2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》

-、单选题（本大题共12小题，共60分）

1.（5分）设函数f（%）=4cos（3%+9）（其中A>0,|3|V;4,0V；,<;五）的大致图象

如图所示，则f（x）的最小正周期为（）

A-7C.2nD.4兀

2.（5分）数学必修二介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在

其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的

海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小

斜塞并大斜塞减中斜基，余半之，自乘于上.以小斜基乘大斜塞减上，余四约之，为实.

一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即5=J*c2—（胃d）2],

其中a、b、c分别为△48c内角A、B、C的对边.若臂萼=」7，b=2,则△ABC面

V3smBtanC

积s的最大值为0

A.V3B.V5C.3D.V2

3.（5分）某干燥塔的底面是半径为1的圆面0,圆面有一个内接正方形4BC。框架，在

圆。的劣弧BC上有一点P,现在从点P出发，安装P4PB,PC三根热管，则三根热管

的长度和的最大值为（）

A、4

B、2V3

C、3V3

D、2V6

A.4B.2>/3C.3gD.2巡

4.（5分）现只有一把长为26的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A,B两点的距离

大于26），在草坪坛边缘找到点C与D,已知乙4CD=90。，且tanN/WB=-2&,

测得4C=1.2m,CD=0.9m,BD=lm,则=()

厂V17

C.—THD.——m

22

5.（5分）已知函数f（知=Asin（3x+（p）（A>;0,3>;0,［01V;］）在一个周期内的图

象如图所示.若方程f（x）=m在区间［0,兀］上有两个不同的实数解则％i+%2的

值为（）

£2444

或

c或

B_--D7-T-

A.337r37r37r3371

6.（5分）设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中04C《24.

下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.98.912.1

经长期观观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asm(a)t+

8)的图象,在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是0

A、y=124-3sin-t,t6[0,241

B、y=12+3sin(^t+n\te[0,24]

C、y=12+3siny|t,t6[0,24]

D、y=12+3sin(工t+]),££[0,24]

A.y=124-3sin-t,tE[0,24]

B.y=12+3sin(*t4-TT),tG[0,24]

C.y=12+3sin^t,t6[0,24]

D.y=12+3sin(—tH—),tG[0,24]

7.(5分)泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐

落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点4处测得

塔顶B的仰角为60。，在塔底C处测得A处的俯角为45。.已知山岭高CD为256米，则塔高

BC为0

B.256(遮一1)米

C.256(76-I)*D.256(273-1)米

8.(5分)为迎接校运动会的到来，学校决定在半径为20鱼m,圆心角为?的扇形空地

OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD,如图所示，则观赛场地面积的最大值为

()

A.200m2B.400(2-V2)m2

C.400(73-l)m2D.400(72-l)m2

9.(5分)如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时

间t(s)的函数关系式为s=6sin(2zrt+乡，那么单摆摆动一个周期所需的时间为

6

A.271sB.7usC.0.5sD.Is

10.(5分)小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量

校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB'

的位置，测得NPB'C=a(B(为水平线)，测角仪B切的高度为1米，则旗杆PA的

高度为0

A.---米B.---米

l+sina1-cosa

C.二一米D.」一米

1-sina1+cosa

11.（5分）瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如

下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同

一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上4点位置测得瀑

布顶端仰角的正切值为|，沿山道继续走20m,抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为今

已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为或则该瀑布的

高度约为0

A.60mB.90mC.108mD.120m

12.（5分）设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中04

t424,表格中是该港口某一天从。时至24时记录的时间t与水深y的关系：

A.y=12+3sin-t,te[0,24]

B.y=12+3sin（-t+-）,te[0,24]

C.y=12+3sin^|t,te[0,24]

D.y=12+3sin偌t+）tG[0,24]

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

13.（5分）振动量函数、=缶皿3%+0）（3>;0）的初相和频率分别为-兀和|,则它的

运动周期为,相位是.

14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点P以每秒]的角速度从点4出发，沿半径为2

的上半圆逆时针移动到B,再以每秒。的角速度从点B沿半径为1的下半圆逆时针移动到

坐标原点。，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为.

15.（5分）函数/（x）=sin（3X+9）（其中3>;0,|0|<弓）的图象如图所示，则函数

f（x）=sin（3X+0）的最小正周期为；为了得到g（x）=sincox的图象,

只需把y=f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度.

K25

.312

-1

16.（5分）已知海湾内海浪的高度y（米）是时间t（04t424,单位：小时）的函数，记

作y=/'（£）.某日各时刻记录的浪高数据如下表：

t03691215182124

y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

经长期观测，丫=/«）可近似地看成是函数丫=配0531+仇根据以上数据，可得

函数y=4cos3t+b的表达式为.

17.（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地

面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地

面的高度是.

三、解答题（本大题共6小题，共72分）

18.（12分）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表,

根据图中提供的数据，试用y=4sin&t+中）+b近似地拟合出月平均气温y（单位：

°C）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小

值的时间.（答案不唯一）

35

30

25

20

15

456910)112

19.（12分）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：。口随时间t（单位：/I）

的变化近似满足函数关系：/（t）=12-3sin*t+»t£[0,24）.

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5。口若种植这种蔬菜，则在哪段时间大

棚需要降温？

20.(12分)如图，有一块以点。为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接

矩形ABCD开辟为绿地，使其一边4。落在半圆的直径上，另两点8,C落在半圆的圆周

上,已知半圆的半径长为20m.

(1)如何选择关于点。对称的点4,。的位置，可以使矩形4BC。的面积最大，最大

值是多少？

(2)沿着4B,BC,CO修一条步行小路从4到D,如何选择4,D位置,使步行小路

的距离最远？

21.(12分)健康成年人的收缩压和舒张压一般为120〜140mmHg和60〜90mmHg.心

脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压

计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mm"g为标准值.记某人的血压满足函数

式p(t)=25sinl6071t+115,其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列

问题：

(1)求函数p(t)的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.

22.(12分)如果a为小于360。的正角，且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合,

则这样的角a是否存在？

23.(12分)某港口的水深y(米)是时间t(0SW24,单位：小时)的函数，下面是每

天时间与水深的关系表：

t03691215182124

y10139.97101310.1710

经过长期观测，y=f(t)可近似看成函数y=Asincot+B(A>0>O>0).(1)根据

以上数据，求出y=f(t)的解析式；(2)若船舶航行时，水深至少要11.5米才是

安全的，则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】略

2.【答案】A;

【解析】

此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差公式，考查二次函数求最值

问题，考查转化思想，属于较难题.

先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=

遮sinA,由正弦定理可得c=代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.

解：因为=」_=

x^3sinFtanCsinC

所以sinC=V3sinCcos^+V3cosCsinF=V3sin(^+C)=V3sin/1,

由正弦定理可得：c=BQ,代入面积公式可得：

S=][口2.3&2_(谟+3：-22)2]

=[3a4-(2a2-2)2]=Ji(-a44-8a2-4)=[-(a2-4)2+12]

=J_*_4)2+3,

所以当a=2时，一：(。2一4)2+3取得最大值3,

所以A4BC面积S的最大值为四，

故选：4

3.【答案】null;

【解析】

此题主要考查三角函数的实际应用，属于基础题.

求出|P4|+\PB\+\PC\=2遮sin(9+@),利用三角函数的性质即可求解.

解：如图，设4PAe=9,6e[0,J,

可得|P*4-\PB\+\PC\=2[cos6>+sin(--0)+sind]

=(2+V2)cos6(+(2-V2)sin6>=2百sin(。+勿)，其中tantp=3+2VL<pe/,与，

所以(|P2|+|PB|+|PC|)max=2W，

由的范围可以取到最大值.

故选B.

4.【答案】C;

【解析】

此题主要考查解三角形的实际应用，考查数学运算的核心素养与应用意识，属于中档

题.

由题意可得4。=1.5m,利用tan乙408,求出cos乙40B,进一步进行求解即可.

解：因为4ACD=90°,AC=1.2m,CD=0.9m,所以AD=7AC2+亦=1.57n.

因为tan/ADB=-272,所以cos/ADB=

3

所以AB=J1.52+l2-2xl.5xlx(-|)=^m.

5.【答案】D;

【解析】略

6.【答案】null;

【解析】

此题主要考查由y=4sin(3x+s)的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问

题的分析，转化为解决三角函数问题，属基础题.

通过排除法进行求解，由y=f(t)可以近似看成丁=卜+45皿(3%+9)的图象，故可以

把已知数据代入丫=k+4sin@x+9)中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案.

解：排除法：

•••y=/(t)可以近似看成y=k+Asin(3x+w)的图象，

二由7=12可排除C、D,

将(3,15)代入，排除B.

故选4

7.【答案】B;

【解析】

此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力,

属于基础题.

根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC的值.解：如图所示，

D:...................、

在RtAACD中，LCAD=45°,CD=256,

所以AD=256,

在RtAABO中，NBA。=60。，

所以B。=ADtan^BAD=256%，

所以BC=BD-CD=256V3-256,

即塔高8c为256(75-1)米.

故选：B.

8.【答案】D;

【解析】如图所示，连接OC,设NCOA=。，作DF1OP,CE10P,垂足分别为F,

E.根据平面几何知识可知，AB=CD=EF,DF=OF=CE,：.CE=2OV2sin0,

EF=OE-OF=2OV2cos0-20&sin8.故四边形ABCD的面积S等于四边形DFEC

的面积,即有S=20痘sin。x20&(cos。-sin0)=

4OO(sin20+cos26(-1)=4OO>/2sin(20+-)-400,其中Be(0；).所以当sin(28+

44

》=1,即。=；时，Smax=400(72-1),即观赛场地面积的最大值为400(&-

l)m2.故选D.

9.【答案】D;

【解析】略

10.【答案】C;

【解析】

此题主要考查三角函数在实际生活中的应用.

由题设可得24-1=PAsina,即可得结果.

解：由题设，PC=PBzsina=PAsina,而PC=24-1,

所以P4—1=PAsina,可得P4=--—米.

1-sina

故选：C

11.【答案】A;

【解析】

此题主要考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解答该题的关键，考查空间立

体感、学科素养和运算能力，属于中档题.

作出示意图，过点B作BCL04于C,结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的

简单计算，即可得解.

解：根据题意作出如下示意图，其中tana=|,夕=0=；,AB-20m,

过点B作BC1。4于C,

设OH=3x,则。4==2x,OB==V3x,

tanatanp

在RtAABC中，因为AB=20,6=\

所以4c=ABxcosg=10,BC=ABxsing=1073,

所以OC=OA-AC=2x-10,

在RtAOBC中，由勾股定理知，(2x-10)2+(10V3)2=(V3x)2,

化简得/-40x+400=0,解得x=20,

所以瀑布的高度。H=3x=60m.

B

故答案选：A.

12.【答案】A;

【解析】略

13.【答案】|;37rx-兀;

【解析】略

2siny,0<t<2

14.【答案】f(t)={

sin碍(t—2)+rr],2<t<5

【解析】

此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间

的关系，属于综合题.

解：由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t6(0,2],终边OP

对应的角度为^3所以P点坐标为(2cos]t,2sin/t),

当动点P在半径为1的下半圆上运动时，te(2,5],终边OP对应的角度为在t-2)+兀，

所以P点坐标为(cosg(t—2)+n],sin[^(t—2)+兀])，

2sin-t,t6(0,21

综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2

sinn[^(t-2)4-n],te(2,5]

15.【答案】兀卷+eZ;

【解析】略

16.【答案】y=:cos?t+1;

26

【解析】

此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识，试题难度一般.

解题时先计算出周期和振幅，然后求解解析式即可.

解：由表中数据，知周期7=12,

2n2nn

・•・3=—=—=-)

T126

由t=0,y=1,5,得A+b=1.5；

由t=3,y=1.0,得b=1.0,

・•・A=0.5,b=1,

171

・•・y=-cos—t+1.

26

17.【答案】14;

【解析】解：设P与地面高度与时间t的关系，f(t)=Asin(cot+(p)+B(A>0,co>0,

(pe[O,2兀)),

由题意可知:A=8,B=10,T=12,所以3=

兀

6

,即f(t)=8sin(

工

互

Kt+4))+io,

又因为f(0)=2,故巾二-

71

，得f(t)=8sin(

工

五

irt-

71

~T_

)+10,

所以f(16)=8sin(

s

Tt-

71

z

)+10=14.

故答案为：14.

18.【答案】解：根据图象可知，当1=1时，y有最小值15;当£=8时，y有最大值27.

-A+b=154=6

0)+q)=--b=21

***{n解得{O)=~，

8a)+(p=-7

A+b=270=一五

y=6sin(yt—五)+21,

周期7='=孚=14,振幅4=6.

气温在1月份时达到最低，在8月份时达到最高.；

【解析】此题主要考查由y=/sin(3t+9)的部分图象确定其解析式，属于中档题.

当£=8月份时平均气温达到最大值25久，当£=1月份时，平均气温达到最小值15久,

列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式.

19.【答案】解：(1)由题意，函数f(t)=12—3sin(—t4--),tG[0,24),

根据正弦型函数的性质可得一1<sin哈t<1,

所以/©max=15=9,可得/⑴3工一f^min=6,

则实验室这一天的最大温差为6久.

(2)由题意，4/(0>10.5,即12-3sin脸t+；)>10.5,即sin隽t+§<芯

因为te[0,24),可得Et+[e

所以+岑，解得6ct<22,

61236

即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.；

【解析】此题主要考查了函数y=4sin(3x+s)的图象与性质，三角函数模型的应用,

属于中档题.

(1)根据正弦型函数的性质可得-1<Sin猿t+$<1,求得照)max=15,=9,

进而求得这一天的最大温差；

(2)根据题意，令/(t)>10.5,得到sin^t+g",利用正弦型函数的性质，求得t

的范围即可求解.

20.【答案】解(1)连接。B,如图所示,设乙4OB=8,

则4B=OBsin。=20sin0,。4=OBcos。=20cos0,且6e(0,J).

因为A,。关于点。对称，所以4。=20A=40cos6».

设矩形4BCD的面积为S,则S=ADAB=40cos0-20sin6»=400sin29.

因为。€(0彳)，所以206(0,兀)，

所以当sin2。=1,即9=彳时，Smax=400(m2).此时4。=DO=10V2(m).

故当4。距离圆心。为lOV^n时，矩形4BC0的面积最大，其最大面积是400瓶2

(2)由(1)知AB=20sin。，