人教A版普通高中数学一轮复习第二章第三节第1课时函数的奇偶性、周期性、对称性学案

第三节函数的奇偶性、周期性、对称性考试要求：1.结合具体函数，了解奇函数、偶函数的概念和几何意义．2．结合具体函数，了解函数周期性的概念和几何意义．第1课时函数的奇偶性、周期性、对称性自查自测知识点一函数的奇偶性1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(×)(2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(×)(3)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(√)2．(多选题)(教材改编题)下列给出的函数是奇函数的是(ABD)A．y＝1x B．y＝C．y＝x3＋1 D．y＝sinx3．函数f(x)＝(x＋1)x-1x+1是函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”非奇非偶解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．4．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝－525．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝13核心回扣1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.奇偶函数的等价形式若f(x)≠0，则奇、偶函数定义的等价形式如下：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f-xfx＝1⇔f(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f-xfx＝－1⇔f自查自测知识点二函数的周期性1．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则f92A．12 B．C．22 B解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f92＝f12＝＝22．若函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2025)＝．132解析：因为f(x)f(x所以f(x＋2)＝13f所以f(x＋4)＝13fx+2＝1313fx所以f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(1)＝13f3＝核心回扣函数的周期性周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期自查自测知识点三函数的对称性1．函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称A解析：由y＝log0.5x，得y＝－log2x，所以函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象关于x轴对称．2．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于()A．直线x＝0对称B．直线y＝0对称C．直线x＝1对称D．直线y＝1对称C解析：函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的．因为f(x)与f(－x)的图象关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C.核心回扣1．(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．2．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．【常用结论】1．函数奇偶性的2个常用结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性的3个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a((3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(3．函数对称性的3个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)或f(3a－x)＝f(x－a)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．应用1已知函数f(x)＝x3＋x＋m是定义在区间[－2－n，2n]上的奇函数，则m＋n＝()A．0 B．1C．2 D．4C解析：由已知得－2－n＋2n＝0且f(0)＝0，所以n＝2，m＝0，此时f(x)＝x3＋x，x∈[－4，4]是奇函数，满足题意．故m＋n＝2.应用2已知奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(3)＝2，则f(1)＝()A．－1 B．2C．3 D．5B解析：由奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，可得f(x)＋f(2－x)＝0.令x＝3，得f(3)＋f(－1)＝0.又f(3)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＝－f(－1)＝2.应用3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－1fx，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝1解析：因为f(x＋2)＝－1fx，所以T＝4为函数f(x)的一个周期，故f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝2函数的奇偶性考向1判断函数的奇偶性【例1】(1)(多选题)(2024·威海模拟)下列函数中是偶函数的是()A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝ln|x|C．f(x)＝sinx+π2 D．f(x)＝ex－eBC解析：对于A，f(x)＝x3＋1，定义域为R，f(1)＝2，f(－1)＝0，故f(x)为非奇非偶函数；对于B，f(x)＝ln|x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|，故f(x)为偶函数；对于C，f(x)＝sinx+π2＝cosx，故f(x)为偶函数；对于D，易知定义域为R，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故f((2)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1-x1+xA．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1B解析：由题意可得f(x)＝1-x1+x＝－1＋21+x．对于A，f(x－1)－1＝2x－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝2x是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝2x+2－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(3)(多选题)设函数f(x)＝exA．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数ABC解析：因为f(x)＝ex-e-x2，定义域为R，f(－x)＝e-x-ex2＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)·|f(x)|为奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|(4)已知函数f(x)＝x2+x，奇函数解析：(方法一)当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(方法二)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)为奇函数．判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法，即根据奇函数、偶函数的定义来判断．(2)图象法，即利用奇函数、偶函数图象的对称性来判断．(3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．考向2函数奇偶性的简单应用【例2】(1)若f(x)＝2x，x>0A．－8 B．－4C．－2 D．0A解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－4.又f(－2)＝g(－2)＋4，可得g(－2)＝－8.故选A.(2)已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝()A．4 B．3C．2 D．1C解析：由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.由函数的奇偶性得f(x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.(3)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sinx+π2为偶函数，则a＝2解析：(方法一：定义法)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin-x+π2＝(x－1)2＋ax＋sinx+π(方法二：特殊值法)因为f(x)为偶函数，所以f-π2＝fπ2，即-π2-12－π2a＝π(4)(2024·哈尔滨模拟)若函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为．2解析：依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0.而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值，利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得到关于参数的方程(组)，进而得出参数的值．1．设函数f(x)＝1x2-2x+3A．f(x＋1)B．f(x)＋1C．f(x－1)D．f(x)－1A解析：f(x)＝1x2-2x+3＝1x-12+2，则因为y＝1x2+2是偶函数，所以f2．(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x，则f(x)在R上的解析式为．f(x)＝ex+x，x＞0，0，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－x.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋x，所以f(x)＝e函数的周期性【例3】(1)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，fx+12＝fx-A．－2 B．－1C．0 D．2D解析：当x>12时，由fx+12＝fx-12，得f(x＋1)＝f(x)，即f(x)的周期为1，则f(6)＝f(1)(2)(2024·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2025)＝()A．5 B．1C．2 D．－5C解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝21＋log21＝2.函数周期性问题的求解策略(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．1．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为()A．2 B．1C．－1 D．－2A解析：因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)．又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0，故f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.故选A.2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为．5解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)＝0，所以函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，则f(0)＝0.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.当x5＝4时，f(4)＝f(0)＝0，也符合要求．函数图象的对称性【例4】(2024·日照期末)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是()A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1A解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．取x＝1，得f(1)＝2－f(1)，所以f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1.取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1.故选A.求解与函数图象的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，大多是结合图象利用对称性解决求值或参数问题．1．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)B解析：函数y＝lnx的图象过定点(1，0)，(1，0)关于直线x＝1对称的点还是(1，0)，只有y＝ln(2－x)的图象过此点．2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x+1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2024，y2024)，则∑(▒)2024,i＝1(xi＋yi)＝2024解析：因为f(－x)＝2－f(x)，所以函数f(x)(x∈R)的图象关于点(0，1)对称．又y＝x+1x＝1＋1x的图象关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点也关于点(0，1)对称．对于每一组对称的(xi，yi)和(x′i，y′i)，都有xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2，从而∑(▒)2024,i＝1(xi＋yi)＝2024课时质量评价(七)1．若f(x)＝x(x＋1)(x＋a)(a∈R)为奇函数，则a的值为()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A解析：由题得f(－1)＋f(1)＝0，故a＝－1.故选A.2．已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，则f(f(f(1)))＝()A．2 B．－2C．1 D．－1B解析：根据题意可知f(1)＝－2，由奇函数性质可知f(f(1))＝f(－2)＝－f(2)＝1，所以f(f(f(1)))＝f(1)＝－2.故选B.3．(2024·深圳模拟)f(x)为R上的奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，当x∈-52，0时，f(x)＝2xA．12 B．－C．32 D．－A解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，所以f(x)的周期为5.又当x∈-52，0时，f(x)＝2x－1，所以f(16)＝f(5×3＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－(24．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝3x2－x＋2a＋1.若f(2)＝13，则a＝()A．1 B．3C．－3 D．－1D解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝3×(－2)2＋2＋2a＋1＝f(2)＝13，解得a＝－1.5．函数f(x)＝9xA．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称B解析：因为f(x)＝9x+13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(6．(2024·济宁模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，则f(2022)＝()A．0 B．1C．－1 D．2022A解析：因为f(x－2)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(2)＝－f(0)＝0，故f(2022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝0.7．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>1e2－e2的A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)B解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，所以f(x)为R上的增函数．又f(－2)＝e-2－e2＝1e2－e2，所以原不等式可化为f(x－1)>f(－2)，所以x－1>－2，即x>－1，故x的取值范围是(－1，＋8．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f-13＝13，则A．－53 B．－13C解析：由题意可得，f53＝f1+23＝f-23＝－f23，而f23＝f1-13＝f13＝－9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝5且f(x＋3)＝－f(x)，则f(2022)＋f(2023)＝()A．－5 B．2C．0 D．5D解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，所以f(2022)＋f(2023)＝f(6×337)＋f(6×337＋1)＝f(0)＋f(1)＝0＋5＝5.故选D.10．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝．1解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝a－1＝0，解得a＝1.11．(2024·苏州模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝．①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.2sinπ2x(答案不唯一)解析：由条件①②③可知函数是对称轴为直线x＝1，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数f(x)＝2sinπ212．已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝．3解析：因为f(－x)＋f(x)＝2，所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点，则(0，1)是其中一个交点，另外两个交点关于点(0，1)对称，则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.13．(2024·湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C解析：因为g(x)为奇函数，所以g(－1)＝－g(1)，即f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.故选C.14．定义函数D(x)＝1，A．D(x)不是周期函数B．D(x)是奇函数C．D(x)的图象存在对称轴D．D(x)是周期函数，且有最小正周期C解析：当m为有理数时，D(x＋m)＝1，x为有理数，-1，x为无理数，所以D(x＋m)＝D(x)，所以任何一个有理数m都是D(x)的周期，所以D(x)是周期函数，但无最小正周期，所以选项A，D错误．若x为有理数，则－x也为有理数，所以D(x)＝D(－x)；若x为无理数，则－x也为无理数，所以D(x)＝D(－x)．故总有D(－x)＝