2024高考数学讲义-集合与常用逻辑

2024高考数学讲义一集合与常用逻辑

目录

1.第1讲集合及其运算.......................................................1

1.1.基础知识整理............................................................1

1.2.核心考向突破............................................................4

1.3.解决集合概念问题的注意事项..............................................5

1.4.集合的新定义问题.......................................................12

1.5.对点训练................................................................13

1.6.课时作业................................................................14

2.第2讲充分条件与必要条件................................................19

2.1.基础知识整理..........................................................20

2.2.核心考向突破..........................................................22

2.3.课时作业..............................................................25

2.4.核心考向突破..........................................................30

3.第3讲全称量词与存在量词................................................34

3.1.基础知识整理..........................................................34

3.2.核心考向突破..........................................................37

3.3.课时作业..............................................................41

1.第1讲集合及其运算

1.1.基础知识整理

设知识梳理

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：叵］确定性、质互异性、函］无序性.

(2)元素与集合的关系是网属于或厨不属于两种,用符号国巨或西k表

示.

(3)集合的表示法：阚列举法、画描述法、回图示法.

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(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号阿N应N*(或N+)直Z回Q国R

2.集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言

关系

集合A与集合B中的所有元素

相等[17]ACB且丽BUAQA=B

回相同

集合A中任意一个元素都是集合

子集回AUB或B?A

B中的元素

集合A中任意一个元素都是集合

真子集B中的元素，且B中至少有一个[20]AB或BA

元素不是A中的元素

空集是因任何集合的子集，是

0GA

空集

国任何非空集合的真子集0B(BH。)

3.集合的基本运算

并集交集补集

图形

AUB=F23]AnB=[24](UA=区

符号

仅惶。或*£8}{x|xWA且xGB}{x|xGU且xCA}

1.若有限集A中有〃个元素，则集合A的子集个数为2",真子集的个数为

2"-1,非空真子集的个数为2"-2.

2.A\J0=A,AUA=A,AC(AUB),BU(AUB).

3.AQ0=0,AAA=A,AHBQB.

4.AHB=AUB^A=B.

5.HB=ASAUB=8台([以)3([u3)<4An([(出)=◎

6.AC([uA)=0；AU(Ct/A)=U',[u([uA)=A.

7.([uA)n([u3)=[u(AU8),([(/A)U([uB)=[(/(AAB).

8.如图所示，用集合A,8表示图中I、II、川、IV四个部分所表示的集

合分别是AHB,An([uB),5n(。以)，Cu(AU8).

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9.card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AA8).

1.(2021.湖北武汉月考)若集合P={xWN|xWM防},。=2/，贝女)

A.a£PB.{a}EP

C.{a}^PD.a^P

答案D

解析依题意，因为。=2既不是自然数，而集合P是不大于廊1的自然

数构成的集合，所以质产，只有D项正确.故选D.

2.(2020•新高考卷I)设集合A={x|lWxW3},B={x|2a<4},则AU8=()

A.{x|24xW3}B.{尢|2WxW3}

C.{RlWx<4}D.{x[l<x<4}

答案C

解析AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4).故选C.

3.设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)\y=^},则=()

A.{(1,1)}B.{(-2,4)}

C.{(1,1),(-2,4)}D.0

答案C

x+y=2,[x=1,\x=-2,

解析由\解得,或“所以AnB=《』)，(-

[y=片，ly=i〔y=4,

2,4)}.

4.已知集合A,8均为全集。={1,2,3,4}的子集，且[u(AUB)={4},AA([

4)={3},贝"8=()

A.{1,2}B.{1,2,4)

C.{2,4}D.。

答案A

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解析结合Venn图（如图河知B={1,2}.故选A.

5.已知集合A={x*-3x+2=0,xWR},B={x[0<x<5,xCN},贝满足

条件AcCRB的集合C的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析因为A={1,2},B={1,2,3,4},AQC^B,则集合C可以为{1,2},

（1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.

6.已知集合4={-1,2},B={x\ax=\},若则由实数"的所有可能

的取值组成的集合为（）

A.11,斗B,{-1,

C.1o,1,1}D.1-1,0,1}

答案D

解析若8为空集，则方程办=1无解，解得。=0；若B不为空集，则

aWO,由ox=l解得x=[,所以（=一1或5=2,解得a=-1或a=T，则由实

数。的所有可能的取值组成的集合为1-1,0,笥.故选D.

1.2.核心考向突破

考向一集合的基本概念

例1（1）设集合加=3x22小},。=5，则下列关系中正确的是（）

A.aeMB.a^M

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C.{a}EMD.{a}^M

答案B

解析符号仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合

与集合之间的关系，故C,D错误.•.•。=/<2小，」.a庄M.故选B.

(2)已知a,86R,若"，»1]={层，a+b,0},贝|。+〃为()

A.1B.0

C.-1D.±1

答案C

解析由已知得"W0,则§=0,所以b=0,于是次=1,即。=1或。=-

1,又根据集合中元素的互异性可知。=1应舍去.因此。=-1,故

故选C.

(3)已知集合4={。,阴X2+犬W3,工€2〃62},则4中元素的个数为()

A.9B.8

C.5D.4

答案A

解析,.,%2+y?W3,,.，彳€Z,.".x=一1,0,1.当x=-1时,y=-1,0,1；

当x=0时，y=-1,0,1；当x=l时，y=-1,0,1,综上，A中元素共有9个，故

选A.

1.3.解决集合概念问题的注意事项

(1)解本例⑴时要注意，符号“€”“甘仅表示元素与集合之间的关系，不

能用来表示集合与集合之间的关系.a€M与〃M取决于a是否是集合M中的

素•

(2)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条

件.解本例(3)时要注意，集合A是坐标满足N+y2W3的整数点构成的集合.

(3)本例⑵中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程

组求解.同时注意对元素互异性的检验.

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1.已知集合A={Rx=3%-1/6Z},则下列表示正确的是()

A.-HAB.-11EA

C.3后一1CAD.一34在A

答案C

解析当左=0时，x=-\,所以-16A,所以A错误；令-11=3左-1,

得％=—学在Z,所以-11&A,所以B错误；令-34=3"1,得左=-11,所以

-34WA,所以D错误；因为攵WZ,所以FCZ,则3F-1CA,所以C正确.

2.(2020.海口市高考调研考试)设集合A={1,2,3,4},8={3,4,5,6,7},集合M

="比€8且依4},贝l]M=()

A.{1,2}B.{3,4}

C.{5,6,7}D.{3,4,5,6,7}

答案C

解析因为集合A={1,2,3,4},8={3,4,5,6,7},集合M={x|xWB且/A},

所以集合加={5,6,7}.故选C.

3.设集合A={x\(x-a)2<\}，且2€A,3在A,则实数a的取值范围为.

答案(1,2]

解析A={x[(x-«)2<1}={x||x-iz|<l}={x|a-\<x<a+1}.

因为2€A,34A,所以卜+1>2,

解得l<aW2.

Q+1W3,

故实数。的取值范围是（1,2].

考向二集合间的基本关系

例2（1）（2020.山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟）集合32、=『,

xWR｝的非空真子集的个数为（）

A.2B.4

C.6D.8

答案C

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解析画出函数y=2,和y的图象，根据图象知集合32，=f,xWR}有

3个元素，故集合{x|2，=f,xWR}的非空真子集的个数为23-2=6.故选C.

⑵已知集合A=(R=+l)(x-6)W0},B={x\m-\^x^2m+\].若BGA,

则实数m的取值范围为.

答案机v-2或

解析A={x|—lWx<6},若则当3=。时，有机一1>2m+1,即mv

-2时，符合题意.

m-1<2m+1,

解得OWmW,.

{2m+1^6,

综上，实数〃?的取值范围是根<-2或OW〃?W|.

(1)当集合中元素个数是有限个时，其子集、真子集个数为确定

的.当元素个数为〃时，集合有2"个子集，有(2"-1)个真子集，有(2"-1)个非

空子集，有(2"-2)个非空真子集.

(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否

为空集进行分类讨论，做到不漏解.

①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解,

此时注意集合中元素的互异性；

②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时

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需注意端点值能否取到.

即时训练4.(2021.海南省海南中学高三月考)设集合M=

卜180。+45。，ZWz],N="x=[x180。+45。，kg"那么()

A.M=NB.MUN

C.NUMD.MCN=。

答案B

[

解析由题意可得M斗小/xi80。+45。，keZ(={x\x=(2k+1)45°,kE

Z},即45。的奇数倍构成的集合，又N=]x|x=(X18()o+45。，k£={x\x=(k+

1).45°,kEZ],即45。的整数倍构成的集合，所以M&N.故选B.

5.设A={x*+4x=0},8={x|『+2(。+l)x+层一1=0},

(1)若BNA,则实数。的取值范围为；

(2)若A=则实数a的取值范围为.

答案—l或。=1(2)a=l

解析由题意，得4={-4,0}.

.•.B：。或3={-4}或3={0}或8={-4,0}.

当B=。时，^+2(0+l)x+a2-1=0无解，即/=4(a+I)2-4(a2-1)=8«+

8<0,解得a<—1.

当8={-4}或B={0}时，/+2(a+l)x+/一1=0有两个相等的实数根，

贝lJ/=8a+8=0,：.a=-1,此时8={0},符合条件.

当8={-4,0}时，-4和0是方程/+2(。+1〃+/-1=0的两个根，

fj=8a+8>0,

则<-4+0=-25+1),解得a=l.

2

<-4X0=a-1,

综上所述，aW-1或a=l.

(2)-.-ACB,.-.B={-4,0}.由⑴知a=l.

多角度探究突破

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考向三集合的基本运算

角度1集合间的交、并、补运算

例3(1)(2020,德州二模)若全集U={1,2,345,6},M={1,3,4},N={2,3,4},

则集合(〔uM)U(CuN)等于()

A.{5,6}B.{1,5,6}

C.{2,5,6)D.{1,2,5,6)

答案D

解析因为U={123,4,5,6},{1,3,4},N={2,3,4},所以{2,5,6},

[W={1,5,6},所以(CuM)U(CuN)={l,2,5,6},故选D.

(2X2020.烟台一模)已知集合M=3y=ln(x+1)},N={y|y=ev},则MCN

=()

A.(-1,0)B.(-1,+8)

C.(0,+8)D.R

答案C

解析-：M={x|>-=ln(x+1)}={x|x+1>0}={x|x>-1}=(-1,+°°),N=

{y|y=e'}={y|y>0}=(0,+°°),：.MC\N=(0,+°°).

x+1

(3)已知全集U=R,集合A={x*-x—6W0},5=x|——>0,那么集合

iX-4

AA([M)=()

A.{x|-2Wx<4}B.{x|xW3或x24}

C.{x|-2^x<-1}D.{x|—lWxW3}

答案D

解析依题意A={A-I-2«},B={x\x<-1或x>4},故[uB={x|-

1WXW4},故An([S)={x|—1WXW3}.故选D.

触类旁通(1)集合基本运算的求解策略

①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也

可借助Venn图运算；

②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解.对于端点处的取舍，可以单

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独检验•

(2)集合的交、并、补运算口诀

交集元素仔细找，属于A且属于3；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全

集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.

即时训练6.2020•全国卷II)已知集合A={x|园<3,x£Z],B={x||x|>l,

x€Z},贝ljAnB=()

A.0B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

答案D

解析因为A={x||X<3,无WZ}={-2,-1,0,1,2},B={x\\x\>l,x€Z}=

3x>l或xv-1,x€Z},所以403={-2,2}.故选D.

7.已知全集。=11,集合4={小2一3*-4>0},B={x|-2WxW2},则如图

所示阴影部分所表示的集合为()

A.{尤|-24<4}B.{%|xW2或％24}

C.{x|-2WxW-l}D.{x|—lW%<2}

答案D

解析依题意，得A=3尤1或X>4},因此[RA=1WXW4},题中的

阴影部分所表示的集合为("A)AB={X|-1WxW2}.故选D.

8.(2021.新高考八省联考)已知M,N均为R的子集，且[RM=N,则MU

(CRAQ=()

A.0B.M

C.ND.R

答案B

解析解法一：••・[RMQN,.•.M3[RN,据此可得知11(&乂>=闻.故选8.

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解法二：如图所示，设矩形区域ABC。表示全集R,矩形区域表示

集合M,则矩形区域COEH表示集合[RM,矩形区域CDFG表示集合N,满足

[RM=N,结合图形可得MU([RM=M.故选B.

角度2利用集合运算求参数

例4(1)(2020.辽宁省辽南协作校一模)已知集合用={0,x2},N={1,2},若

MAN={2},贝1JMUN=()

A.{0,—1,2}B.{2,0,1,2}

C.{0,1,2>D.{0,1,-也，也，2}

答案c

解析集合加={0,》2}小={1,2},用0"={2},则2€%所以加={0,2},

则MUN={0』,2}.故选C.

(2)设集合A={x|X4-x)23},B={x\x>a],若A08=A,则。的取值范围

A.B.a<l

C.aW3D.a<3

答案B

解析由x(4-x)23,解得1WXW3,即集合A={x|lWxW3}.因AC8=A,

贝I]A包8,而B={x|x>。},所以“<1.故选B.

将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注

意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关.确定参数所满足

的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解.本例⑵易

忽视aWl,而误选A.

即时训练9.已知集合4={xCN|(x—3)(x—6)W0},8={3,6,m},若A

UB=A,则实数加的值为.

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答案4或5

解析由已知，得4=口€m3・无忘6}={3,4,5,6},因为AUB=A,所以8

CA.又8=[3,6,m],所以加=4或5.

10.已知集合P={yM-y—2>0},Q={x*+ar+h〈0},若PUQ=R,PAQ

=(2,3],贝lja+b=.

答案-5

解析P={yip-y一2〉0}={y|y>2或y<-1},

•.・PUQ=R,PAQ=(2,3],，。={卫-1«},

••-1,3是方程X2+如+。=0的两根，由根与系数的关系得,-a=-1+3

=2,b=-3,.\a+b=—5.

1.4.集合的新定义问题

1.(2020.青岛模拟)设P和。是两个集合，定义集合P-Q={x|x€P,且x

qQ},如果P={x|l<2"<4},Q={y|y=2+sinx,xWR},那么P—Q=()

A.{x|0<rWl}B.{x|0Wx<2}

C.{x|K<2}D.{邓)<x<l}

答案D

解析因为P={x|2°<2^<22}={x|0<r<2},Q={y|y=2+sinx,xCR}=

{.VilWyW3},根据P-Q的定义可得P-Q={x|0<x<l).

2.已知非空集合A,8满足以下两个条件：

(1)AUB={1,2,3,4}(AHB=0-

(2)A的元素个数不是A中的元素,8的元素个数不是B中的元素.

则有序集合对(A,8)的个数为()

A.1B.2

C.4D.6

答案B

解析若集合A中只有1个元素,则集合8中有3个元素，则1庄A,3CB,

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即3WA/€8,此时有1对；同理，若集合8只有1个元素，则集合A中有3个

元素，有1对；若集合A中有2个元素，则集合8中有2个元素，2生A,20&

不满足条件.所以满足条件的有序集合对（A,8）的个数为1+1=2,故选B.

一答题启示

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义.首先分析

新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题

过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；⑵用好集合的性质.解

题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合

的运算与性质.

1.5.对点训练

1.如图所示的Venn图中，A,8是两个非空集合，定义集合为阴影部

分表示的集合.若x,y€R,¥={巾=._/},B={y|y=3\x>0},贝lj为

（）

A.{x[0<x<2}B.{x|l<rW2}

C.{x|OWxWl或x22}D.{ROWxWl或x>2}

答案D

解析•.・A={x|0WxW2},8={川>1},

.,.AUB={x|x2O},AC8={x[l<xW2},

.'.A®B="UB（AClB）={x[0Wx<1或x>2}.

2.集合A={ai,及，G,…，a"}（其中〃22）,如果A中的元素满足ais…斯

=山+。2+…+小，就称A为“复活集”，给出下列结论：

①集合（7；小,T泗是“复活集”；

②若出，4?2€R,且{ai,。2}是''复活集"，则。@>4;

③若ai,z€N*,贝也回，z}不可能是“复活集”.

其中正确的结论是________.（填序号）

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答案①③

-1+A/5-1-y[5-1+^5-1-A/5

解析①一―2=―广+—产=-1，故①正确；②不

2

妨设41+。2=。1。2="则由根与系数的关系知42是一元二次方程%-及+f

=0的两个根，由J=(-/)2-4/>0,可得/<0或f>4,故②错误；③不妨设

,・〈〃〃，由a\ar^an-a\+z+…+。〃〈〃。?，得。1。2・・・。〃，<〃，当〃=2时，

有。1<2,又m€N”,=1,于是由QI+02=0102得1+。2=。2,无正整数解，

即当两，z€N*时，｛⑶，。2｝不可能是“复活集”，故③正确.

1.6.课时作业

一、单项选择题

1.下列各组集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={2,3},N={3,2}

C.M={(x,y)|x+y=l},N={y|x+y=l}

D.M={2,3},N={(2,3)}

答案B

解析由集合元素的无序性，易知{2,3}={3,2}.故选B.

2.(2020•全国卷II)已知集合U={-2,-1,0,123},A={-1,0,1},8={1,2},

则［u(AU8)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3)

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

答案A

解析由题意，可得AU8={-l,0,l,2},贝Ku(AUB)={-2,3}.故选A.

3.(202。海南省海南中学高三月考)若S是由“我和我的祖国”中的所有字

组成的集合，则S的非空真子集个数是()

A.62B.32

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C.64D.30

答案D

解析因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S一共有5个元素，

所以S的非空真子集的个数是25-2=30个.故选D.

4.已知集合A={x*-4尤<5},8={卫也<2},则下列判断正确的是()

A.-1.26AB.

C.BQAD.AQB

答案C

解析由/-4x-5<0得-l<x<5,所以-1.26A,A错误；由也<2得0Wx<4,

所以，BCB,B错误；因为A=3—l<x<5},8={x|0Wx<4},所以BGA,C正

确，D错误.故选C.

5.已知实数集R,集合4={x|log.<l},5={x€Z*+4W5x},则“)08

=()

A.[2,4]B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}D.[1,4]

答案B

解析由log2X<1得0<x<2,贝ljA={x[0<x<2).

.■.[RA={x|xW0或x22},由f—Sx+dWO得1WXW4,贝I]3=[1,2,3,4},

.-.(CRA)CIS={2,3,4}.故选B.

6.(2020•江西九校联考)已知机，〃CR,集合A={2,logvzn},集合B={7%

n},若APlB={l},贝ljm+〃=()

A.1B.2

C.4D.8

答案D

解析由Ari8={1}得log7m=1,所以"2=7,Z7=1,贝Ij加+〃=8.故选D.

7.(2020・全国卷I)设集合A={4r2—4W0},B={x\2x+a^O},且408=

{x|-24Wl},则)

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A.-4B.-2

C.2D.4

答案B

解析■.■A={4?—4W0}={x|-2WxW2},B={x\2x+a<0}=\x\x^-,

ACB={x|—2WxWl},一冬=1,解得。=一2.故选B.

8.(2020・全国卷川)已知集合4={(”,y)\x,y€N*,y^x},B={(x,y)\x+y

=8},则AAB中元素的个数为()

A.2B.3

C.4D.6

答案C

y^x,

解析由题意，得ACB中的元素满足且二由x+y=

[x+y=o8,

822x,得xW4,所以APB中的元素有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个.故选

C.

9.设集合P={(x,y)\y=k},Q={(x,>)|y=2"},已知PA设=0,那么9的

取值范围是()

A.(-00,0)B.(0,+8)

C.(-00,0]D.(1,+8)

答案C

解析由题意知尸攵与y=2,的图象无交点，又y=2>0,所以ZW0.故选

C.

10.定义集合的商集运算为於卜lx=g,已知集合4={2,4,6},

8小4-1,它A1,则集合如8中的元素个数为()

A.6B.7

C.8D.9

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答案B

of1111]B

解析由题意知，B={0,1,2},彳=〔0,2,4,不1，引，则彳UB=

jo,I，£1,I，21，共有7个元素.故选B.

二、多项选择题

11.已知集合A廿小=,B={x\x>a}，则下列选项可能成立的是()

A.AQBB.BQA

C.AU([RB)=RD.

答案ABC

x+120,

解析由c,c得4=[-1,2)1^2，+8),B=(a,+8),[RB=(_

x-2#0,

8,0,选项A,B,C都有可能成立，对于选项D,不可能有AC[RB.

12.(2021.广东省湛江区域联考)若集合A具有以下性质：①集合中至少有

两个元素；②若屏，y}=A,则孙，x+y€A,且当x#0时，则称集合A

是“紧密集合”.以下说法正确的是()

A.整数集是“紧密集合”

B.实数集是“紧密集合”

C.“紧密集合”可以是有限集

D.若集合A是“紧密集合”，且二y€A,则

答案BC

=1,而*Z,故整数集不是“紧密集合”，A错误；根据

解析若x=2,y：

“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；集合{-1,0,1}是“紧密

集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；集合4={-1,0,1}是“紧密集

合“，当x=l,y=-1时，x-y=24A,D错误.

三、填空题

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13.已知集合A=2x,IpB={x1,x+y,O},若A=B,则x+y=

答案2

解析显然y=l,即4={2芍0,1},B={W,x+1,0}.若x+l=l,则x=0,

集合A中元素不满足互异性，舍去.「.x2=l,且2x=x+l,」.x=l,故x+y=

2.

14.设全集为R,集合A={x*-9<0},B={x\-l<x^5},则AA([RB)=

答案3-3<xW-l}

解析由题意，知A={x*—9<0}={x|-3a<3},因为8={用一1〃W5},

所以[RB={X|XW-1或x>5}.所以An([RB)={x[—3a<3}C{MxW—1或x>5}

={A|-3aW-1}.

15.已知集合A={4?—3x+2=0},B={九*一以+3。-5=0},若=

B,则实数。的取值范围为.

答案[2,10)

解析由题意，可得A={X*-3X+2=0}={1,2},因为An8=B,所以8

QA.

(1)当B=。时，方程f-G：+3a-5=0无解，贝1]/=/一4(3。-5)<0,解得

2<a<10,此时满足题意.

⑵当8#。时,若B=A,则3={1}或{2}或{1,2}.

①当B={1}时，l—a+3a—5=0,得a=2,止匕时B={x\x1-2x+1=0}=

{1},满足题意；

②当8={2}时，4_2。+3。_5=0,得4=1,止匕时8={4?_x_2=0}={—

1,2},不满足题意，即。#1；

1+2=a,

③当8={1,2}时，根据根与系数的关系可得1<此时无解.

综上，实数。的取值范围为210).

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16.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品,

第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，

后两天都售出的商品有4种，则该网店

(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种；

(2)这三天售出的商品最少有种.

答案(1)16(2)29

解析(1)如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种).

（2）如图2所示，这三天售出的商品最少有19+13-3=29（种）.

四、解答题

17.已知集合尸={x|a+lWxW2a+1},。={x*-3xW10}.

（1）若。=3,求（［RP）AQ;

（2）若PUQ=Q,求实数。的取值范围.

解（1）因为。=3,所以尸={x|4〈xW7},

:RP={X|X<4或x>7}.

又Q=10W0}={x|-2WxW5},所以（［RP）CQ={4r<4或

x>7}A{x\-2WxW5}={x\-2Wxv4}.

（2）当PW。时，由PUQ=Q得PCQ,

+1N-2,

所以«2a+lW5,解得0WaW2;

12。+12a+1,

当P=0,即2a+l<a+l时，有PGQ,得a<0.

综上，实数。的取值范围是（-8,2］.

2.第2讲充分条件与必要条件

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2.1.基础知识整理

眄知识梳理

充分条件、必要条件与充要条件

若〃04,则〃是4的回0充分条件,〃是〃的陶必要条件

p是q的画充分不必要条件p=q且3P

p是q的画必要不充分条件p否q且q0P

〃是t7的画暹条件p0q

P是q的画既不充分也不必要条件p4q豆q4P

知识拓展

1.⑴若，是＜7的充分不必要条件，4是厂的充分不必要条件，贝力是，的

充分不必要条件.

(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.

2.若A={x|p(x)},8={x|g(x)},贝

(1)若则p是q的充分条件；

⑵若A33,则。是g的必要条件；

(3)若A=3,则，是g的充要条件；

(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB,则，是＜7的必要不充分条件；

(6)若/。B且廉8,则〃是q的既不充分也不必要条件.

|双基自测

1.(2020.海南省新高考诊断性测试)“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚

市”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

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解析因为三亚市是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必

在海南省，反之不成立，故选B.

2.（2020.济宁三模）设％一是非零向量,则“。功=0”是%12”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析设非零向量明方的夹角为仇若。仍=0,则cose=0,又0W6W%

7T兀

所以。=2,所以若瓦贝=所以cos8=0,所以。仍=0.因止匕“ab

=0"是的充要条件.故选C.

3.若集合A={2,4},B={\,m2},则"08={4}”是“阳=2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当〃?=2时，有ACB={4}；若AC8={4},则〃3=4,解得加=±2,

不能推出〃?=2.故选B.

4.（2020.天津高考）设a6R,则“a>l”是“层>。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析求解二次不等式/可得。>1或据此可知，。>1是

的充分不必要条件.故选A.

5.已知〃是一的充分不必要条件，$是「的必要条件，<?是5的必要条件,

那么，是9的条件.

答案充分不必要

解析由已知可得〃0r=>s=><7，且田”，所以〃=>q,而q£p,故〃是4的

充分不必要条件.

6.已知p：x>a是<7：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

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答案（-8,2]

解析由已知，得{x|2<x<3}{小>。},所以实数。的取值范围是（-8,2].

2.2.核心考向突破

多角度探究突破

考向一充分、必要条件的判断

角度1定义法判断充分、必要条件

例1（2020.海南省普通高中高考调研测试）"lna<ln〃”是“加2<〃2，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若Inm<\nn,根据对数函数的定义域及单调性可知0<m<n,可得

苏<〃2,因而具有充分性；若加2<层，则网<同,当〃?<0,〃<0时对数函数无意义，

因而不具有必要性，综上可知，“In〃Kln〃”是“加2<〃2，，的充分不必要条件.故选

A.

角度2集合法判断充分、必要条件

例2（2020.济南市高三上学期期末）设x€R,则“2*>4”是“1g（国-1）>

0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析设P：2-'>4,即p:2->22,整理得p：x>2;设q：1g3-1）>0,

即q：1g（W-l）>lg1,整理得q:x<-2或x>2,因为{x|x>2}{x|x<-2或

x>2},所以〃=见q£p.故“2、>4"是“lg（|尤的充分不必要条件.故

选A.

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触类旁通充要条件的两种判断方法

（1）定义法：根据片切,4今。进行判断.

（2）集合法：根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.

即时训练1.（2020.海南高三一模）设集合A,B是全集U的两个子集，则

=是“An（uB=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析如图所示，=同时An[uB=00AQB.故选C.

x2+1

2.（2020・潍坊一模）“"1”是"Vx〉0,丁沁”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答