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文档简介
第三章
3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一双曲线的性质标准方程图形
性质范围___________________________对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线________________离心率e=
,e∈(1,+∞),其中c=a,b,c间的关系c2=
(c>a>0,c>b>0)x≥a或x≤-ay≤-a或y≥aa2+b2思考双曲线的离心率有什么作用?答案双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.实轴和虚轴
的双曲线,它的渐近线方程是
,离心率为
.知识点二等轴双曲线等长y=±x思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(
)4.双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(
)√×××思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(
)4.双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(
)√×××2题型探究PARTTWO一、由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,延伸探究求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.反思感悟由双曲线的方程研究几何性质(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3;焦点坐标是(0,-5),(0,5);二、由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的方程:①②联立,无解.联立③④,解得a2=8,b2=32.反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程:代入c2=a2+b2,得a2=9,解当所求双曲线的焦点在x轴上时,当所求双曲线的焦点在y轴上时,三、求双曲线的离心率√又由圆C:x2+y2-10y+21=0,可得圆心为C(0,5),半径r=2,反思感悟求双曲线离心率的方法(1)直接法:若可求得a,c,则直接利用e=
得解.(2)解方程法:若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|,所以c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,3随堂演练PARTTHREE1.(多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则√√√123452.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为√解析由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,123453.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4√12345解析令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),4.中心在坐标原点,离心率为
的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为_________.12345123451234521.知识清单:(1)双曲线的几何性质.(2)等轴双曲线.(3)双曲线的离心率.2.方法归纳:待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区:求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是√基础巩固12345678910111213141516所以a2=4,a=2,从而2a=4,故选C.√123456789101112131415163.已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为√解析由题意知,所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,123456789101112131415164.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于√12345678910111213141516解析双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,顶点坐标为(1,0),(-1,0),√123456789101112131415166.如图,双曲线C:
的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是_____.123456789101112131415166解析设F2为右焦点,连接P2F2(图略),由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.7.双曲线
=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=___.2解析设B为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,又∵a2+b2=c2=8,∴a=2.123456789101112131415168.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为____________.y2-3x2=36a2=64,c2=64-16=48,从而a′=6,b′2=12,故所求双曲线的方程为y2-3x2=36.123456789101112131415169.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;解由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,12345678910111213141516(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.12345678910111213141516解设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),1234567891011121314151612345678910111213141516又b2=c2-a2,所以16a2(c2-a2)=3c4,两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0,于是双曲线的离心率为2.12345678910111213141516√12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20,故选A.A.y2-x2=96 B.y2-x2=160 C.y2-x2=80 D.y2-x2=24√12345678910111213141516解析设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),13.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为√12345678910111213141516解析不妨取点M在第一象限,如图所示,则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°,12345678910111213141516解析如图,因为|AO|=|AF|,F(c,0),12345678910111213141516(2,+∞)√12345678910111213141516拓广探究解析因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,12345678910111213141516(1)若m=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;所以焦点坐标为(-3,0),(3,0),顶点坐标为(-2,0),(2,0),1234567891011121314151612345678910111213141516所以实数m的取值范围是(5,10).备用工具&资料(1
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