初中数学函数单调性的教学设计

初中数学函数单调性的教学设计

教材分析:函数的变化趋势以及自变量与因变量之间的关系都可以通过函数

的单调性来体现，在中出11数单调性教学中，教师需要应用数形结合的思想，让

学生在学习的过程中了解函数的本质，使得学生在学习房函数、指数函数、对数

函数、三角函数等各种函数时可以做到举一反三，方便学生求解函数大小、最值、

解不等式等，也使得学生可以更深刻地理解数列的性质。

学情分析：初中阶段的学生对一次函数、二次函数等简单初等函数知识有了

一定的掌握，在解决问题方面已经具备一定的经验，而且观察能力、抽象思维、

语言概括能力和语言转化能力等都得到了一定的发展，在解答/数问题方面，学

生看到函数就能大致在脑海中闪现出函数的图象，通过函数的图像来理解国数的

性质。但初中学生对函数的概念理解尚有不足，虽然函数的单调性不是初中数学

中最难的一部分，但却是至关重要的一部分，但部分学生对这方面的知识了解不

是很充分，为了促进学生对国数的理解，本文将针对函数单调性进行重点教学,

以便为学生今后的数学生打下坚实的基础。

教学目标：

知识:通过对图像的升降以及相应数值变化的直观感知过渡到使用抽象数学

符号语言描述函数图像的升降,并且认识到单调性是一种局部概念并理解其儿何

意义；

领会：通过观察国数图像的升降能用自己的语言叙述函数单调性概念，经历

从具体到抽象的研究过程；

应用：通过观察函数图像，能够独立判定函I数的单调性；

分析：通过查阅资料了解“函数单调性”与实际生活的联系；

综合：掌握通过函数单调性的定义证明函数单调性的方法和过程；

创新：尝试说出在证明函数单调性过程中容易出错或者混淆的地方。

教学重点：函数的单调性的定义；

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

教学过程：

课前环节：

一、问题导入

1、下表为1990-2010世界杯进球数

年份199019941998200220062010

进球数115137171161147145

将其画成折线图，如下图

问题1:随着年份不同，进球数有何变化?进球数的变化和图像变化有何关

系？

分析：1990-1998年,进球数增加,图像上升；1998-2010年,进球数降低,

图像下降。

2、下图为济南市某天气温变化曲线图：

问题2:随着时间的变化，温度的变化趋势是?（上升或下降）

分析：0时至3时，温度下降；3时至14时，温度上升；14时以后，温度下

降。

不仅是每天的温度变化，生活中有很多类似有规律的现象，这些现象在发生

变化的过程中同时伴随着数据的变化，观察数据的变化，方便人们总结规律，从

而掌握更多的生活技巧。而且生活中很多这样的现象都是可以通过函数来解释的,

通过函数来观察因变量随自变量变化的趋势，可以更加精准地预测生活中的各种

现象。单调性是函数中比较重要的一部分，今天让我们来深入了解这一知识点。

设计意图:通过学生熟悉的生活问题引入新课。为概念的学习创设适宜情境,

拉近数学与现实之间的距离，激发学生的学习兴趣，调动学生参与学习过程的积

极性、主动性。

二、探究新知

1、观察下列图像变化

①y=x+l

②y=x2

问题3:这两个函数图象的变化趋势?（上升?下降?）

分析：y=x+l在整个定义域上一直上升；y=x2在（-8,0］上图像下降，在［0,

+8）上图像上升。

问题4:观察y=x2在x20时，x值与f（x）值的动态变化过程（呈现几何画

板），思考x值与f（x）值之间有什么样的联系？

分析：Y=x2在x'O上，当x增大时，f（x）的值随x的增大而增大。

问题5:观察y=x2在x<0时，x值与f（x）值的动态变化过程（呈几何画板），

思考x值与f（x）值之间有什么样的联系？

分析：y=x2在X<0上，当X增大时，f（X）随X的增大而减小。

2.引导学生对增函数和减区I数定义加以归纳总结，并利用直观的语言来界定

单调递增函数和单调递减函数的。

一般地，设/数f（x）的定义域为I:

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值XI,X2,当XKX2

时，都有f（XI）<f（X2）,那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

如果对于定义域内I内的某个区间D上的任意两个自变量的值XI,X2,当

XI<X2时，都有f（XI）〉f（X2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。

如果函数y=f(x)在区间D上是增曲数或减国数，那么就说函数y=f(x)

在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

设计意图：通过问题的提出来引出学生的困惑所在，引导学生利用来从新认

识国数，将特殊的国数一般化，或者将一般的函数特殊化，在灵活转变的过程中

引发学生的讨论，从而使其可以透过现象看本质，使其对大部分函数都可以轻松

应对。

三、课前练习

LI1数f(x)=总的单调递增区间是()

2屈数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是()

设计意图：课前练习的设置是为了检测学生掌握知识的程度，是对教师教学

的一种反馈，方便教师发现教学设计中存在的问题，并进行及时改正，进一步提

升教学的有效性。

课中环节：

一、合作学习

请同学们5人为一组，回答下列问题：

1、小组交流谈论自己通过课前学习掌握的生活中常见的数据变化事例，并

描述数据变化趋势。(畅所欲言，教师引导)

2、能不能根据自己的理解解释下增函数和减函数。

教师：在课前大家通过观看视频已经掌握了函数的单调性，下面请一位同学

用自己的语言解释下增国数和减国数的定义。

学生1:如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大而增大，那么该函数

f(x)在该区间上为增函I数;如果国数f(x)在某个区间上随自变量x的增大而减小，

函数f(x)在该区间上为减国数。

教师：学生1是从图像的角度得到的结论，是对函数单调性的直观描述性的

认识，是一种感性认识，但是我们需要将这种感性认识上升为理性认识。

3.如何从解析式的角度说明y=x2在［0,+8)上是增函数？

教师：请同学以小组为单位，讨论如何从解析式的角度说明y=x2在［0,+oo)

上是增函数？

学生2:在给定区间内取两个数，例如1和2,因为PC所以y=x2在［0,

+8)是增函数。

教师：其他同学还有别的方法吗？

学生3：任取XI,X2-0,+8),且XI,X22,因为X|2-X2?=(X1-X2)(Xl+X2)

<0即：xi2<X22,所以y=x2在［0,+8)是增函数。

教师：非常棒!因为自变量不可能被穷举，因此学生1的证明方法是不正确，

我们应该利用函数单调性的定义去证明。

4.小组讨论交流自己总结的对齿数单调性的证明以及过程，小组代表上台演

Zj\o

教师：要了解某一区间内函数的单调性问题，图像是一种非常直观的方式,

可以帮助大家明确国数的变化趋势以及增减性，证明国数的单调性问题。那么根

据函数单调的定义证明己知函数的单调性的步骤是什么？

学生4:证明已知国数的单调性的步骤是设元，作差，变形，断号，结论。

教师：大家同意吗？

学生：同意。

教师：大家在以后根据函数单调的定义证明己知数的单调性时一定严格按

照这个步骤进行。

设计意图：通过提出问题，培养学生的逻辑思考能力和合作探究能力，注重

学生思维习惯的养成，即通过提问的方式向学生强调要利用函数单调性的定义进

行证明。同时通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人，更可加深对

所得到结论的理解和记忆。

二、运用新知

1.下图是定义在［-5,5］上的国数y=f(x)的图象，根据图象说出国数y=f(x)

的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减国数。

2.试判断国数f(x)=x2+x在(0,+8)上是增函数还是减函数?并给予证明。

3屈数Y=f(x)在R上单增，那么*：詈)的符号有何规律?(拓展题)

设计意图：通过函数单调性题□的练习，进一步增强学生对函数单调性的理

解，激发学生学习函数单调性的兴趣，增强学生的应用意识。

三、反思总结

学习了本节课内容，大家可以思考下以下问题：

1、本节内容的学习让你获得了哪些知识；

2、对于本节课内容，大家还有什么不懂的地方吗？

设计意图：在反思、归纳、总结的基础上增强学生对知识的理解，为下一步

的指数函数教学奠定基础，方便学生对国数知识进行建构。

课后环节：

教师将其他有关函数单调性的资料，上传平台，以供有兴趣、有能力的同学

根据自己的情况去选择观看，从而拓展知识，深化知识，同时教师要鼓励学生自

己收集有关知识，并在课下多多与同学交流、探究、解决问题。

设计意图：通过拓展知识满足不同学生的需求,实现每一个学生的全面发展，

同时针对不同水平的学生设置课后任务,也有利于培养学生学习数学知识的兴趣,

更好的理解知识，完成知识内化。同时对所学知识查缺补漏，深化知识理解，熟

练掌握知识，通过多元评价方式，激发学生学习动机，加强学生学好数学的自信

心。

总结

本文主要对初中数学函数单调性这教学内容进行了教学设计,鉴于这一教学

内容在初中教学中显得较为重要，为了帮助学生打好基础，笔者特意进行了重点

教学，在教学的过程中采取数形结合的思想，利用《几何画板》这一教学软件来

进行初中数学函数图形教学，不仅方便学生理解，能更好地构造函数图象，探究

函数的性质，在这一过程中，学生对数学的学习兴趣被激发出来，函数教学也就

更加容易了，教学的效率也得到了显著的提升。本教学设计包括教材分析、学情

分析、教学目标、教学过程、课后环节等几个部分，每一个部分都是为整个教学

服务的。通过笔者的实践，这样的教学设计起到了一定的教学效果。希望本教学

设计可