2020-2021学年人教A版必修第二册学案61平面向量的概念（同步培优）

专题6.1平面向量的概念

知识储备

1.向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

⑵零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

⑶单位向量：长度等于1个单位的向量.

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：o与任一向量平行.

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量.

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字

笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

1.（2020•金华市曙光学校高二期中）设：工是两个平面向量，贝！!“[=]”是"|'=|百"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为则一定有|：|=渴，

而向=渴推不出H

所以"]=r'是“而=渴”的充分不必要条件，故选：A

2.（2019•奈曼旗实验中学高一期中）若四边形ABC。是矩形，则下列说法不正确的是（）

A・忌与CL共线B.就与病共线

C.而与方模相等，方向相反D.低与cB模相等

【答案】B

【解析】因为四边形A3CD是矩形，

所以向与共线，AB与a模相等，方向相反，蓝与石）模相等正确，

A"与访共线错误，故选：B

3.（2020•全国高三专题练习（文））等腰梯形中，对角线AC与50相交于点P,点E,尸分

别在两腰AB,CD±,EF过点P,且EF//AD,则下列等式正确的是（）

A.AD=BCB.AC=BD

C.PE=PFD.EP=~PF

【答案】D

【解析】依题意可得如下图形，

•••ASCD是等腰梯形，AD//BC

：.AD//EP,AD//PF

BE_EPCFPFCFBE

…益一访'CD-AD;CD-AB

：.EP=PF>故。正确；

Iion।InumI

对于A：AD//BC，但故A错误；

--------►-------►UUU1UU1U

对于3：AC,5。的长度相等但方向不相同或相反，故ACw3D，故5错误；

UULULUUULUUU

对于C：的长度相等但方向相反，故PEwPF，故c错误；故选：D

——__。B

4.（2020•全国高三专题练习）设a,b是非零向量，贝!l“a=2//'是“尸［=后”成立的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】依题意是非零向量，

a_b

E表示与Z同向的单位向量，后表示与B同向的单位向量，

M\b\

__a_b

当a=2b时，用。的方向相同，所以Q=而，

Hrl

ab__

当曰=而时，。力的方向相同，但不一定有a=2B，如£=3万也符合，

ab

所以“Z=2B"是"曰=后”成立的充分不必要条件•故选：B

HH

5.（2020•湖南长沙市•高一期末）下列命题正确的是（）

A.若|。|=0,则£=。B.若|£|=|B|,则£=5

C.若|£|=|B|,则D.若；〃），贝！JZ=5

【答案】A

【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；

|a|=|B|时，只说明向4,5的长度相等，无法确定方向，所以B,C均错；

时，只说明2,5方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.故选：A.

6.（2020•全国高三专题练习）下列命题正确的是（）

A.若向量;〃。，则£与B的方向相同或相反

B.若向量q//b，bile则a//c

C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

D.若向量°=石，b=c＞则4=。

【答案】D

【解析】对于A选项，向量力/，，可能3=0,此时不能得到£与B的方向相同或相反，故A选项

错误.

对于B选项，向量°〃6，B〃工，可能3=6，此时不能得到）〃"，故B选项错误.

对于C选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C选项错误.

对于D选项，根据向量相等的知识可知D选项正确.故选：D

7.（2020•四川凉山彝族自治州•高一期末（文））判断下列命题：

①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；

②若；〃力,则Z与B的方向相同或相反；

③若a//。且B//c，则a//c；

④若a=b＞则2a＞后.

其中正确的命题个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是

正确的.

②，若;〃力，则可能B为零向量，方向任意，所以②错误.

③，若;〃,且百不，则可能B为零向量，此时不一定平行，所以③错误.

④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误.

故正确的命题有1个.故选：B

8.（2019•陕西西安市•高一期中）下列说法中错误的是（）

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】B

【解析】零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大

小确定为0,故A与C都是对的；

设方向相反的两个非零向量为Z和B,满足a=>0）,所以方向相反的两个非零向量一定共

线，故B错；

对于D,因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量

必不相等，故D对.答案选B.

二、多选题

9.（2020•全国高三专题练习）下面的命题正确的有（）.

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B,单位向量都相等

C.若方，5满足同〉W且万与6同向，则万〉B

D.“若A、B、C、。是不共线的四点，且丽=加”。"四边形ABC。是平行四边形”

【答案】AD

【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；

单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故8错误；

向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；

A、B、C、。是不共线的点，AB=DC，即模相等且方向相同，即平行四边形A2CD对边平行

且相等，反之也成立，故。正确.故选：AD

10.（2020•全国高三专题练习）已知£、B是任意两个向量，下列条件能判定向量。与B平行的是

（）

A.a=bB.a=

c.£与B的方向相反D.Z与B都是单位向量

【答案】AC

【解析】对于A选项，若』,则£与B平行，A选项合乎题意；

对于B选项，若口=M，但£与B的方向不确定，则Z与B不一定平行，B选项不合乎题意；

对于C选项，若z与B的方向相反，则£与B平行，C选项合乎题意；

对于D选项，£与B都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则£与B不一定平行，

D选项不合乎题意.故选：AC.

1L（2020•胶州市教育体育局教学研究室高一期中）设£为非零向量，下列有关向量」的描述正确

1«1

的是（）

iI

ararr

A.|阜|=1B.-F-//aC.r=ciD.

\a\\a\\a\|a|

【答案】ABD

aaa

【解析】E表示与向量日同方向的单位向量，所以口=1正确，万正确，所以AB正确，当万

同同a

不是单位向量时，丘=日不正确，|||-5=||||a|cos00=-J||-x|a|=|a|,所以D正确.故选：ABD

12.（2020•全国高一课时练习）如图所示，梯形ABC。为等腰梯形，则下列关系正确的是（）

A.AB=DCB.|AB|=|DC|C.AB>DCD.BC//AD

【答案】BD

【解析】而与反显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误;

与|力耳表示等腰梯形两腰的长度，所以|通1=1万q,故3正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；

等腰梯形的上底与下底AD平行，所以起〃而，故。正确；故选：BD.

三、填空题

13.（2020•全国高三专题练习）给出下列命题：

①若£//瓦5//2,则a//c；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量通与函是共线向量，则A,B,C,。四点必在同一直线上.

其中正确命题的序号是.

【答案】③

【解析】①错误.若3=6,则①不成立；

②错误.起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量荏与函必须在

同一直线上.故答案为：③

14.（2020•全国高二）对下列命题：（1）若向量£与B同向，且|万|>|B|,则］〉5；（2）若向量|a\=\b\,

则a与B的长度相等且方向相同或相反;（3）对于任意向量|G|=|61,若£与B的方向相同，则a=bi

（4）由于6方向不确定，故6不与任意向量平行；（5）向量£与B平行，则向量£与B方向相同或

相反.其中正确的命题的个数为

【答案】1

【解析】（1）向量不可比较大小，故（1）错误；

（2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误；

（3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确；

（4）。与任意向量平行，故（4）错误；

（5）若£与B有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误.

故正确的命题个数为1.故答案为：1.

15.（2020•湖北武汉市