高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第6课时二项分布、超几何分布与正态分布学案

第6课时二项分布、超几何分布与正态分布[考试要求]1．理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．考点一n重伯努利试验与二项分布1．两点分布如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．2．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．n重伯努利试验及其概率[典例1](1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝1)＝25A．P(X＝0)＝35 B．E(X)＝C．E(2X＋1)＝95 D．D(X)＝(2)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和3①求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；②求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；③假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？(1)ACD[P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35，故A正确；E(X)＝P(X＝1)＝25，故B错误；E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝95，故C正确；D(X)＝(2)[解]①记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努故P(A1)＝C44所以P(A1)＝1－P(A1)＝1－1681＝所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581②记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则P(A2)＝C42×P(B2)＝C43×由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×27所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18③记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，则A3＝4D5且P(Di)＝14由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1＋D2D1＝14×1所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451024二项分布的性质[典例2]已知随机变量X～B6，0.8，若P(X＝k)最大，则D24[由题意知：PX=k＝C6k·0.26-k·0.8要使PX=k最大，有C解得235≤k≤285，故又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，故DkX+1＝D5X+1＝52D(X)＝24.]二项分布的均值与方差[典例3](2024·湖南株洲模拟)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为12，服用M2有效的概率为1(1)求一个试验组为优类组的概率；(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．[解](1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2.依题意有：PA0＝122＝14，PA1＝2×12×12＝PB0＝23×23＝49，PBPB2＝132则一个试验组为优类组的概率为：P＝PB0·A1＋PB0·A2(2)由题意可知ξ～B3，Pξ=0＝593＝Pξ=1＝C31×Pξ=2＝C32×Pξ=3＝493＝则ξ的分布列为ξ0123P1251008064E(ξ)＝3×49＝4判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．跟进训练1(1)(多选)(2024·江西师大附中高三检测)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则()A．P(X＝1)＝P(X＝9)＝5B．P(X＝1)＝P(X＝9)＝1C．E(X)＝10D．D(X)＝5(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．(1)AD[设A＝“向右下落”，A＝“向左下落”，则P(A)＝P(A)＝12因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B10，12，于是P(X＝1)＝C101·12×129＝5512，同理可得：P(X＝9)＝C109129×(2)[解]①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为25，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为3所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为P＝1－C40×25②根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B4，则P(X＝0)＝354＝P(X＝1)＝C41×P(X＝2)＝C42×P(X＝3)＝C43×P(X＝4)＝254＝所以X的分布列为X01234P812162169616所以E(X)＝4×25＝8考点二超几何分布1．定义一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋2．超几何分布的均值若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN[典例4]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．[解](1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数为3，2，2.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.所以P(X＝0)＝C33CP(X＝1)＝C41CP(X＝2)＝C42CP(X＝3)＝C43C所以随机变量X的分布列为X0123P112184所以E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×4【教师备用】某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测时次品的个数为X，求X的分布列及期望．[解](1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则PA＝C93C(2)X可能取值为0，1，2.则PX=0＝C83CPX=1＝C82CPX=2＝C81C故X的分布列是X012P771故EX＝0×715＋1×715＋2×115＝(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．跟进训练2(2024·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求PY=5.[解](1)X可能的取值为0，1，2，PX=k＝C2kC分布列如下：X012P133故X的数学期望EX＝65(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，所以所求概率P＝1-25考点三正态分布1．正态曲线与正态分布(1)我们称f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．2．正态曲线的特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值1σ(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．4．正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．[典例5](1)(2023·上海嘉定三模)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：甲：P(X>m＋1)>P(X<m－2)；乙：P(X≤m)＝0.5；丙：P(X≥m)＝0.5；丁：P(m－1<X<m)<P(m＋1<X<m＋2)．如果有且只有一个是假命题，那么该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2024·河北统考模拟)某地种植的苹果按果径X(单位：mm)的大小分级，其中X∈[80，100]的苹果为特级，且该地种植的苹果果径X～N(85，25)．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为()(参考数据：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A．3000B．13654C．16800D．19946(3)(多选)(2024·辽宁联考一模)随机变量X～N(μ，σ2)且P(X≤2)＝0.5，随机变量Y～B(3，p)，若E(Y)＝E(X)，则()A．μ＝2 B．D(X)＝2σ2C．p＝23 D．D(3Y(1)D(2)C(3)ACD[(1)因为P(X≤m)＝0.5，P(X≥m)＝0.5均等价于μ＝m，由题意可得：乙、丙均为真命题，且μ＝m，对于甲：因为P(X>m＋1)＝P(X<m－1)>P(X<m－2)，故甲为真命题；对于丁：因为P(m－1<X<m)＝P(m<X<m＋1)>P(m＋1<X<m＋2)，故丁为假命题．故选D.(2)由X～N(85，25)，得μ＝85，σ＝5，P(80≤X≤85)＝12P(80≤X≤90)≈12P(85≤X≤100)＝12P(70≤X≤100)≈12所以P(80≤X≤100)＝P(80≤X≤85)＋P(85≤X≤100)＝0.84，所以特级苹果的个数约为20000×0.84＝16800个，故选C.(3)因为X～N(μ，σ2)且P(X≤2)＝0.5，所以μ＝2，故E(X)＝μ＝2，D(X)＝σ2，选项A正确，选项B错误；因为Y～B(3，p)，所以E(Y)＝3p＝E(X)，所以3p＝2，解得p＝23D(3Y)＝9D(Y)＝9×3×23【教师备用】中国载人航天事业迈入了一个又一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N(90，100)，航天员在此项指标中的要求为ξ≥110.某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为13(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数(结果取整数)．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.[解](1)易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝23；P(X＝2)＝13×23＝29；P(X＝3)＝13×13×所以X的分布列为X1234P2221所以E(X)＝1×23＋2×29＋3×227＋4×127(2)因为ξ服从正态分布N(90，100)，所以P(ξ≥110)≈1-设1000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则Z～B(1000，0.02275)，所以E(Z)＝1000×0.02275＝22.75≈23，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，且每位同学通过选拔的概率P＝134＝181，则通过学校选拔的人数Y～故E(Y)＝23×181＝2381解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.跟进训练3(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．(3)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)≈________．参考数值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(1)D(2)0.14(3)20.9545[(1)对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D.(2)由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14.(3)由X～N(2，9)可知，正态分布的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)≈0.9545.]课后习题(五十五)二项分布、超几何分布与正态分布1．(北师大版选择性必修第一册P229复习题六T3改编)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＋D(X)＝209，则P(X≥A．1681B．6581C．8B[因为E(X)＋D(X)＝209所以4p＋4p(1－p)＝209即(p－1)2＝49因为0<p<1，所以p＝13故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－1-132．(多选)(苏教版选择性必修第二册P145复习题T14改编)若袋子中有2个白球、3个黑球(球除了颜色不同，没有其他任何区别)，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球．取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则()A．X～B4，35 B．P(C．E(X)＝85 D．D(X)＝BCD[由题意知，每次取到白球的概率为25，取到黑球的概率为35，由于取到白球记1分，取到黑球记0分，所以X为4次取球取到白球的个数，易知X～B4，25，故A错误；P(X＝3)＝C43253×35＝96625，故B正确；E(X)＝43．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977C[∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．310[由题意得P(X＝2)＝C325．(多选)(2024·辽宁沈阳高三模拟)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，E(X)，D(X)分别为随机变量XA．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝4AB[由题意可知，P(X＝1)＝23，所以E(X)＝0×13＋1×23D(X)＝0-232×13+1-232×23＝296．(多选)(2023·辽宁大连联考三模)若随机变量X～B10，A．P(X＝3)＝CB．期望E(X)＝20C．期望E(3X＋2)＝22D．方差D(3X＋2)＝20BCD[A选项：因为X～B10，23，所以P(XB选项：E(X)＝10×23＝203，故B正确；C选项：E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×D选项：D(X)＝10×23×1-23＝209，D(3X＋2)＝327．(2024·浙江嘉兴模拟预测)若离散型随机变量X服从X～B(5，p)，且E(X)＝103，则P(X≤A．19B．427C．17C[因为X～B(5，p)，所以E(X)＝5p＝103，得p＝2所以P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝C522328．(2024·宁夏银川模拟预测)泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk！e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np.一般地，当n≥20而p≤0.05时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量X～B(1000，0.001)，P(A．1－1e B．1－C．1－e4 D．1－B[由题意知，n＝1000≥20，p＝0.001≤0.05，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ＝1000×0.001＝1，所以P(X＝k)＝1k！e-所以P(X＝0)＝10！e-1＝P(X＝1)＝11！e-1＝则P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－2e9．(2024·山东潍坊高考模拟)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)＝________．27[当X＝2时，P(X＝2)＝C51当X＝3时，P(X＝3)＝C33C则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝1556+110．(2024·浙江金华联考模拟)一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行4次试验，则恰出现一次成功试验的概率为________．3281[一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种，两枚骰子点数之和为5的情况有4种，两枚骰子点数之和为6的情况有5种，在一次试验中，出现成功试验的概率P＝3+4+536＝设出现成功试验的次数为X，则X～B4，13，所以重复做这