2024-2025学年度北师版七上数学-总复习-期末复习课（二）【课件】

总复习期末复习课期末复习课（二）数学七年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS（第二章

有理数及其运算）

1.

正数和负数.（1）日常生活中，通常用正数和负数表示

的量.（2）

既不是正数，也不是负数.通常情况下，正数前的正

号“＋”可省略不写.相反意义

0

2.

有理数的分类.（1）有理数可以分为

和

两类.正整数、负整

数、零统称为

；正分数和负分数统称为

⁠.（2）有理数可以分为正有理数、

、负有理数三类.3.

有理数的有关概念.（1）数轴：规定了

、正方向、单位长度的直线.（2）相反数：

a

的相反数是

，0的相反数是0.若

a

与

b

互为相反数，则

a

＋

b

＝

⁠.整数

分数

整数

分数

零

原点

－

a

0

原点

≥

0

0

（4）倒数：乘积为

的两个数互为倒数.

a

（

a

≠0）的倒数是

，0没有倒数.1

4.

科学记数法：把一个大于10的数表示成

的形式，

其中1≤

a

＜10，

n

为正整数.5.

比较有理数的大小.（1）利用数轴比较有理数的大小：①在数轴上表示的两个有理数，

边的数总比

⁠边的

数大；②

都大于零，

都小于零，正数大于负数；③所有的有理数从小到大在数轴上按从左到右的顺序排列.a

×10

n

右

左

正数

负数

（2）利用绝对值比较有理数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.6.

有理数的运算.（1）①有理数加法法则：先定符号，再计算.同号两数相加，

取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较

大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数

同0相加，仍得这个数.②有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.（2）有理数的乘除法法则：两个有理数相乘（除），同号

得

，异号得

，并把绝对值相乘（除）.注意：①0与任何数相乘的积为0；②0除以任何非零的数都得

0；③0不能作除数.（3）数的乘方：

an

＝

，其中

a

叫作

⁠

，

n

叫作

⁠.正

负

底数

指数

（4）有理数的混合运算：先算

，再算

，最后

算

；如果有括号，先算

里面的；同一级运

算，按照从

到

的顺序依次进行.（5）有理数的运算律：①加法的交换律：

a

＋

b

＝

b

＋

a

；②加法的结合律：

a

＋

b

＋

c

＝

⁠；③乘法的交换律：

a

·

b

＝

b

·

a

；④乘法的结合律：

a

·

b

·

c

＝

a

·（

b

·

c

）；⑤乘法对加法的分配律：

a

·（

b

＋

c

）＝

a

·

b

＋

a

·

c

.乘方

乘除

加减

括号

左

右

a

＋（

b

＋

c

）

数学七年级上册BS版典例讲练02类型一

有理数的相关概念

给出下列各数：

（1）将上面各数填在相应的集合里.整数集合：{

…}；分数集合：{

…}；正数集合：{

…}；负数集合：{

…}.【思路导航】（1）根据整数、分数、正数和负数的概念填写﹔解：（1）整数集合：{42，0，－32，…}；

【点拨】（1）解答本题的关键是掌握有理数的相关概念.（2）按照从大到小的顺序用“＞”把这些数连接起来.【思路导航】（2）先化简各数，再比较大小.

【点拨】（2）比较数的大小时，要先化简，再比较.

（2）以上7个数中，绝对值最大的数为

，绝对

值最小的数为

，有

对互为相反数.3.5或－3.5

2

类型二

相反数与绝对值

（2）绝对值大于1而小于4的整数有

个；已知点

A

在数轴

上表示的数是－2，则与点

A

的距离等于3的点表示的数是

⁠

⁠.

－3

4

－5

或1

【思路导航】（1）根据相反数、倒数、绝对值的概念求解即

可；（2）利用数轴，根据绝对值的概念、数轴上两点的距离分

类讨论即可；【解析】（2）绝对值大于1而小于4的整数有±2，±3，共

有4个.若该点在点

A

的左边，则为－2－3＝－5；若该点在点

A

的右边，则为－2＋3＝1.故答案为4，－5或1.（3）若｜

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，且

a

＞

b

，则

a

－

b

＝

⁠.【思路导航】（3）根据绝对值的性质，结合

a

＞

b

得出

a

，

b

可

能的值，相减即可.7或1

【解析】（3）因为｜

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，所以

a

＝±3，

b

＝±4.又因为

a

＞

b

，所以

a

＝±3，

b

＝－4.①当

a

＝3，

b

＝－4时，

a

－

b

＝3－（－4）＝7；②当

a

＝－3，

b

＝－4时，

a

－

b

＝－3－（－4）＝1.故答案为7或1.【点拨】求值计算时，当给出的字母的值不唯一时，必须分情

况讨论，一个绝对值分两种情况，两个绝对值分四种情况.

5

5

25

－2

－6

【解析】因为｜

a

－2｜≤

b

＋3，所以

b

＋3≥0.又因为｜

a

－2｜＋

b

＝－3，所以｜

a

－2｜＋

b

＋3＝0.所以

a

－2＝0，

b

＋3＝0，解得

a

＝2，

b

＝－3.所以

ab

＝2×（－3）＝－6.故答案为－6.类型三

有理数的混合运算

计算：

（2）｜－45｜＋（－71）＋｜－5｜＋（－9）；解：（2）原式＝45－71＋5－9＝（45＋5）－（71＋9）＝50－80＝－30.

【点拨】进行有理数的混合运算时，互为相反数的两数先结

合；同号的两数先结合；同分母或易通分的分数先结合；其和

为整数的小数先结合.同时可巧妙应用运算法则和运算律，降低

运算难度和减少运算量.

计算：（1）－22－（－2）2－8＋（－2）3－42＋｜－4｜；解：（1）原式＝－4－4－8－8－16＋4＝－36.

类型四

数轴与绝对值

已知有理数

a

，

b

，

c

在数轴上的位置如图所示，所对应的

点分别为点

A

，

B

，

C

.

（1）在数轴上表示2的点与表示5的点之间的距离为

⁠；在数轴上表示－1的点与表示3的点之间的距离为

⁠；在数轴上表示－3的点与表示－5的点之间的距离为

⁠；由此可得，点

A

，

B

之间的距离为

，点

B

，

C

之间的

距离为

，点

A

，

C

之间的距离为

⁠.3

4

2

a

－

b

b

－

c

a

－

c

【思路导航】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（（2）化简：－｜

a

＋

b

｜＋｜

c

－

b

｜－｜

b

－

a

｜.【思路导航】（2）结合数轴，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类项即可；解：（2）由数轴可知，

c

＜

b

＜0＜

a

，且｜

a

｜＞｜

b

｜.则

a

＋

b

＞0，

c

－

b

＜0，

b

－

a

＜0.所以原式＝－（

a

＋

b

）＋（

b

－

c

）－（

a

－

b

）＝－

a

－

b

＋

b

－

c

－

a

＋

b

＝－2

a

＋

b

－

c

.（3）若

c2＝4，－

b

的倒数是它本身，

a

的绝对值的相反数是－

2，求－

a

＋2

b

－

c

－（

a

－4

c

－

b

）的值.【思路导航】（3）求出

a

，

b

，

c

的值，再将其代入化简后的代数式即可.解：（3）因为

c2＝4，－

b

的倒数是它本身，

a

的绝对值的相反数是－2，所以

c

＝－2，

b

＝－1，

a

＝2.所以原式＝－2

a

＋3

b

＋3

c

＝－2×2＋3×（－1）＋3×（－2）＝－4－3－6＝－13.【点拨】（1）｜

a

一

b

｜可表示数轴上两点的距离；（2）去绝

对值符号时，要考虑绝对值符号里面部分的正负性，若不能确

定，则需分类讨论.

已知有理数

a

，

b

，

c

在数轴上的位置如图所示.解答下列问题：（1）比较

a

，｜

b

｜，

c

的大小（用“＜”连接）；解：（1）根据数轴上点的位置，

得

a

＜

c

＜｜

b

｜.（2）若

m

＝｜

a

＋

b

｜－｜

b

－1｜－｜

a

－

c

｜，试化简等式的

右边；解：（2）根据数轴可知，

a

＋

b

＜

0，

b

－1＜0，

a

－

c

＜0.所以

m

＝－

a

－

b

＋

b

－1＋

a

－

c

＝

－1－

c

.

解：（3）原式＝－1－1＋1－

2024×（－1）2024＝－1－2024＝－2025.类型五

数轴上的动态问题

已知

b

是最小的正整数，且

a

，

b

，

c

满足｜

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，请解答下面问题：（1）求

a

，

b

，

c

的值.【思路导航】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负

性求解；（1）解：因为

b

是最小的正整数，所以

b

＝1.因为｜

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，所以

c

－5＝0，

a

＋

b

＝0.所以

c

＝5，

a

＝－

b

＝－1.即

a

＝－1，

b

＝1，

c

＝5.（2）

a

，

b

，

c

在数轴上所对应的点分别为点

A

，

B

，

C

，点

P

为数轴上一动点，其对应的数为

x

，点

P

在0到1之间运动时（即

0＜

x

＜1时），则｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜的值

为

⁠.10

【思路导航】（2）由0＜

x

＜1可知，

x

＋1，

x

－1，

x

－5的正负，再根据绝对值的意义进行化简计算；（2）【解析】因为0＜

x

＜1，所以

x

＋1＞0，

x

－1＜0，

x

－5＜0.所以｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜＝

x

＋1－（1－

x

）＋2（5－

x

）＝

x

＋1－1＋

x

＋10－2

x

＝10.故答案为10.（3）在（2）的条件下，点

A

，

B

，

C

开始在数轴上运动，点

A

以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点

B

和点

C

分别以

每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动.假设

t

秒

过后，点

B

与点

C

之间的距离表示为

BC

，点

A

与点

B

之间的距

离表示为

AB

.

请问：

BC

－

AB

的值是否随着时间

t

的变化而改

变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【思路导航】（3）先分别表示出点

A

，

B

，

C

在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算.（3）解：不变.根据题意可知，

t

秒时，点

A

对应的数为－1－

t

，点

B

对应的数

为2

t

＋1，点

C

对应的数为5

t

＋5.所以

BC

＝（5

t

＋5）－（2

t

＋1）＝3

t

＋4，

AB

＝（2

t

＋1）－（－1－

t

）＝3

t

＋2.所以

BC

－

AB

＝（3

t

＋4）－（3

t

＋2）＝2.所以

BC

－

AB

的值不随着时间

t

的变化而改变，且

BC

－

AB

＝2.【点