高中数学选择性必修一课件：3 2 2 第1课时 双曲线的简单几何性质(人教A版)

第三章

3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一双曲线的性质标准方程图形

性质范围___________________________对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线________________离心率e＝

，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥aa2＋b2思考双曲线的离心率有什么作用？答案双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.实轴和虚轴

的双曲线，它的渐近线方程是

，离心率为

.知识点二等轴双曲线等长y＝±x思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(

)4.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(

)√×××思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(

)4.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(

)√×××2题型探究PARTTWO一、由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，延伸探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.反思感悟由双曲线的方程研究几何性质(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；二、由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的方程：①②联立，无解.联立③④，解得a2＝8，b2＝32.反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程：代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，解当所求双曲线的焦点在x轴上时，当所求双曲线的焦点在y轴上时，三、求双曲线的离心率√又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，反思感悟求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝

得解.(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，3随堂演练PARTTHREE1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则√√√123452.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为√解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，123453.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4√12345解析令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，4.中心在坐标原点，离心率为

的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为_________.12345123451234521.知识清单：(1)双曲线的几何性质.(2)等轴双曲线.(3)双曲线的离心率.2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是√基础巩固12345678910111213141516所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.√123456789101112131415163.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为√解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，123456789101112131415164.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于√12345678910111213141516解析双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，√123456789101112131415166.如图，双曲线C：

的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是_____.123456789101112131415166解析设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.7.双曲线

＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝___.2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.123456789101112131415168.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为____________.y2－3x2＝36a2＝64，c2＝64－16＝48，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.123456789101112131415169.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；解由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，12345678910111213141516(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.12345678910111213141516解设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，1234567891011121314151612345678910111213141516又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，于是双曲线的离心率为2.12345678910111213141516√12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160 C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24√12345678910111213141516解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，13.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为√12345678910111213141516解析不妨取点M在第一象限，如图所示，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，12345678910111213141516解析如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，12345678910111213141516(2，＋∞)√12345678910111213141516拓广探究解析因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，12345678910111213141516(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，1234567891011121314151612345678910111213141516所以实数m的取值范围是(5,10).备用工具&资料(1