人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第4课时）》示范教学课件

解直角三角形及其应用（第4课时）人教版九年级数学下册利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．方向角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海及部队行进等方面应用广泛．你知道怎样利用方向角测量两地的距离吗？一般地，方向角是指目标与参照物所在的直线和南北方向所在的直线所夹的锐角．利用方向角，根据已知条件构造直角三角形，然后通过解直角三角形就可得出所求两地的距离．点A

在点O

的北偏东60°方向，点B

在点O

的南偏东45°方向（东南方向），点C

在点O

的南偏西80°方向，点D

在点O

的北偏西30°方向．南偏东45°也称为东南方向；南偏西45°也称为西南方向；北偏西45°也称为西北方向；北偏东45°也称为东北方向．特别注意（1）方向角通常是以南北方向线为基准，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”．（2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，因此，通常借助于此性质进行角度的转换．例1

如图，一艘海轮位于灯塔P

的北偏东65°方向，距离灯塔80

n

mile

的A

处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P

的南偏东34°方向上的B

处．这时，B

处距离灯塔P

有多远（结果取整数）？分析：能确定的线段和角有：___________________________________．要求解的是：________________．∠A＝65°，PA＝80

n

mile，∠B＝34°线段PB

的长度解：如图，在Rt△APC

中，PC

＝PA·sin

65°≈72.505（n

mile）．在Rt△BPC

中，∠B＝34°，∵sin

B＝

，∴PB＝

≈130（n

mile）．因此，当海轮到达位于灯塔P

的南偏东34°方向时，它距离灯塔P

大约130

n

mile．例2

海中有一个小岛A，它周围8

n

mile

内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B

点测得小岛A

在北偏东60°方向上，航行12

n

mile

到达D

点，这时测得小岛A

在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？EFC解：如图，过A

点作AE⊥BD

于点E，过D

点作DC∥AE，则AE

是点A

到BD

的最短距离，且

CD//AE//BF．∴∠BAE＝∠ABF＝60°，∠DAE＝∠ADC＝30°．∴∠ABE＝∠BAD＝30°．∴AD＝BD＝12

n

mile．∴AE＝AD·sin

60°＝12×＝6

（n

mile）．∵6

＞8，∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．EFC解题思路解答关于方向角的应用题时，对于非直角三角形问题，可以通过作辅助线转化成直角三角形问题来解决．多利用正北、正南、正东、正西方向线构造直角三角形，注意所作的辅助线尽量不分割已知的特殊角．例3

如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A

地到B

地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C

处有一个大型油库．现测得油库C

在A

地的北偏东60°方向上，在B

地的西北方向上，B

地在A

地的正东方向上，AB

的距离为250(

＋1)m．已知在以油库C

为中心，半径为200

m

的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问：若在此路段修建铁路，油库C

是否受到影响？请说明理由．解：如图，过点C

作CD⊥AB

于点D．由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．在Rt△ADC

中，tan∠CAD＝

，即tan

30°＝

，∴

AD＝

CD．在Rt△BDC

中，tan∠CBD＝

，即tan

45°＝

，∴BD＝CD．D∵AD＋BD＝AB，∴

CD＋CD＝250(

＋1)m，∴CD＝250

m．∵250

m＞200

m，∴在此路段修建铁路，油库C

不会受到影响．D例4

知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C

表示）开展社会实践活动，车到达A

地后，发现C

地恰好在A

地的正北方向，且距离A

地13

km，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B

地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C

地，求B，C

两地的距离．解：如图，作BD⊥AC

于点D，则∠BAD＝60°，∠DBC＝53°．设AD＝x

km，则在Rt△ABD

中，BD＝AD·tan∠BAD＝

x（km），在Rt△BCD

中，CD＝BD·tan∠DBC≈

x×＝

x（km）．由AC＝AD＋CD，得x＋

x

＝13，解得x＝4

－3．D所以