2.12345678910111213141516171819202122(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点Q(1,0)的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，求证：点R总在直线BM上.12345678910111213141516171819202122证明由题意知A(－2,0)，B(2,0).12345678910111213141516171819202122∴点R在直线BM上.②当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，y0)，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，12345678910111213141