高中数学选择性必修一课件：2 5 1 第1课时 直线与圆的位置关系(人教A版)

第二章

2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数

个

个

个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝________________________代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ_______________210d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0思考几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？答案

“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，

判断直线与圆的位置关系，一般用几何法.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(

)2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.(

)3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(

)4.过圆外一点的直线与圆相离.(

)×√√×2题型探究PARTTWO一、直线与圆的位置关系的判断例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点.一、直线与圆的位置关系的判断例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点.解方法一

将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4).方法二

已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1

(1)已知圆C:x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则A.l与C相交 B.l与C相切C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能√解析将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.(2)设m＞0，则直线l：

(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切√∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离.(2)设m＞0，则直线l：

(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切√∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离.二、圆的弦长问题例2

(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.解析由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，(2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程.解圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线.故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.反思感悟直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋

解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长跟踪训练2求直线l：3x＋y－6＝0被圆C:x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.解方法一

由直线l与圆C的方程，设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，方法二

圆C:x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.三、求圆的切线方程例3

(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6√解析因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为____________________.y＝4或3x＋4y－13＝0解析∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.反思感悟求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上.①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为

，由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外.①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.③过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.跟踪训练3

(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0√解析x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为√3随堂演练PARTTHREE1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离√∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.123452.(多选)直线l:x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是A.相离 B.相切或相离C.相交 D.相切√12345√解析l过定点A(1,1)，又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切，故选CD.3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是A.－2 B.－12 C.2 D.12√12345√解析圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，得b＝2或12.4.过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为___________.x＝2或y＝3解析∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2.123455.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为______.12345解析设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)弦长公式.(3)圆的切线方程.2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心√基础巩固解析圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离所以相交但不过圆心.123456789101112131415162.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是A.－5<m<15 B.m<－5或m>15C.m<4或m>13 D.4<m<13√12345678910111213141516解析圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，∴m<－5或m>15.故选B.解析由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，√√解得a＝4或a＝0.123456789101112131415164.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是A.[－3，－1] B.[－1,3]C.[－3,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)√12345678910111213141516解析圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.√123456789101112131415166.设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝_____.123456789101112131415162解析直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.7.过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是_______________________.3x－4y＋27＝0或x＝－1解析当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意.123456789101112131415168.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.解析由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，123456789101112131415169.已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为

，求圆C的方程.解因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.解得b＝±1，故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.1234567891011121314151612345678910111213141516解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上.∴a＋2b＝0，

①且(2－a)2＋(3－b)2＝r2. ②12345678910111213141516解由方程①②③组成的方程组，12345678910111213141516∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.11.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x－y＝0 D.x－1＝0√综合运用解析当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，1234567891011121314151612.已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于A.6 B.8 C.11 D.9√解析圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，∵m>0，∴m＝9.1234567891011121314151613.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.解析圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3).1234567891011121314151614.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__________.12345678910111213141516x2＋y2＝2∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，12345678910111213141516拓广探究解析直线l过点A(2,4)，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，则直线l与半圆有两个不同的交点时，1234567891011121314151616.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C:x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值；12345678910111213141516解如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2