2023高考数学二轮复习专项训练《集合的概念与表示》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《集合的概念与表示》

-、单选题（本大题共12小题，共60分）

1.（5分）已知集合4={（第y）||x|+|y|42,xez,yez},则4中元素的个数为（）

A.9B.10C.12D.13

2.（5分）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）}N={3,2}

B.M={（x,y）|x+y=l}N={y|x+y=l}

C.M={（4,5）}N={（5,4）}

D.M={2,1}N={1,2}

3.（5分）下列命题中为假命题的是（）

A.3%G/?,X2<1

B.a2=/是。=b的必要不充分条件

C.集合{（%,y）|y=/}与集合{y\y=/}表示同一集合

D.设全集为R,若4UB,则（CRB）U（CRA）

4.（5分）集合4={（x,y）|x+y=3,x€N*,y6N*},则集合4为（）

A.{1,2}B.{（1,2）}

C.{（2,1）}D.{（1,2）,（2,1）}

5.（5分）下列各式：©{a}c{a}②{0}③0£{0}④{1,3}些{3,4},其中正确的

有（）

A.□B.□□C.□□□D.□□□

6.（5分）设A2,A3,4n是集合{1,23...m}的《个非空子集5>2）,定义

%='二］，其中i，j=l，2,n,这样得到的M个数之和记为

，…,An），简记为s,下列三种说法：①S与n的奇偶性相同；②S是n的倍数;

③S的最小值为n,最大值为小.其中正确的判断是（）

A.①②B.①③C.②③D.③

7.（5分）设集合4的最大元素为M,最小元素为rn,记4的特征值为X.=M-瓶，若

集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知为，A2,A3,力九是集合N*的元素个

数均不相同的非空真子集，且XA+X42+X43+-+X4n=120,贝M的最大值为（）

A.14B.15C.16D.18

8.（5分）下列对象能构成集合的是（）

A.2010年春节联欢晚会上的所有好看节目

B.我国从1991〜2009年所发射的所有人造卫星

C.2010广州亚运会中的高个子男运动员

D.上海世博会中所有热门场馆

9.（5分）集合P={x|x*},则（）

A.ngPB.TtcpC.{n}ePD.{n}cp

10.（5分）集合4={1,4,x},8={炉,1}且4n8=B,则满足条件的实数x的值为（）

A.1或0B.1,0或2

C.0,2或-2D.0,-1,2或一2

11.（5分）设集合M={x|x2-x-2V0},P={xeZ||x-l|<3},Q={x|xGP,x』M},则Q=

（）

A.{-2,1,2,3,4）

B.{-2,-1,2,3,4）

C.{-1,2,3,4}

D.{-1,2,3}

12.（5分）已知集合乂={小2-1=0},则有（）

A.M=（-1,1）B.M=（-l,1]C,-ISMD.1UM

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

13.（5分）集合4={x|xeM且六eZ}用列举法可表示为4=.

14.（5分）用描述法表示二元一次方程％—y=0的解集为.

15.（5分）用符号或“足”填空.

（1）若4={x|x2=x},则一1A-,

（2）若B={x|x2+x-6=0},则3B-,

（3）若C={xeW|1<x<10},则8C,9.1C.

16.（5分）用列举法表示集合4={乂/62,267}为：_______.

I6—X

17.（5分）已知：集合/={0,2,3},定义集合运算AE1A={x|x=a+b,a64b€A},

则ADA=.

18.（5分）若xG{l,x2},则*=.

三、解答题（本大题共6小题，共72分）

19.（12分）在“①4ClR=0,②4恰有两个子集，③AnG，2）力0”这三个条件中任选

一个，补充在下列横线中，求解下列问题.

已知集合4={x6R\mx2-2%+1=0）,

（1）若164,求实数m的值；

（2）若集合4满足,求实数m的取值范围.

20.（12分）己知集合4={x|ax2+2x+1=0,aER.xeR}.

（1）若4中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；

（2）若4中至多只有一个元素，求a的取值范围.

21.（12分）已知集合A={x|ax2+ax+6=0}.

（1）若lea,求集合4

（2）若集合aU{2,3},求实数a的取值范围.

22.（12分）已知集合A中的元素都是正整数，则满足“如果xGA,那么8-xGA”时

（1）试写出只有一个元素的集合A

（2）试写出有2个元素的集合A

（3）满足上述条件的集合A总共有多少个？为什么？

23.（12分）已知4={x|x2-2mx+m2—1<0}.

（1）若m=2,求A；

（2）已知164且3C4求实数m的取值范围.

24.（12分）你能用列举法表示不等式X-7<3的解集吗?

四、多选题（本大题共6小题，共30分）

25.（5分）在以下写法中写法正确的是（）

A.0G{R}B.□c{0}

C.{0,2}c{2,0}D.{0}e{0,1,2}

26.（5分）下列选项中能组成集合的是（）

A.某班身高超过150cm的同学B.方程x-l=0的解集

C.漂亮的花儿D.空气中密度大的气体

27.（5分）设集合Q是非空集合P的非空真子集，则下列命题正确的是0

A.VxG<2，有B.3xgP,使得X6Q

C.HxiQ,使得x6PD.Vxg（J,有x£P

28.（5分）已知集合4={x|—l—x<0},则下列各式正确的是0

A.0U力B.{0}GAC.0€4D.{0}CA

29.（5分）若集合4B满足：3xG?l,xgB,则下列关系可能成立的是0

A.4UBB.AClB0C.BAD.4nB=0

30.（5分）已知关于%的不等式Q4：％2—3x+44b,下列结论正确的是（）

A.当a<b<1时，不等式a<-%2-3x+44Z?的解集为口

4

B.当Q=1,6=4时，不等式a4—3x+446的解集为{x[0<%<4}

C.当Q=2时，不等式Q<_3x+44力的解集可以为{x|c《x&d}的形式

D.不等式Q<^x2一3x+44b的解集恰好为{x|a<%<b},那么b-a=4

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：因为|x|+|y|42,xGZ,yGZ,

当％=0时，y=-2,-1,0,1,2；

当x=l时，y=-l,0,1；

当％=—1时，y=—1,0,1；

当x=2时，y=0；

当x——2时，y=0.

所以满足条件的数对有13个，即集合4中元素的个数为13.

故选：D.

分别取x=0,1,-1,2,-2,求出对应的y的值，即可得到满足条件的数对，从而

得到答案.

此题主要考查了集合中元素个数的确定，解答该题的关键是分别取x的值，求解y的值,

考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.

2.【答案】D;

【解析】解：A、M={(3,2)},M集合的元素表示点的集合，N={3,2},N表示数

集，故不是同一集合，故A错误；

B、M={(x,y)|x+y=l),M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=l},N表示直线

x+y=l的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；

C、M={(4,5))集合M的元素是点(4,5),N={(5,4)},集合N的元素是点

(5,4),故C错误；

D、M={2,1},N={1,2}根据集合的无序性，集合M,N表示同一集合，故D正确；

故选D.

3.【答案】C;

【解析】解：A.Bx&R,取x=2则因4此是真命题；

B.由Q=5==^2,反之不成立，例如取a=1,b=-1,满足=万2,但是Q。b,

因此卢=力2是。=b的必要不充分条件，因此是真命题；

C.集合{(%y)|y=%2}表示点的集合，而集合{y|y=%2}表示数的集合，它们不表示表

示同一集合，因此是假命题；

D.全集为R,若4U8,则&B)升(。4),是真命题.

故选：C.

A.取x=g满足即可判断出命题真假；

8.由。=6=。2=^2,反之不成立，例如取a=i,b=-l,即可判断出命题真假；

C.集合*x,y)|y=x2}表示点的集合，而集合{y|y=%2}表示数的集合，即可判断出命

题真假；

D.利用集合之间的关系即可判断出命题真假；

此题主要考查了集合之间的关系及其运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能

力与计算能力，属于基础题.

4.【答案】D;

【解析】

此题主要考查集合的表示，熟练掌握描述法表示集合是解答该题的关键.

解：因为4={(x,y)|x+y=3,xeN*,y€N*},,当x=l时，y=2；当x=2时，

y=1,

所以集合中含有2个元素(1,2),(2,1),

所以4={(1,2),(2,1)},

故选D.

5.【答案】B;

【解析】

此题主要考查了元素与集合的关系，空集，子集与真子集，考查学生的概念知识，属

于基础题.

直接对各项依次分析即可得.

解：任何集合是它本身的子集，.•.①正确；

空集是任何非空集合的真子集，.••②正确；

0表示元素，应为06{0},.•.③错误；

1g{3,4},.•.{1,3}不是{3,4}的真子集，.•.④错误;

二正确的为①②.

故选B.

6.【答案】B;

【解析】解：把aij按其脚注排成一个数阵的话，如下，对角线上全是1,对角线外，1

成对出现，如下：

an°i2..........

。21。22..........Cl2n

dnlCln2........Clnn

(1)«11=«22=…==1；

(2)当i中，时,若％=1,则同=1；

若%=0,则%=0；

即对角线上全是1,对角线外，1成对出现，

所以，S=n+2k,k是某一个非负整数，

即：S与n的奇偶性一致，且S最小值是n,

又因为，当&=&=…=4“时，S=n2.

故①③是正确的.

故选:B.

由集合的子集的概念和规定第i行与第/列的数为%=二！二，其中i，j=1，2,

…，n,对选项---判断即可.

此题主要考查集合的子集的概念，考查简单的合情推理，以及对规定的理解和运用，

属于中档题.

7.【答案】C:

【解析】解：要想n的值大，则特征值要尽可能小，

A2,A3,4t是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，

不妨令必是只有1个元素的非空真子集，则XA=0,必是含有两个元素的非空真子集,

则X4=1时，能保证n的值最大，

同理得：XA=2,以此类推，得到X4=n-l,

••-0+1+2+…+(n-1)=竺p=120,

解得n=16或n=-15(舍)，

n的最大值为16.

故选：C.

要想建的值大，则特征值要尽可能小，A2,A3,--4rl是集合N*的元素个数均不

相同的非空真子集，不妨令4是只有1个元素的非空真子集，则X4=0,4是含有两

个元素的非空真子集，则X%=1时，能保证n的值最大，同理得：X&=2,以此类推,

得到X%=n—1,利用等差数列求和公式列出方程，能求出n的最大值.

此题主要考查满足条件的n的最大值的求法，考查非空真子集、等差数列求和公式等基

础知识，考查运算求解能力，是中档题.

8.【答案】B;

【解析】解：由于“好看节目''没有确定的标准，故A中的对象不满足元素的确定性，

故A中的对象不能构成集合.

由于“我国从1991〜2009年所发射的所有人造卫星”是确定的，互异的，故B中的对象

能构成集合.

由于“高个子''没有明确的标准，故C中的对象不满足元素的确定性，故C中的对象不

能构成集合.

由于“热门场馆''没有明确的标准，故D中的对象不满足元素的确定性，故D中的对象

不能构成集合.

故选B.

9.【答案】D;

【解析】解：集合P={x|x*},则

兀ep,A错误；

B中元素和集合的符号用错，

C中集合和集合的符号用错，

应是{TT}UP,

故选：D.

10.【答案】C;

【解析】

此题主要考查集合的运算，为基础题.

分类讨论即可求出答案，注意集合的互异性.

解：-：A={l,4,x},B={x2,\},4n8=B,

•••BQA,

即一=4或久2_x,

解得X=±2或x=0或x=1,

当x=-2B寸，4={1,4,—2},B={4,1},成立，

当x=2时，A={1,4,2},B={4,1},成立，

当x=0时，A={1,4,0},B={0,1},成立，

当％=1时，A={1,4,1},B={1,1},不成立，

则满足条件的实数x的值是-2,0,2.

故选C.

11.【答案】B;

【解析】解：VM={X|X2-X-2<0}={X|-1<X<2),P={XeZ||x-11<3}={xGZ|-2<x<4}={-2,

-1,0,1,2,3,4},

VQ={x|xEP,xCM},

.\Q={x|xGP,xgM}={-2,-1,2,3,4},

故选：B.

12.【答案】C;

【解析】解：由题意可知：

M={X|X2-1=0}={-1,1}.

所以，对于答案A、B表示的区间，与M不相等，不正确；

对于答案D应该是元素与集合的关系不应该用符号U表示，故错误.

而-1WM正确.

故选：C.

13.【答案】{0,134,6};

【解析】解：•；4={x|xG乂且£GZ}

2-x是4的约数且x6N

•-2—x=-4得x=6

2—x=-2得x=4

2—x=-1得％=3

2—x=1得x=1

2—x=2得久=0

2-x=4得x=-2(舍去)

故答案为A={0,1,3,4,6}.

根据集合的公共属性知，元素x满足2-x是4的约数且xeN,求出x,即集合4中的元

素.

此题主要考查通过集合的公共属性，求出集合的元素，即求出集合.

14.【答案】解：

•••二元一次方程x-y=0的解集是点集

二二元一次方程x-y=0的解集是{(x,y)|x-y=0}

故答案为：{(x,y)|x-y=0};

【解析】解析：

此题主要考查集合的表示方法，解题时注意集合的元素，描述法是常用的表示方法，

属于基础题。

15.【答案】(1)£

⑵£

(3)e;0;

【解析】(1)

此题主要考查元素与集合的关系，考查推理能力，属于基础题.

因为4={0,1},所以一1£4

解：因为a={x|%2=x}={0』},

所以一1eA,

故答案为C，

(2)

此题主要考查元素与集合的关系，考查推理能力，属于基础题.

因为B={-3,2},所以3任B.

解：因为B={x|M+x-6=0}={-3,2},

所以3gB,

故答案为乙

(3)

此题主要考查元素与集合的关系，考查推理能力，属于基础题.

因为C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},所以8GC,9.1庄C.

解：因为C={x6W|1<x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

所以86C,9.1gC,

故答案为€；住•

16.【答案】{5,4,2,-2};

【解析】此题主要考查集合列举法，属于基础题.

由题意得6-XC{1,2,4,8},此时x6{5,4,2,-2},A={5,4,2,-2}.

解：•：x€Z,—&N,•••6-x6(1,2,4,8}.

6-X

此时xe{5,4,2,-2},即4={5,4,2,-2}.

17.【答案】{0,2,3,4,5,6};

【解析】解：由题意知，集合4={0,2,3},则a与b可能的取值为：0,2,3,

•••a+b的值可能为：0,2,3,4,5,6；

ADA={0,2,3,4,5,6}.

故答案为：{0,2,3,456}.

由题意先求出a、b所有取值，再根据定义的集合运算求出所有的a+b值，即求出这种

运算的结果.

该题考查了学生对新的集合运算法则理解和应用能力，注意抓住运算的本质.

18.【答案】0;

【解析】解：••,xG”,X2},

；.x=l或x=x2,

而集合中的元素具有互异性，则x=0

故答案为：0

19.【答案】解：⑴若1GA,则m-2+l=0,所以m=l；

(2)选①，则A=。，则方程mx2-2x+l=0无实数根，

所以m?0,且△=4-4m<0=m>1；

选②，A恰有两个子集，则A为单元素集，则方程m/一2x+l=0只有一个实数根，

当m=0时，2={》满足题意，

当m翔时，A=4-4m=0nm=1,

所以m=0或m=l；

选③，20(12)H0,则方程m/=2x-l在区间G，2)内有解，

等价于％62)时，m=|-/=一(§-1)2+1的值域，所以me(0,1].;

【解析】

(1)若164代入即可得出结果；

(2)选①，方程-2x+1=0无实数根，利用判别式即可得出结果；

选②，4为单元素集，方程m/-2x+1=0只有一个实数根，分别讨论m=0和mW

0时情况，即可求出结果；

选③，方程=2x—l在区间(Q)内有解，等价于女或2),巾=：一土的值域问题,

进而可得结果.

此题主要考查了集合的综合应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)当a=0时，方程a/+2x+l=0可化为：2x+l=0,

解得x=3满足条件；

当a=l时,方程ax2+2x+l=0的4=4-4a=0,

解得：x=-l,满足条件；

综上可得：a-0,x—I，或a=l,x=-l

(2)当a=0时，方程ax2+2x+l=0可化为：2x+l=0,

解得x=-：,满足条件；

当a和时，方程ax2+2x+l=0由4=4-4a<0得：a>l,

综上可得：aNl或a=0.;

【解析】

(1)若4中只有一个元素，则方程为一次方程或4=0；

(2)若A中至多只有一个元素，则方程为一次方程或4<0：

该题考查的知识点是集合元素的个数，一元二次方程根的个数判断，难度中档.

21.【答案】解：(1)由1€4可知a+a+6=0,解得a=-3,

所以力={x|—3x2—3x+6=0}—{x|x2+x-2=0}={1,—2}.

(2)若A=□,

当a=0时，满足题意；

当a#0时，△=a?-24a<0,解得0<a<24.

故当4=□时，0<a<24.

若集合4中仅有一个元素，则a*0且a?-24a=0,

解得a=24,

此时集合4={x|24x2+24x+6=0}={x|4x2+4x+l=0}={-1},

不满足题意.

若集合4中有两个元素,则无解.

综上可知，实数a的取值范围为［0,24).;

【解析】此题主要考查集合中元素的性质，元素与集合的关系，由集合间的关系求参

数范围.

(1)由1eA可知a+a+6=0,求得a的值，从而得到集合4

(2)若{=□,需分a=0和a#0进行求解，若集合4中仅有一个元素，则ar0且a?-

24a=0,求出a的值并进行验证，若集合4中有两个元素，验证是否满足，从而可得答

案.

22.【答案】解：(1)若集合只有一个元素,则x=8-x,即x=4,此时A={4}.

(2)试写出有2个元素的集合A,A={1,7},{2,6},{3,5},

(3)若满足“如果xWA,那么8-xGA”，则{1,7},{2,6},{3,5},{4}四个集合都

是对应集合的子集即可，

满足上述条件的集合A总共有2£1=15个，

•.•从4个集合中任意选择1个，2个，3个，4个，都满足条件，

二共有15个.；

【解析】(1)根据集合关系解方程x=8-x,即可.

(2)根据元素关系即可写出有2个元素的集合A

(3)根据元素关系，进行求解即可.

23.【答案】解：(1)由题知4={x|x2-2mx+m2-1<0},

二当m=2,即4={x|/—4x+3<0},

[4={x|(x—l)(x—3)<0}={x|l<%<3},

故4={x[l<x<3}；

(2)已知16A,且3cA,

则1—2m+Tn?-1<0且9—6m+TTI?—1》0,

•••0<m<2,

故实数机的取值范围为(0,2).

【解析】此题主要考查元素与集合的关系，集合关系中的参数取值问题，同时考查二

次不等式的求解，考查分析与计算能力，属于基础题.

(1)若m=2,解一元二次不等式即可求4；

(2)已知164且3任4贝“I—2m+巾2—1<o且9—6m+Tn?-1》o,即可求实数

m的取值范围.

24.【答案】不等式x-7<3的解是x<10,因为满足X<10的实数有无数个，所以

x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x

是实数，且x<10,把解集表示为{xCR|x<10}.

【解析】此题主要考查集合的表示方法，属于基础题.

25.【答案】BC;

【解析】解：对于406{R},是元素与集合的关系，但集合中只有一个元素R,故

不对.

对于8：空集是任何集合的子集，应该是门£{0}；故对.

对于C：根据集合的无序性可知{0,2}U{2,0}；对.

对于D：是集合与集合之间的关系，故{0}€{0,1,2}不对.

正确的是：BC.

故选：BC.

根据元素与集合的关系和集合与集合的关系依次对各项判断即可.

此题主要考查元素与集合关系的判断，比较基础.

26.【答案】AB;

【解析】

此题主要考查集合的概念，属基础题，构成集合的元素必须具备确定性，逐一检查即

可.

解：某班身高超过150cm的同学是确定的，能组成集合；

方程*一1=0的解是1,是确定的，能组成集合；

漂亮的花儿，不满足确定性，不能组成集合；

空气中密度大的气体，不满足确定性，不能组成集合.

故选AB.

27.【答案】AC;

【解析】解：集合Q是非空集合P的非空真子集，

对于4QP,•1•VxG<?,有故4正确；

对于B,VxgP,均有故8错误；

对于C,Q隆P,使得故C正确；

对于D,Q^P,mxCQ,使得％CP,故。错误.

故选：AC.

由题意Q茎P,从而vxeQ,有％eP；V%gP,均有％cQ；xi.Q,使得xeP.