2024年高中物理竞赛讲义

电磁学静电学静电场的性质静电场是一个保守场，也是一个有源场。高斯定理静电力环路积分等于零电场强度与电势是描述同一静电场的两种措施，二者有联系=1\*GB3①过程一维情况下=2\*GB3②几个对称性的电场球对称的电场场源EU点电荷均匀对电球面均匀带点球体例:二分之一径为的球体均匀带电,体电荷密度为,球内有二分之一径为的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为,如图求空腔中心处的电场求空腔中心处的电势解:(1)在空腔中任选一点,能够当作两个均匀带电球体产生的电场强度之差,即令这个与在空腔中位置无关,因此空腔中心处(2)求空腔中心处的电势电势也满足叠加原理能够当作两个均匀带电球体产生电势之差即假设上面球面上,有两个无限小面原,计算,受到除了上电荷之处,球面上其他电荷正确静电力,这个静电力包括了上电荷对上电荷的作用力.同样受到除了上电荷以外,球面上其他电荷对上电荷的作用力,这个力同样包括了正确作用力.假如把这里的所受力相加,则之间的相互作用力相抵消。出于这个想法，目前把上半球面提成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。求法:再观测下,均匀带电球面上的电场强度=?一般谈论的表面上电场强度是指什么?例:求均匀带电球面,单位面积受到的静电力解:令过程无限迟缓得出此过程中静电力做功的体现式:或者算出并且能够推广到一般的面电荷在此面上电场强度例:一个半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力?解:标准上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,因为下半球面上电荷所产生的电场强度分布,因此这么计较有困难.例:求半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.解:静电场(真空)能量密度本题球面外侧:推论:假如在上述带电球体外侧无限空间中布满了相对电常数为的多向同性均匀电合质,下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和前面求出过本小题:本题:导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为因为要求导体内例:一个半径为R,原不带电的导体球放置于匀强电场中,求因为静电感应所产生的感应电荷,所带来的两半球之间新增的张力.解:预备知识:=1\*GB2⑴一个半径为R的均匀各向同性介质在匀强电场中受到极化,求极化电荷的分布.解:时,=2\*GB2⑵求极化介质球,因为极化电荷所产生的介质球内的电场强度例:带电圈环:(均匀带电)求图中带电圈环与带电半直线之间的相互作用力.解:这题取下面措施:先求均匀带电半直线产生的电场强度,对均匀带电圈处的电荷的作用力上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为R,环上P点处的电场强度,能够用辅助圈弧()在P点产生的场强大小.圈环受到合力在均为正值时，方向向左，大小为在达成静电平衡的整个空间中，假如有一个处在静电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。其原因是，这么的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，无须重复考虑。例：一个半径为R，带电量为Q的均匀带点表面，求因表面带电所增加的表面张力系数。解：法一：球面上取一个小面元，半径为，此面受两个力平衡：静电力，沿径向向处，大小为此面元边界上新增表面张力的合力，径向向里，设新增表面张力系数为大小为力平衡方程：柱对称电场场源EU无限长均匀带电直线（）无限长均匀带电圈柱面（）()无限长均匀带电圈柱体（）（）3、带电荷粒子在电场中的运动例1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这导线旁飞过，最后与开始入射方向偏转小角度α，如图，假如当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为，电量为e，导线单位长度带电量为λ，离导线距离γ处电场强度设为，求α=？解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，因为速度快，因此带电直线受到的横向冲量就比较小（时间短），这么产生的α角度就会如题中通知是一个小量，利用微元法处理，当带电粒子抵达位置ψ时相距位矢量为，此刻带电粒子受力大小，此刻y方向动力方程为其中dt能够利用x方向动力学方程体现其中dx与dΨ满足关系（如图所示几何关系）化简整顿利用例2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为V的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包括n个电子，每个电子的电荷量-e（e>0）,质量为m，该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于t=0时刻刚好达成电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子能够不受妨碍地穿过电容器两极板AB,加有如图所示的变化电压，电压的最大最小值分别为，周期为T，若以表示每个周期中电压处在最大的时间间隔，则是周期中电压处在最小的时间间隔，已知的值恰好使在变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电子，能够在某一个时刻形成均匀分布的一段电子束。设两级间距很小，，电子穿越时间，且,不计电子间相互作用满足题给条件的，的值分别为？试在下图中画出t=2T那一刻，在0——2T时间内通过电容器的电子在电容器的右侧空间形成电流I,随离开右极板距离x的变化曲线，并在图上标出图线特性点的横、纵坐标。取X正方向为电流正方向，图中x=0处为右极板B的小孔位置，横坐标单位解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为V的均匀电子束（孔的左侧）。通过小孔以后，提成两段速度不一样的电子束。0——时间内，所加电压为，通过小孔后速度由V减小，设为V1，满足关系——T时间内，所加电压为，通过小孔后速度由V增大，设为V2，满足关系式，再由题中通知：的值恰好在的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电子，能够在时刻形成均匀分布的一段电子束V此话要求①在t=时刻，达成小孔右侧的这两束电子束在前端应当在某处相重②达成小孔右侧的两电子束的长度相等由此可写方程得到因此，因为，观测的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应当确定两件事情：电流在空间位置的分布电流强度的大小分布电子束长度4、静电势能、电势例1：如图所示N对e、-e离子，等间距a，沿直线排列设,试确定某个e的电势能和-e的电势能N足够大时，近似取小题（1）的结论，求系统的电势能WN足够大时，将非边缘的一对离子e、-e一起迟缓地移到无限远，其他离子仍在原位，试求外力做的功A.提示解：（1）（2）足够大的N,将一个正离子迟缓移到无限远处，余下系统电势能此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具备的电势能为再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能利用动能关系，求出外力做功例2如图两个点电荷位于X轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则X轴上多点的电势如图曲线所示，当初，电势;当，电势，电势为零的坐标为;电势极小值为的点的坐标为（α>0）,试依照图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在X轴的位置。解：由图中信息可知，带正电荷的电荷Q1在x=0处，因为处电势为0，因此另一个点电荷必须为负（-Q2）.它在x<0的位置上（设距离x=0距离为a）利用图中x=0点电势为零方程：X在处，合电势为,方程X在处，合电力等于0,方程联立三个方程得到，，例3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光滑的联通细管，管内放置两个质量均为m，电荷量均为q的同号带电质点为A、B,初始时质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O处，速度相互垂直，方向如图，大小均为求质点运动中，它们之间的最小距离解：一般，这里应当采取两质点的相对运动处理。设运动过程中，A,B两质点的位置矢量为,则相对位矢为分别写出A、B两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：（其中是B相对A的相对加速度）B在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力，上述两个方程为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。初始时，相对于A的运动为右图，守恒方程——联系初态和相距最近状态，联系消去，解得解之前利用联立解得，例4：电荷均匀分布在半径为R的圆面上，电荷量的密度为，试求园面边缘的电势。解：利用，其中（这里是r的函数）电势和电势能例1：当电荷连续分布时，求静电能量有两个公式，试阐明这两个公式的物理意义，并以平行板电容为例，分别利用上述公式求出它在电容C，蓄电量为Q时的静电场。解：（1）利用计算（2）利用计算,导体旁移动电荷，求外力做功例1：如图一个本来不带电电荷的同心球壳，内外半径分别为a，b，球心处放一个点电荷，电量为Q目前用外力把此点电荷从球心移到无限远处，求外力做功等于多少？解：因为在Q移动过程中，导体球壳表面感应电荷变化，所产生的电场不是静电场，因此需要另外想措施。初始时刻，Q未移动之前，在Q处，导体球壳内，外表面的感应电荷产生的静电场有电势，其值：（另Q=nq，然后逐一移动q计算外力做功..外力做功之和其中初始吧Q=nq（分散），移到无限远，又把nq=Q（集中）,合起来做功为零。解法二：如图外力做功例2：一块接地无限大导体平板，离板距离为a处有一个带电量为Q的点电荷，目前吧Q沿垂直于板的方向移到无限远处，求外力做多少功？解法一：上一例的解法解法二：。。。。解法三：设移动Q过程中离板距离达成X，且移动迟缓，移动过程中外力一直等于作用在Q上的静电力，即因此外力做功为电场线例1：计算在通过导体面上以0为圆心，R为半径的圆上的电量等于由Q发出的所有电量二分之一的条件下，求R=?解：一个措施是先求出导体面上相对于0的表白感应电荷面密度的分布，求出半径为R的园面上电量为时，R=?这里采取初等措施，因为导体板右侧电场强度分布是由点电荷Q和导体板上感应电荷共同激发产生，或者等价的以为：导体板右侧电场分布是由点电荷Q及其对应的电荷-Q共同激发产生。因为右侧空间电场强度分布的非球形对称性，因此计算通过导体板上半径为R的园面上电通量较困难，这是因为右侧的电场，已经由Q,-Q两点电荷产生的场叠加后形成的分布。这里采取措施是：在计算通过导体板上园面的电通量宁可不用叠加后的电场计算，而用叠加前的由Q发出，由-Q吸取的两个球对称的电场来处理，其成果显然是相同的。以Q为球心，r为半径做一个球面假设由Q发出的电量为N,那么具备球对称的，由Q发出的电通量，通过圆的电通量为同样，由-Q吸取电场线，通过导体上同一个园面上的电通量必为这个值，并且通量方向相同。写出通过圆面电通量的方程：对应的R为：例2：一个半径为R的接地导体球，球外距球心为d处放置一个电量为q的点电荷A,已知导体球面上，区域的感应电荷量为，求解：本系统球外有一个点电荷Q和导体球上感应电荷共同激发产生的电场分布，或者说球外有一个由电荷q及其对应的电荷如图几何关系：化简整顿得：例3：点电荷+q和-q’（q’<q）分别位于x轴上A.B两点，A,B的距离为L，从+q发出的某一条电力线与连线AB成α角度，求：（1）求该电场线最后的场线与x轴间的夹角（2）求该电场线或其最后的场线与x轴的交点c的位置解：题给的那条由q发出的电场线将来去向何处，首先应当在q发出的千万条电场线中找出一条能达成B而未达成B的那条电场线在A发出时与AB的夹角α0因为点电荷发出或者接收的电通量与该电荷的电量成正比，因此在写电量时均对应的电量表示，当初，题给的电场线将在B点，设这条电场线最后与AB夹角为β解得当初，解得当初，c点即为B点如图,ΔPCA中，ΔPCB中，利用，又三角形中，因此，另一个方程,例4.；两条均匀带电的无限平行直线，单位长的电荷量分别为λ和-λ，相距2a，两带电线组成的平面为Z-X平面，使Z轴与两线平行且距离相等，取直角坐标，试证明。电势为U的等势面半径为的圆柱面，其中，圆柱的轴线与两带电的直线平行且共面，位置在x轴上，处。在X-Y平面上，电场线的方程为，即圆心在y轴上的圆，其中b为常量。证明：本系统是一个相对Z轴具备一定对称性的系统，即在任意一个垂直于Z轴平面内，电场的分不相同，因此可在X-Y平面内讨论写出P(X,Y)点处的电势体现式，设为U，因为，整顿后的得证在X-Y平面内，如图写出P(X,Y)点电场强度为在P点电场线的斜率整顿得因此得证。例：两个导体相距很远，其中一个导体带电荷Q1，电势为U1，另一个导体带电荷为Q2，电势为U2，电容为C电容器本来不带电，目前用极细的导体将它与两个导体相连，如图所示，求，电容器充电后的电压。解：用细导线相连，电容器冲电，并使电容器两极板间电势差为U,则此时电容器带电量为Q=CU，因此导致两导体带电量变为（Q1-CU）.(Q2-CU)因为孤立导体所带电荷量与导体之比为Q/U,与其带电量多少无关，因此，末态两导体的电势满足,两导体间电势差等于电容器的两极板间电势差，即解得因为无限长带电直线上无限多个无限小线小线元与辅助半圆上无限多个无限小弧之具备对应关系，因此ΔL在P点产生的电场强度与ΔL2在P点产生的电场强度完全相同。因此P点的电场强度用同样带有λ的带电辅助半圆在P点产生的电场强度替代。下面计算：‘P点电场强度大小——在P点放一个单位正电荷，它受带电半圆的作用力大小。——P点处单位正电荷对带电半圆的作用力大小——它等于带电半圆上单位长带电量受到P处单位正电荷的作用力,利用图作一个辅助圆（以P点为圆心，a为半径作半个圆（与常电直线相同）利用，带入上式子无限长带电直线上任意一段无限小带电线元ΔL在P点产生的电场强度大小和方向恰好等于同样带电线密度为λ的一段对应的弧元ΔL2在P点产生的电场强度的大小和方向。解法：如图，在无限大带电平面上，任取一无限带电元ΔS,利用此式子告诉我们：在无限大均匀带电平面上，任意一个无限小面元在P点产生的电场强度在Z方向分量恰好等于辅助半球面上对应的小球面元ΔS2上电荷在P点产生的电场强度的大小。再求无限长带电直线周围电势分布（柱坐标）因此，则P点的电场强度（一定期Z方向）等于例：如图计算无限长均匀带电直线周围电场强度体现式解：措施一：利用高斯定理如图：带电直线为轴取高为ΔL1，半径为r的高斯面，措施二：初等措施例：平面对称的电场，无限大带电平面，，求周围电场强度。解法一：利用高斯定理如图取一个高斯面例：有三个同心的导体薄球壳，半径分别为a，b，c，其中内、外球壳均接地，而中间球壳是由两个半球壳拼接而成，且其中带有一定电量。试问：三个球壳半a，b，c之间满足什么关系，才能使中间球壳的两部分不会相互分离解：设内、外球壳因感应产生带电量分别为,中间球壳带电量为Q依照题意可知，内、外球壳接地，电势为零，能够列方程：再求中间球壳受力方向（向外为正）中间球壳两半球不分离的条件是球壳上受到的合力小于等于零带入Qa，整顿可得（两半球不分离条件）用c>a.条件为例：在正N变形的顶点上依次分布着电荷，所带电量公差为q的等差数列，即q，2q，3q…Nq,从N边行中心到任意一个顶点的距离均为R，求多边形中心电场强度E的大小解：（1）先确定N边行带电系统在中心O点的合场强方向当N为偶数时，图（b）作N1边中垂线(过O点)构想以轴将正N边行对折，即将右边1,2,3…多点叠加在右边N,N-1，N-2…上，各点电荷量均为（N+1）q，由对称性，各点在O点引起的电场元矢量和的方向垂直于轴，可知原系统在O点的和电场方向必与轴垂直。这是因为对折前后沿方向电场分量为0当N奇数时，同样做中垂线，构想以为轴将正N边行对折，即将右边1,2,3…多点叠加在右边N,N-1，N-2…上，叠加后，除轴上的一个顶点的电量为（下端）除外，其他多点的电量均为（N+1）q。再将与图（c）所示系统有关轴成完全对称的另一个系统（第二次叠加）与之叠加，叠加后的系统如图（d），此新的系统多顶点的电量均为（N+1）q，因此这个系统的中心0点，电场强度为0，因此图（c）所示系统在O点的电场强度没有沿轴方向的分量。由此可知，原系统在O点合场强方向必与轴垂直，综上可知，无论N为何数，原系统在O点的合场强方向垂直（2）现取N0为轴，将两个N边行带电系统有关轴镜像对称地叠加如图（e），此时除N点电荷为2Nq，其他多点电荷均为Nq，显然两个系统叠加后再O点引起的合场强方向沿方向大小为,每个系统对应场强与关系为这就是原正N边行中心处电场强度E的大小电偶极子观测远处电场强度时，可用一个量来代表这个电偶极子：电偶极距小结：（1）电偶极子的电偶极距（2）电偶极子在其延长线方向和中垂线上的电场强度分布如图所示，（3）如图所示，在p（r，θ）点处，电偶极子的产生电场强度分量为（4）电偶极子在p（r，θ）处产生的电势，如图，或者E与U的关系,柱坐标下（5）电偶极子在外电场的势能（如图所示）例：解：分析t=0时产生大的一个微粒，因为此时以及随即A板加上正电压U0，因此这个带负电的微粒，将被加速。这个微粒能够有T/2的加速时间，在这段时间内，设微粒能够经历的旅程为X，依据所给体现式因此x>L这个阐明t=0时产生的第一个微粒能够抵达A板设这段时间产生微粒恰好能所有抵达A板，这里最后产生的那个微粒刚好能到A板，这个微粒产生后向A板加速的时间设为Δt1，则，求t1，如图所示找方程,设加速度a，五个方程，五个未知量，联立求解得阐明：时刻产生的那个微粒未到A板假设某一个时刻产生的一个微粒，将要抵达不过尚未抵达A板，掉过来反向加速，求抵达B板需要多长？（近A板时，速度为零