高三数学一轮复习第二章函数第1课时函数的概念及其表示学案

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：函数的奇偶性、函数性质的综合．函数的性质主要考查与抽象函数有关的问题(奇偶性、单调性、对称性、周期性等)．2．轮考点：函数的概念、图象，函数的应用．(1)函数的概念主要考查新定义问题、分段函数的求值等问题；(2)函数的图象主要考查基本初等函数图象的识别；(3)指数、对数、幂函数主要考查代数值的大小比较，对数函数的性质应用等问题；(4)函数的应用主要考查函数零点问题、函数模型的应用等．第1课时函数的概念及其表示[考试要求]1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．考点一函数的概念1．函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素定义域x的取值范围A对应关系y＝f(x)，x∈A值域与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}提醒：以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．(5)正切函数y＝tanx的定义域为x│x≠k(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，就是f(x)的定义域．[典例1](1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()ABCD(2)函数f(x)＝x+13x-2＋(A．23，+∞ B．23C．23，1∪(1，＋∞) (3)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝f2A．(－∞，－2)∪(－2，3]B．[－8，－2)∪(－2，1]C．[－15，－2)∪(－2，3]D．-92(1)B(2)C(3)D[(1)A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2]．故选B．(2)要使函数f(x)＝x+13x-2＋(则3x-2>0x-1≠0因此，函数f(x)的定义域为23，1∪(1，＋(3)由题意得－8≤2x＋1又x＋2≠0，解得x≠－2，故函数的定义域是-92本例(1)考查对函数概念的理解，注意集合A中任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y与之对应；本例(2)特别注意(x－1)0中x－1≠0；本例(3)要注意f(x)中的“x”与f(2x＋1)中“2x＋1”的范围一致．跟进训练1(1)函数f(x)＝4-A．[－2，2] B．(－2，3)C．[－2，1)∪(1，2] D．(－2，1)∪(1，2)(2)已知函数f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数f(2x－2)的定义域为()A．(0，2) B．-C．(1，2) D．-(3)若函数y＝mx-1mx2+A．0，34 C．0，34 (1)C(2)C(3)D[(1)要使函数有意义，则4-x2≥故函数f(x)的定义域为[－2，1)∪(1，2]．故选C．(2)对于函数f(x＋2)，－2<x<0，所以0<x＋2<2，即f(x)的定义域为(0，2)，对于函数f(2x－2)，0<2x－2<2，即1<x<2，故f(2x－2)的定义域是(1，2)．故选C．(3)∵函数y＝mx-1mx∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或m≠即m＝0或0<m<34∴实数m的取值范围是0，3考点二同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．[典例2]下列各组中的两个函数为同一个函数的是()A．y1＝x2-16x-4，B．f(x)＝x－1，g(x)＝x2C．f(x)＝x2－2x＋1，g(t)＝t2－2t＋1D．f1(x)＝1，f2(x)＝x0C[A项：y1的定义域不包括x＝4，两个函数的定义域不同，所以是不同函数；B项：g(x)＝x2－1＝|x|－1≠f(xC项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一个函数；D项：f2(x)的定义域不包括x＝0，两个函数的定义域不同，所以是不同函数．故选C．]判断两个函数是否为同一个函数的注意点：(1)f(x)与g(x)的(化简之前)定义域必须相同；(2)f(x)与g(x)的(化简之后)表达式必须相同；(3)二者缺一不可．跟进训练2(多选)下列四组函数，f(x)与g(x)不表示同一个函数的是()A．f(x)＝x－1，g(x)＝xB．f(x)＝x，g(x)＝(x)2C．f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0D．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝x+1，ABC[对A，g(x)＝x2-1x+1(x≠－1)，f(x对B，g(x)＝(x)2＝x(x≥0)，f(x)与g(x)定义域不同；对C，g(x)＝(x＋1)0＝1(x≠－1)，f(x)与g(x)定义域不同；对D，f(x)＝|x＋1|＝x+1，x≥-1，-x-1，x<-1，考点三函数解析式的求法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)构造方程组消元法．[典例3](1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R均满足：2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1(2)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝________．(3)已知fx-1x＝x2＋1x2，则函数f((1)A(2)4x＋1(3)x2＋211[(1)由2f(x)－f(－x)＝3x＋1，可得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，①又4f(x)－2f(－x)＝6x＋2，②①＋②得：3f(x)＝3x＋3，解得f(x)＝x＋1，故选A．(2)∵f(x)为单调递增的一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53(不合题意，舍去)．因此f(x)＝4x(3)令x－1x＝t，则x2＋1x2＝x-1所以f(t)＝t2＋2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(3)＝32＋2＝11．]本例(1)的关键是构造关于f(x)与f(－x)的二元一次方程组，用构造方程组消元法求解；本例(2)注意f(x)为单调递增的一次函数，设f(x)＝ax＋b，a>0，用待定系数法求解；本例(3)换元法的关键是令x－1x＝t，发现x2＋1x2＝x-1x跟进训练3(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x[解](1)法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1，x≥1．法二(换元法)：令x＋1＝t，t≥1，则x＝t－1，x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a=1，∴f(x)＝12x2－32(3)(方程组法)∵2f(x)＋f1x＝3x，∴将x用1x得2f1x＋f(x)＝3x由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠考点四分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．提醒：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[典例4](1)已知函数f(x)＝2x-1，x<A．8 B．7C．6 D．5(2)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝x2-4，x>2，x-3+a，(1)A(2)2[(1)因为函数f(x)＝2所以f(3)＝23＝8．故选A．(2)因为6>2，所以f(6)＝6－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]由于分段函数在x的不同取值范围内对应的表达式不同，所以做题时应注意函数表达式的选择．本例(1)因为3>0，则代入f(x)＝2x；本例(2)在求解时要先内后外，即先求出f(6)的值为2，再求f(f(6))＝f(2)＝1＋a．跟进训练4(1)(2024·山东省聊城一中期中)已知函数f(x)＝3x+1，x≥4，A．37 B．41C．19 D．23(2)已知函数f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0，A．－3 B．－1C．1 D．3(3)已知函数f(x)＝1则f(f(－2))＝________．(1)B(2)A(3)4[(1)因为f(x)＝3x+1，x≥4，fx2，x<4，因此，f(3)＋f(4)＝41．故选B．(2)∵函数f(x)＝2∴f(1)＝21＝2，∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程2a＝－2无解，即满足条件的a不存在；当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3．∴a＝－3．故选A．(3)由f(x)＝1所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝23-1＝22＝4．故答案为4．]课后习题(五)函数的概念及其表示1．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f(x)＝|x－1|的图象是()ABCDB[函数f(x)＝|x－1|＝x-1，2．(多选)(人教A版必修第一册P72习题3.1T2改编)下列各组函数是同一个函数的是()A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝-x3与g(x)＝C．f(x)＝xx与g(x)＝D．f(x)＝x与g(x)＝xAC[f(x)＝-x3＝－x-x与g(x)＝x-x的表达式不同；f(x)＝x与g(x)＝x23．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋1x，则f(x)的定义域为________；若f(a)＝2，则a(－∞，0)∪(0，＋∞)1[要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋1a＝2，解得a4．(人教A版必修第一册P74习题3.1T13改编)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．(1)若f(a)＝3，求实数a的取值范围；(2)当x∈(－1.5，2]时，写出函数f(x)的解析式．[解](1)若f(a)＝3，则[a]＝3，[x]表示不超过x的最大整数，知a∈[3，4)．(2)当x∈(－1.5，2]时，f(x)＝-5．下列图象中，能表示函数y＝f(x)图象的是()A．①② B．②③C．②④ D．①③D[∵一个x只能对应一个y，∴①③符合题意．对于②中，当x>0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义；对于④中，当x＝0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义．故选D．]6．(2024·福建福州模拟)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝xB．f(x)＝2lgx，g(x)＝lgx2C．f(x)＝|x|，g(x)＝xD．f(x)＝12x，g(xC[A选项，f(x)＝x的定义域是R，g(x)＝x2x的定义域是{x|xB选项，f(x)＝2lgx的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lgx2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数；C选项，g(x)＝x2＝|x|＝f(x)，两个函数D选项，f(x)＝12x的定义域是R，g(x)＝7．(2024·湖北省武昌实验中学校考模拟预测)已知函数f(x)＝2x，x≥4，A．6 B．11C．24 D．36C[1＋log23∈(2，3)，所以f(1＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝238．(多选)十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，则称f(x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是()A．f(x)＝1 B．f(x)＝x2C．f(x)＝ex D．f(x)＝lnxAC[对于A：f(x)＝1，则f(－x)＝1，所以f(x)·f(－x)＝1，故A正确；对于B：f(x)＝x2，则f(2)·f(－2)＝16，故B错误；对于C：f(x)＝ex，则f(－x)＝e－x，所以f(x