2022年湖南省长沙市开福区周南实验中学数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（）A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值16 D．等于定值242．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）.A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里3．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．下列说法：其中正确判断的序号是（）①抛物线与直线y＝3有且只有一个交点；②若点M（﹣2,y1），N（1,y2），P（2,y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝（x+1）2+1；④在x轴上找一点D，使AD+BD的和最小，则最小值为．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④4．已知点P（a，b）是平面直角坐标系中第四象限的点，则化简+|b-a|的结果是（）A． B．a C． D．5．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为()A．1 B．-8 C．-7 D．76．点P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，3） D．（﹣3，﹣5）7．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（）A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:98．如图，已知，是的中点，且矩形与矩形相似，则长为()A．5 B． C． D．69．抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是（）A．(-1，2)B．(-1，-2)C．(1，-2)D．(3，4)10．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为()A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1二、填空题(每小题3分,共24分)11．一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是_____．12．如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与反比例函数、的图象交于A、B两点，则tan∠OAB的值是______．13．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么__________．14．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．15．如图，一辆汽车沿着坡度为的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直高度下降了米.16．关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．17．在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母“”的概率为______．18．计算：____________三、解答题(共66分)19．（10分）期中考试中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如表信息：ABCDE平均分中位数数学7172696870英语8882948576（1）完成表格中的数据；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差．从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？20．（6分）如图，正方形的对角线、相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，它们相交于点．求证：四边形是正方形．21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.22．（8分）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？23．（8分）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．24．（8分）已知＝，求的值．25．（10分）为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A，B，C，D，E，F，G，H），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，学生垃圾类别ABCDEFGH可回收物√××√√×√√其他垃圾×√√√√×√√餐厨垃圾√√√√√√√√有害垃圾×√×××√×√（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出，从而得出，通过证得△POC∽△PBA，得出，即可得出S△PAB＝1S△POC＝1．【详解】如图，由题意可知S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，∵S△POC＝OC•PC，S矩形ACOD＝OC•AC，∴，∴，∴，∵AB∥轴，∴△POC∽△PBA，∴，∴S△PAB＝1S△POC＝1，∴△PAB的面积等于定值1．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用相似三角形面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．2、C【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．【详解】如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB=60°，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC==，∴BC=20海里．故选C．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3、C【分析】根据抛物线的性质和平移，以及一动点到两定点距离之和最小问题的处理方法，对选项进行逐一分析即可.【详解】①抛物线的顶点，则抛物线与直线y＝3有且只有一个交点，正确，符合题意；②抛物线x轴的一个交点在2和3之间，则抛物线与x轴的另外一个交点坐标在x＝0或x＝﹣1之间，则点N是抛物线的顶点为最大，点P在x轴上方，点M在x轴的下放，故y1＜y3＜y2，故错误，不符合题意；③y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x+1）2+3，将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝（x+1）2+1，正确，符合题意；④点A关于x轴的对称点，连接A′B交x轴于点D，则点D为所求，距离最小值为BD′＝＝，正确，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查抛物线的性质、平移和距离的最值问题，其中一动点到两定点距离之和最小问题比较巧妙，属综合中档题.4、A【解析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，求解即可．【详解】∵点P(a,b)是平面直角坐标系中第四象限的点，∴a>0，b<0，∴b−a<0，∴+|b-a|=−b−(b−a)=−b−b+a=−2b+a=a−2b，故选A.【点睛】本题考查点的坐标，二次根式的性质与化简，解题的关键是根据象限特征判断正负.5、D【解析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的一个根是1，∴1+m−8=0，解得：m=7.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的解.6、D【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，横纵坐标的坐标符号均相反，根据这一特征求出对称点坐标．【详解】解：点P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（-3，-5），

故选D．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．7、A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，∴它们的对应中线之比为1:3.故选A.点睛:本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.8、B【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：∵矩形ABDC与矩形ACFE相似，∴，∵，是的中点，∴AE=5∴，解得，AC=5，故选B．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．9、D【解析】根据抛物线解析式y=(x-3)2+4,可直接写出顶点坐标.【详解】y=(x-3)2+4的顶点坐标是(3，4).故选D.【点睛】此题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=k.10、B【分析】先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，∴或∴整理方程即得：∴将代入化简即得：解得：，故选：B．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．二、填空题(每小题3分,共24分)11、．【分析】直接利用概率求法，白球数量除以总数进而得出答案．【详解】∵一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，∴随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．12、【分析】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，即可得S△AOC=2，S△OBD=，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得，然后由正切函数的定义求得答案．【详解】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，

∴∠ACO=∠ODB=90°，

∴∠OBD+∠BOD=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠OBD=∠AOC，

∴△OBD∽△AOC，∴，∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，∴S△OBD=，S△AOC=2，∴，∴tan∠OAB=.故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．13、【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，∴故答案为．【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，理解黄金分割点的比例并会运算是解题的关键．14、【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴,整理得，，∴当时，故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.15、25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2=1．解得x=25，即它距离地面的垂直高度下降了25米．【点睛】此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．16、1．【解析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，解得：m=1，故答案为1.17、【分析】由题意可知总共有11个字母，求出字母的个数，利用概率公式进行求解即可．【详解】解：共有个字母，其中有个，所以选中字母“”的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.18、1【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．【详解】解：原式====1，故答案为：1.【点睛】本题考查了分式混合运算，主要考查学生的计算能力，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）70，70，85，85；（2）数学．【分析】（1）由平均数、中位数的定义进行计算即可；（2）代入公式：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差计算，再比较即可．【详解】（1）数学平均分是：×（71+72+69+68+70）＝70分，中位数为：70分；英语平均分是：×（88+82+94+85+76）＝85分，中位数为：85分；故答案为：70，70，85，85；（2）数学成绩的方差为：[（71﹣70）2+（72﹣70）2+（69﹣70）2+（68﹣70）2+（70﹣70）2]＝2；英语成绩的方差为：[（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]＝36；A同学数学标准分为：＝，A同学英语标准分为：＝，因为，所以A同学在本次考试中，数学学科考得更好．【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键．20、见解析【分析】根据已知条件先证明四边形OBEC是平行四边形，再证明∠BOC=90°，OC=OB即可判定四边形OBEC是正方形．【详解】∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形．【点睛】本题考查正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和判定．21、（1）见解析（2）AF=2【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴∴AF=22、（1）直线y=x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是1．【解析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；（3）设M（a，a2），得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．【详解】（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，,A点的坐标为（-2，1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（-2，1）代入得解得∴y＝x＋4∵直线与抛物线相交，解得：x=-2或x=8，

当x=8时，y=16，

∴点B的坐标为（8，16）；（2）存在．∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325.设点C(m，0)，同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－；②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6；③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32，∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)（3）设M(a，a2)，则MN＝，又∵点P与点M纵坐标相同，∴x＋4＝a2，∴x=，∴点P的横坐标为，∴MP＝a－，∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－(a－6)2＋1，∵－2≤6≤8，∴当a＝6时，取最大值1，∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是123、（1）50（2）条形统计图见解析，57.6°（3）292天【分析】（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，即可得出被抽取的总天数．（2）利用轻微污染天数是50-32-8-3-1-1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，即可得出答案．（3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即可【详解】（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）．（2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天．因此补全条形统计图如图所示：；扇形统计图中表示优的圆心角度数是360°=57.6°．（3）∵样本中优和