人教A版普通高中数学一轮复习第九章第二节用样本估计总体学案

第二节用样本估计总体考试要求：1．结合实例，合理使用统计图表对总体进行估计．2．结合实例，掌握样本的数字特征，了解百分位数的统计含义．3．结合实例，能够利用样本的集中趋势与离散程度估计总体的集中趋势与离散程度．自查自测知识点一频率分布直方图1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为()A．4 B．8C．12 D．16B解析：设频数为n，则n32＝0.25，所以n＝32×2．(教材改编题)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为[66，70)，[70，74)，…，[94，98]八组，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品的数量是()A．20部 B．40部C．64部 D．80部D解析：由频率分布直方图，可知评分在区间[82，86)内的影视作品的数量为400×0.050×4＝80(部)．核心回扣1．频率分布直方图的画法第一步：求极差；第二步：决定组距与组数，组距＝；第三步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第四步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；第五步：画频率分布直方图．2．频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．横轴表示样本数据，纵轴表示极差组数，各小长方形的频率注意点：各个小长方形的面积之和等于面积．自查自测,知识点二平均数、众数、中位数、百分位数1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87，89，90，91，92，93，94，96，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92A解析：因为这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位数是91+922平均数x＝18×2．(多选题)已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，则下列说法正确的是()成绩/个10987人数1432A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为8.4B．这10名男生引体向上测试成绩的第25百分位数为7.5C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数为8.5D．这10名男生引体向上测试成绩的众数为9ACD解析：对于A，这10名男生引体向上测试成绩的平均数为10+4×9+3×8+2×710对于B，将这10名男生引体向上的测试成绩按从小到大的顺序排序得7，7，8，8，8，9，9，9，9，10，又10×25%＝2.5，则第25百分位数是第3个数，即为8，所以B错误；对于C，这10名男生引体向上测试成绩的中位数为9+82对于D，这10名男生引体向上测试成绩的众数为9，所以D正确．核心回扣1．中位数：将一组数据按大小的顺序依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．2．众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．3．平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数x＝1n(x1＋x2＋…＋xn4．百分位数(1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．自查自测知识点三方差、标准差(教材改编题)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中，可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均值B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数B解析：因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．核心回扣如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数据的平均数为x＝1n(x1＋x2＋…＋xn标准差为s＝1n方差为s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(【常用结论】平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2.②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.应用设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为()A．0.01 B．0.1C．1 D．10C解析：因为数据axi＋b(i＝1，2，…，n)的方差是数据xi(i＝1，2，…，n)的方差的a2倍，所以所求数据的方差为102×0.01＝1.统计图表及其应用1．某商场在售的三类食品共200种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为40的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是()A．8 B．12C．24 D．30B解析：由题意，利用分层随机抽样方法从中抽取容量为40的样本，可知需要抽取的植物油类食品的种数是40×30%＝12.2．(2024·德州模拟)空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，300)和[300，500]六档，分别对应”优””良””轻度污染””中度污染””重度污染”和”严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是()A．这14天中有5天空气质量为”中度污染”B．从2日到5日空气质量越来越好C．这14天中空气质量指数的中位数是214D．连续3天中空气质量指数方差最小的是5日到7日B解析：对于A，这14天中有4天空气质量指数在[150，200)内，则有4天为”中度污染”，A错误；对于B，从2日到5日空气质量指数逐渐下降，即空气质量越来越好，B正确；对于C，将14组数据从小到大排列为80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，其中位数为12×对于D，5日到7日的这3天，数据相差比较大，所以连续3天中空气质量指数方差最小的不是5日到7日，D错误．3．(多选题)我国人口老龄化加剧，出现劳动人口不断减少，生育率降低等问题．为了缓解人口压力，我国陆续开放二孩、三孩政策．为了解户籍和性别对生育多胎(二胎或三胎)选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人．绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例，则下列叙述中正确的是()A．是否倾向选择生育多胎与户籍有关B．是否倾向选择生育多胎与性别有关C．倾向选择生育多胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数AD解析：城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育多胎的比例为80%，差异较大，故A正确；男性与女性倾向选择生育多胎的比例均为60%，故B错误；男性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为60×60%＝36，女性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为40×60%＝24，故C错误；倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数为50×(1－80%)＝10，城镇户籍人数为50×(1－40%)＝30，故D正确．统计图表的主要应用扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；折线图：描述数据随时间的变化趋势；条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．频率分布直方图【例1】某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩(单位：分)，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．(1)求分数在区间[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分．解：(1)设分数在[70，80)内的频率为x，根据频率分布直方图，可得(0.010＋0.015＋0.020＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分数在[70，80)内的频率为0.25.补全频率分布直方图，如图所示．(2)因为分数在区间[80，90)内的频率为0.25，在区间[90，100]内的频率为0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，所以排名前10%的分界点成绩在[80，90)内，设为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界点成绩为88分，即获奖的学生至少需要88分．频率分布直方图的相关结论(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)频率分布直方图中纵轴表示频率组距，每组样本的频率为组距×频率(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．(2024·四川模拟)某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算标准分(最高为100分)，统计并制成如图所示的频率分布直方图，则这次摸排中标准分不低于70分的企业数为()A．30 B．60C．70 D．130C解析：根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35，所以标准分不低于70分的企业数为0.35×200＝70.总体集中趋势的估计考向1百分位数、平均数、中位数及众数【例2】(1)为做好”甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三(1)班、(2)班各10名同学的体温(单位：℃)记录(从低到高)．高三(1)班：36.1，36.2，m，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0；高三(2)班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n，37.1.若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n－m为()A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3C解析：高三(1)班的第25百分位数是m，第90百分位数是12×(36.8＋37.0)＝36.9；高三(2)班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12(n＋37.1)，所以m＝36.3，12(n＋37.1)＝36.9，解得n＝36.7，所以n(2)某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如表：年龄/岁45403632302928人数/人2335241下列说法正确的是()A．29.5是这20人年龄的一个25%分位数B．29.5是这20人年龄的一个75%分位数C．36.5是这20人年龄的一个中位数D．这20人年龄的众数是5A解析：对于A，20×25%＝5，25%分位数为29+302＝29.5，故A正确对于B，20×75%＝15，75%分位数为40+362对于C，这20人年龄的中位数是32+322对于D，这20人年龄的众数是32，故D错误．1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数都一样，则没有众数．考向2与频率分布直方图有关的数字特征计算【例3】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的频率分布直方图，则()A．这种疾病患者的年龄小于等于30岁的概率约为0.2B．这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁C．这种疾病患者的年龄的众数约为45岁D．这种疾病患者的平均年龄约为48岁C解析：小于等于30岁的概率为0.001×10＋0.002×10＋0.012×10＝0.15，故A错误；中位数左、右两侧的长方形的面积和相等，结合图形可以看出中位数大于45，故B错误；而众数为最高长方形的中点，所以众数为45岁，故C正确；平均年龄为(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)，故D错误．1．最高的小长方形的中点横坐标即为众数．2．中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．3．平均数是频率分布直方图的”重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和．1．(2024·日照模拟)已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则这组数据的中位数估计值为()A．64 B．65C．64.5 D．66B解析：因为0.030×10＝0.3＜0.5，(0.030＋0.040)×10＝0.7>0.5，所以中位数位于[60，70)内．设中位数为x，则0.030×10＋(x－60)×0.040＝0.5，解得x＝65，即中位数的估计值为65.2．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是()甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A．甲组的极差是29B．甲组的中位数是25C．乙组的众数是21D．甲组的平均数比乙组大B解析：对于A，甲组数据的最大值为37，最小值为8，则极差为37－8＝29，故A正确；对于B，甲组数据从小到大排列为8，12，13，20，22，24，25，26，27，37，所以甲组的中位数是22+242对于C，乙组的众数是21，故C正确；对于D，甲组的平均数为110×(8＋12＋13＋27＋24＋37＋22＋20＋25＋26)＝21.4，乙组的平均数为110所以甲组的平均数比乙组大，故D正确，总体离散程度的估计考向1方差、标准差的计算【例4】(1)一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为x(x≠0)，标准差为s.另一组样本数据xn＋1，xn＋2，…，x2n的平均数为3x，标准差为s.两组数据合成一组新数据x1，x2，…，xn，xn＋1，…，x2n，新数据的平均数为y，标准差为s′，则()A．s′>sB．s′＝sC．s′<sD．s′与s的大小与n有关A解析：对于数据x1，x2，…，xn，可得eq\f(1,n)i＝eq\x\to(x)，eq\f(1,n)(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)(eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2)＝s2，所以i＝neq\x\to(x)，eq\o\al(2,i)＝n(s2＋eq\x\to(x)2).对于数据xn＋1，xn＋2，…，x2n，可得eq\f(1,n)＝3eq\x\to(x)，eq\f(1,n)(xi－3eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)[eq\o\al(2,i)－n(3eq\x\to(x))2]＝s2，eq\f(1,n)(xi－3eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)[eq\o\al(2,i)－n(3eq\x\to(x))2]＝s2，对于数据x1，x2，…，xn，xn＋1，…，x2n，可得平均数eq\x\to(y)＝eq\f(1,2n)＝eq\f(1,2n)(＋)＝eq\f(1,2n)(neq\x\to(x)＋3neq\x\to(x))＝2eq\x\to(x)，所以标准差s′＝＝＝＝eq\r(\f(1,2n)[n(s2＋\x\to(x)2)＋n(s2＋9\x\to(x)2)－2n(2\x\to(x))2])＝eq\r(s2＋\x\to(x)2).因为eq\x\to(x)≠0，所以s′＝eq\r(s2＋\x\to(x)2)>s.(2)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.9新设备10.110.410.110.010.1旧设备9.810.010.110.29.7新设备10.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和①求x，y，s②判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－x≥2s1解：①由表中的数据，可得x＝110×y＝110×s12＝110×[(9.8－10)2＋(10.3－10)2＋(10.0－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2＋(9.8－10)2＋(10.0－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2s22＝110×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2②由①中的数据可得y－2s12+s＝0.0304.因为0.3＝0.09>0.0304，所以y－x>21．方差的简化计算公式：s2＝1n[(x12+x22+…2．方差的运算性质：如果数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则①新数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2.②新数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.③新数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.3．标准差(或方差)用来刻画数据的离散程度，标准差(或方差)越大，数据的离散程度就越大，也就是越不稳定；标准差(或方差)越小，数据的离散程度就越小，也就是越稳定．考向2分层随机抽样的方差【例5】某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人．学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天读书时间的平均数为x＝3，方差为s2＝1.966，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为x1＝2.7，x2＝3.1，x3＝3.3，且高一学生、高二学生每天读书时间的方差分别为s12＝1，s23解析：由题意，可得1.966＝8002000×[1＋(2.7－3)2]＋6002000×[2＋(3.1－3)2]＋6002000×[设样本中不同层的平均数分别为x1，x2，…，xn，方差分别为s12，s22，…，sn2，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(x)1．某人5次上班途中所花的时间(单位：分)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为()A．1 B．2C．3 D．4D解析：由题意，可知1化简整理得x+y=20又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，即400＝208＋2xy，所以xy＝96，所以(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝16，所以|x－y|＝4.2．在对某中学高一学生体重的调查中，采取按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20，则样本的平均数为，方差为．5141解析：样本的平均数为3030+20×55＋2030+20×45＝51，样本的方差为3030+20×[15＋(55－51)2]＋2030+20课时质量评价(五十八)1．(多选题)(2023·新高考全国Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差BD解析：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，…，x6的平均数，A错误；B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于x3+x42，x1，x2，…，C选项，设样本数据x1，x2，…，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，…，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，x1，x2，…，x6的方差为s12＝16×[(0－5)2＋(1－5)2＋(2－5)2＋(8－5)2＋(9－5)2＋(10－5)2]＝503，x2，x3，x4，x5的方差为s22＝14×[(1－5)2＋(2－5)2＋(8－5)2＋(9－5)2]＝25D选项，x6>x5，x2>x1，所以x6－x1>x5－x2，D正确．2．一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是()A．15 B．25C．50 D．75A解析：这组数据按从小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11项，由11×25%＝2.75，11×50%＝5.5，11×75%＝8.25，故第25百分位数是15，第50百分位数是40，第75百分位数是43.3．(2024·乌鲁木齐模拟)如图为2012年－2022年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是()A．2012年－2022年电子信息制造业企业利润总额逐年递增B．2017年－2022年工业企业利润总额逐年递增C．2012年－2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速D．2019年－2022年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值C解析：对于A，由题图可知，2018年电子信息制造业企业利润总额增速为负值，利润总额较上一年下降，A错误；对于B，由题图可知，2015年工业企业利润总额增速为负值，利润总额较上一年下降，B错误；对于C，2012年－2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正，利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速，C正确；对于D，2019年－2022年中，工业企业利润总额增速都小于电子信息制造业企业利润总额增速，则这几年中工业企业利润总额增速的均值小于电子信息制造业企业利润总额增速的均值，D错误．4．甲在某次射击训练中10次射击成绩(单位：环)如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是()A．众数为7和9B．方差为3C．平均数为7D．第70百分位数为8D解析：结合数据得众数为7和9，故A正确；平均数为7×3+9×3+5×2+4+810方差为110×[(－3)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋22＋22＋2210次射击成绩从小到大排列为4，5，5，7，7，7，8，9，9，9，因为10×70%＝7，所以第70百分位数为8+925．(多选题)在某次高中学科竞赛中，4000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有()A．成绩在[70，80)内的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分ABC解析：根据频率分布直方图得成绩在[70，80)的频率最大，故A正确；不及格的考生人数为10×(0.010＋0.015)×4000＝1000，故B正确；根据频率分布直方图，估计考生竞赛成绩的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；0.1＋0.15＋0.2＝0.45＜0.5，0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75＞0.5，所以考生竞赛成绩的中位数为70＋0.5−0.450.03≈6．已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是．8．6解析：设这30个数据从小到大排列后第19个数据为x，由30×60%＝18，得7.8+x2＝8.2，解得x7．(2024·南昌模拟)如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为s12，去除x9，x10这两个数据后，平均数为x，方差为A．xC．x＝5，sD解析：由题意可得eq\f(1,10)＝5，x9＝1，x10＝9，则＝50，故eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)(－x9－x10)＝eq\f(1,8)×(50－1－9)＝5.因为x9，x10是波幅最大的两个点的值，所以去除x9，x10这两个数据后，整体波动性减小，故s18．(多选题)某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛．经统计，得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中