人教A版普通高中数学一轮复习第八章第七节抛物线学案

第七节抛物线考试要求：1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．2．了解抛物线的简单几何性质．自查自测知识点一抛物线的定义1．(教材改编题)动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的一支 D．抛物线D解析：因为动点P到点F(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，所以将动点P到点F(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，因此动点P的轨迹是以(3，0)为焦点，x＝－3为准线的抛物线．2．已知抛物线y2＝8px(p＞0)，F是焦点，则p表示()A．F到准线的距离 B．F到准线距离的1C．F到准线距离的18 D．F到yB解析：根据抛物线方程可知准线方程为x＝－2p，焦点F(2p，0)，所以焦点F到准线的距离为4p，则p表示F到准线距离的14核心回扣1．我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．当点F在直线l上时，与定点F和直线l距离相等的点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线．自查自测知识点二抛物线的标准方程及几何性质1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标为(1，0)．(×)(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(3)以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(√)2．(教材改编题)抛物线x2＝14yA．y＝－116 B．x＝－C．y＝116 D．x＝A解析：由抛物线的标准方程，可得抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为0，116，准线方程为y3．(多选题)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程可以是()A．y2＝－92x B．y2＝9C．x2＝－43y D．x2＝4AD解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝核心回扣1．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形对称性关于y＝0对称关于x＝0对称顶点坐标O(0，0)焦点坐标p-00准线方程x＝－px＝py＝－py＝p离心率e＝1范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R2.由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点的位置即可．【常用结论】设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)以弦AB为直径的圆与准线相切．(2)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径，通径是过焦点最短的弦，长为2p.(4)AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，AB＝x1＋x2＋应用1抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(3，m)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝xB解析：由题意可得|MF|＝xM＋p2＝3＋p2＝4，解得p＝2，故抛物线的方程为y2＝4应用2过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9 B．8C．7 D．6B解析：根据题意可得2p＝4，即p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2＝8.抛物线的标准方程1．已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2 B．3C．6 D．9C解析：(方法一)因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以yA2＝18又点A到焦点p2所以9-p所以9-p22＋18p＝122，即p2＋36解得p＝6或p＝－42(舍去)．(方法二)根据抛物线的定义及题意，得点A到抛物线C的准线x＝－p2的距离为12，又因为点A到y轴的距离为9，所以p2＝12－9，解得2．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5.若以|MF|为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝2xAC解析：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为Fp2，0，设M(x0，y0)，由题意及抛物线的定义，知|MF|＝x0＋p2＝5，得x0＝5－p2，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为52，而圆的半径为52，所以该圆与y轴相切，切点为(0，2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M5-p2，4，从而有42＝2p5-p2，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p3．(2024·威海模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C．若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32x B．y2＝9C．y2＝92x D．y2＝3D解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D.设|BF|＝a，则|BC|＝2a.由抛物线的定义得|BD|＝|BF|＝a，故易知∠BCD＝30°，所以在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|.因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以3＋3a＝6，解得a＝1.因为BD∥FG，所以1p＝2所以p＝32因此抛物线的方程为y2＝3x.求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，a的正负由题设来定．这样就减少了不必要的讨论．抛物线的定义及应用【例1】(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于()A．2 B．22C．3 D．32B解析：(方法一)由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设Ay024，y0因为|BF|＝3－1＝2，所以y024＋1＝2，解得y0所以A(1，2)或A(1，－2)．则|AB|＝1-32+22＝(方法二)由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，故AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝AF2+BF2＝22(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，点P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为．34－4解析：圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3，3)，半径r＝2，抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)．由题意及抛物线定义可知d1＋d2＝|PF|－2＋d2＝|PF|＋|PQ|－2≥|PF|＋|PC|－|CQ|－2＝|PF|＋|PC|－4，所以要使d1＋d2最小，只需点P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离之和最小．如图，连接PF，FC，易知当点F，P，C共线时，|PF|＋|PC|取得最小值为|FC|，则d1＋d2的最小值为|FC|－4＝-3-22+3-0利用抛物线的定义可解决的常见问题轨迹问题用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线距离问题灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关问题的有效途径1．已知抛物线y＝mx2(m＞0)上的点(x0，2)到该抛物线焦点F的距离为114，则mA．4 B．3C．14 D．D解析：由题意知，抛物线y＝mx2(m＞0)的准线方程为y＝－14m根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点F的距离等于到准线y＝－14m即2＋14m＝114，解得m＝2．已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于．42或22解析：当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p当点M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20-p解得p＝22或p＝58.当p＝22时，代入验证成立；当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.图1图2抛物线的性质考向1范围问题【例2】(1)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．355C．115 B解析：由题意可知l2：x＝－1是抛物线的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，所以动点P到l2的距离等于|PF|，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，如图所示．故最小值是4-0+65(2)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是．5解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1，5)到直线y＝－1的距离再减去圆C的半径，即6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间，线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”原理解决．考向2弦长问题【例3】(2024·济宁调研)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4 B．9C．5 D．6B解析：(方法一)易知直线l的斜率存在，设为k(k≠0)，则其方程为y＝k(x－1)．由y=kx-1，y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1①.因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1②，由①②解得xA＝2，xB＝12所以|AB|＝xA＋xB＋p＝92(方法二)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设点A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于点E.设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝AEAB＝1所以sin2θ＝89由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式得|AB|＝2psin2θ(方法三)因为|AF|＝2|BF|，所以1AF＋1BF＝12BF＋1BF＝32BF＝2故|AB|＝|AF|＋|BF|＝92[变式]本例中抛物线方程不变，抛物线与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，则|FA|＋|FB|＝．7解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(2x+y-4=0联立化简整理可得x2－5x＋4＝0，由根与系数的关系，可得x1＋x2＝5.因为抛物线y2＝4x，所以2p＝4，即p＝2，根据抛物线的定义可得|FA|＋|FB|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用一元二次方程根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．1．在抛物线y＝2x2上有一点P，它到点A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2，1) B．(1，2)C．(2，1) D．(－1，2)B解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l.由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，所以|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，此时点P(1，2)．2．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5 B．6C．163 D．C解析：如图．设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义，知|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝23-03-1所以直线AF的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB|＝x1＋x2＋p＝16(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1所以x1＝3.又x1x2＝p24＝1，所以x2＝所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋13＋2＝16(方法三)因为1AF＋1BF＝2p，|AF所以|BF|＝43所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋43＝16课时质量评价(五十二)1．动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线D解析：设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而C到直线x＝1的距离等于r，所以C到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝()A．1 B．2C．22 D．4B解析：抛物线的焦点坐标为p2，0，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝p2-0+11+1＝3．(2024·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)上的一点M(x0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A．6 B．4C．3 D．2D解析：由题可知，抛物线的准线为y＝－p2，可得1＋p2＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为4．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9，0)，则抛物线的方程为()A．y2＝4xB．y2＝2xC．y2＝36xD．y2＝4x或y2＝36xD解析：由抛物线的定义知，圆M经过焦点Fp2，0，点M的横坐标为5，由题意，当E，F不重合时，M是线段EF垂直平分线上的点，所以5＝p2+92，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x；当E，F重合时，p2＝9，所以p＝18，所以抛物线5．(多选题)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝8C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形AC解析：直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p抛物线方程为y2＝4x，联立直线方程可得3x2－10x＋3＝0，xM＋xN＝103，所以|MN|＝xM＋xN＋p＝16M，N的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线l的距离为1＋53＝83＝12|MN|，所以以因为3x2－10x＋3＝0，所以不妨取xM＝3，xN＝13，则yM＝－23，yN＝2|OM|＝9+12＝21，|ON|＝19+129＝133所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．6．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为．72解析：设B(x，y)，则x＝y2≥所以|AB|＝x-22+＝x2-3x+4＝所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝77．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的一点，且|FM|＝6，则M的横坐标是，作MN⊥x轴于点N，则S△FMN＝．545解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因为|FM|＝6，所以xM＋p2＝6，解得xM故yM＝±25，所以S△FMN＝12×(5－1)×25＝458．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．因为点P(1，2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)由题意可知kPA＝y1-2x1-1(x1≠1)，kPB＝y因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y12=4x1整理得y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.由①－②，得y12-y22＝4(所以kAB＝y1-y2x1-x29．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线x27－y29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝2|AFA．4 B．8C．16 D．32D解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以p＝8.过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′(图略)，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|.在△AA′K中，|AK|＝2|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，x＝4，即A(4，8)，所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为12×8×10．(多选题)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A．C的准线方程为x＝－4B．点F的坐标为(0，4)C．|FN|＝12D．△ONF的面积为162(O为坐标原点)ACD解析：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A．由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝AN+FF'2＝6.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝122-42＝82，S△ONF11．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点．若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为．x＝－2解析：将双曲线方程化为标准方程得x2a2－y23a2＝1，则F1(－2抛物线的准线为x＝－2a，联立x2a2-y2即点P的横坐标为3a.而由PF1+PF2所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－2.12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一点，MH⊥l于点H.若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为．y2＝4x解析：如图，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4.又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4.记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF